Generalizing the Convex Hull of a Sample: The R Package alphahull

This paper presents the R package alphahull which implements the ñ-convex hull and the ñ-shape of a finite set of points in the plane. These geometric structures provide an informative overview of the shape and properties of the point set. Unlike the convex hull, the ñ-convex hull and the ñ-shape are able to reconstruct non-convex sets. This flexibility make them specially useful in set estimation. Since the implementation is based on the intimate relation of theses constructs with Delaunay triangulations, the R package alphahull also includes functions to compute Voronoi and Delaunay tesselations. The usefulness of the package is illustrated with two small simulation studies on boundary length estimation.

A nonparametric approach to the estimation of lengths and surface areas

The Minkowski content $L_0(G)$ of a body $G\subset{\mathbb{R}}^d$ represents the boundary length (for $d=2$) or the surface area (for $d=3$) of $G$. A method for estimating $L_0(G)$ is proposed. It relies on a nonparametric estimator based on the information provided by a random sample (taken on a rectangle containing $G$) in which we are able to identify whether every point is inside or outside $G$. Some theoretical properties concerning strong consistency, $L_1$-error and convergence rates are obtained. A practical application to a problem of image analysis in cardiology is discussed in some detail. A brief simulation study is provided.Comment: Published at http://dx.doi.org/10.1214/009053606000001532 in the Annals of Statistics (http://www.imstat.org/aos/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

On estimating the perimeter using the alpha-shape

We consider the problem of estimating the perimeter of a smooth domain in the plane based on a sample from the uniform distribution over the domain. We study the performance of the estimator defined as the perimeter of the alpha-shape of the sample. Some numerical experiments corroborate our theoretical findingsNous considérons le problème de l’estimation du périmètre d’un domaine à bord lisse dans le plan basé sur un échantillon tiré de la loi uniforme ayant pour support le domaine en question. Nous étudions la performance de l’estimateur défini par le périmètre de la forme-alpha (« alpha-shape ») de l’échantillon. Des expériences numériques confirment notre théorieS

Introdución ao cálculo de probabilidades

Titulación: Grao en Matemáticas -- Materia: Elementos de probabilidade e estatísticaA unidade didáctica Introdución ao cálculo de probabilidades forma parte da materia, de 6 créditos ECTS, Elementos de Probabilidade e Estatística. É unha materia de primeiro curso do grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela. A materia, que forma parte do módulo de Estatística e Probabilidade, impártese no primeiro cuadrimestre do curso a estudantes que, maioritariamente, acceden á Universidade por primeira vez. A formación básica en contidos de probabilidade e estatística destes estudantes é, polo tanto, moi variable, dependendo fundamentalmente do itinerario que estes seguiran durante o bacharelato. O curso consta de catro unidades didácticas. A Introdución ao cálculo de probabilidades é a segunda. Empezará despois de completar a correspondente ao análise exploratorio de datos ou estatística descritiva. O estudante ten así, neste momento algunha noción de análise de datos pero non lle foi presentada formalmente o estudo matemático dos fenómenos aleatorios. Despois da introdución ao cálculo de probabilidades que se fai na unidade aquí desenvolvida, continúan dúas unidades didácticas máis(variables aleatorias e principais modelos de probabilidade) que farán uso dos conceptos introducidos na segunda unidade. Será, por tanto, fundamental que o estudante acade os obxectivos propostos nesta unidade didáctica para ter éxito nos obxectivos do resto de unidades didácticas. A unidade didáctica de Introdución ao cálculo de probabilidades é o primeiro contacto do estudante coa probabilidade dentro dos seus estudos universitarios no grao de Matemáticas. A unidade didáctica é necesaria para introducir ideas fundamentais para o resto das unidades didácticas da materia, así como para as materias de Probabilidade e Estatística e Inferencia Estatística do módulo de Estatística, probabilidade e investigación operativa do grao de Matemáticas.Universidade de Santiago de Compostela. Servizo de Normalización Lingüístic

Generalizing the convex hull of a sample: The R package alphahull

This vignette presents the R package alphahull which implements the α-convex hull and the α-shape of a finite set of points in the plane. These geometric structures provide an informative overview of the shape and properties of the point set. Unlike the convex hull, the α-convex hull and the α-shape are able to reconstruct non-convex sets. This flexibility make them specially useful in set estimation. Since the implementation is based on the intimate relation of theses constructs with Delaunay triangulations, the R package alphahull also includes functions to compute Voronoi and Delaunay tesselations