Opérateurs de Monge-Ampère symplectiques en dimensions 3 et 4

Abstract

Le sujet principal de cette thèse est l'étude du problème d'équivalence des équations de Monge-Ampère en trois variables. Nous abordons ce problème du point de vue de la théorie géométrique des invariants scalaires différentiels en utilisant la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre ces équations et certaines formes différentielles sur une variété symplectique, les formes effectives. Nous étudions tout d'abord la géométrie des formes effectives sur un espace vectoriel symplectique. La liste exhaustive des différentes orbites de l'action du groupe symplectique Sp(3) sur l'espace des 3-formes effectives est donnée. Nous montrons que l'invariant quadratique de Lychagin-Roubtsov est un invariant caractéristique de ces orbites et nous interprétons cet invariant comme une application moment en utilisant l'approche de Hitchin sur la géométrie des 3-formes extérieures. Nous donnons ensuite une condition suffisante pour qu'une équation de Monge-Ampère sur R3 soit localement équivalente à l'une des trois équations à coefficients constants non dégénérée au sens de Hitchin. Cette condition porte sur les dérivées d'ordre 1 et 2 des coefficients de la forme effective sur T*R3 associée. Ce résultat complète et simplifie un résultat démontré par Lychagin et Roubtsov. Nous donnons toutefois un second critère d'équivalence locale qui se comprend mieux du point de vue géométrique. Nous associons pour cela à chaque équation de Monge-Ampère en trois variables une structure de type Calabi-Yau et nous interprétons ce problème d'équivalence locale en termes d'intégrabilité de cette structure et de courbure de la métrique associée. Ce résultat est l'analogue en dimension 3 de la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre équations de Monge-Ampère à coefficients constants et structures complexes ou structures produits intégrables en dimension 2. Nous étudions enfin la grassmannienne associée à une équation de Monge-Ampère non dégénérée au sens de Hitchin. Nous généralisons notamment la description de la grassmannienne des sous espaces lagrangiens spéciaux par l'espace homogène SU (3) / SO (3) et nous complétons le calcul des classes caractéristiques associées de Zilbergleit. Nous abordons aussi dans cette thèse le cas de la dimension 4. Nous introduisons en particulier un analogue complexe des opérateurs de Monge-Ampère, les opérateurs pluriharmoniques sur une variété complexe. Nous établissons une correspondance entre ces opérateurs pluriharmoniques et les formes bieffectives et nous montrons sur quelques exemples comment étudier la géométrie des solutions pluriharmoniques d'une équation de Monge-Ampère sur R4.ANGERS-BU Lettres et Sciences (490072106) / SudocSudocFranceF