Tetrahedron maps, Yang-Baxter maps, and partial linearisations

We study tetrahedron maps, which are set-theoretical solutions to the Zamolodchikov tetrahedron equation, and Yang-Baxter maps, which are set-theoretical solutions to the quantum Yang-Baxter equation. In particular, we clarify the structure of the nonlinear algebraic relations which define linear (parametric) tetrahedron maps (with nonlinear dependence on parameters), and we present several transformations which allow one to obtain new such maps from known ones. Furthermore, we prove that the differential of a (nonlinear) tetrahedron map on a manifold is a tetrahedron map as well. Similar results on the differentials of Yang-Baxter and entwining Yang-Baxter maps are also presented. Using the obtained general results, we construct new examples of (parametric) Yang-Baxter and tetrahedron maps. The considered examples include maps associated with integrable systems and matrix groups. In particular, we obtain a parametric family of new linear tetrahedron maps, which are linear approximations for the nonlinear tetrahedron map constructed by Dimakis and M\"uller-Hoissen [arXiv:1708.05694] in a study of soliton solutions of vector Kadomtsev-Petviashvili (KP) equations. Also, we present invariants for this nonlinear tetrahedron map.Comment: 23 pages; v2: new results and references added, minor corrections mad

Применение метода квазинормальных форм к математической модели отдельного нейрона

We consider a scalar nonlinear differential-difference equation with two delays, which models the behavior of a single neuron. Under some additional suppositions for this equation it is applied a well-known method of quasi-normal forms. Its essence lies in the formal normalization of the Poincare – Dulac, the production of a quasi-normal form and the subsequent application of the conformity theorems. In this case, the result of the application of quasi-normal forms is a countable system of differential-difference equations, which manages to turn into a boundary value problem of the Korteweg – de Vries equation. The investigation of this boundary value problem allows to make the conclusion about the behavior of the original equation. Namely, for a suitable choice of parameters in the framework of this equation it is implemented the buffer phenomenon consisting in the presence of the bifurcation mechanism for the birth of an arbitrarily large number of stable cycles.Рассматривается скалярное нелинейное дифференциально-разностное уравнение с двумя запаздываниями, которое моделирует поведение отдельного нейрона. При некоторых дополнительных предположениях к этому уравнению применяется известный метод квазинормальных форм. Суть его заключается в формальной нормализации Пуанкаре – Дюлака, получении квазинормальной формы и последующем применении теорем о соответствии. В данном случае результатом применения квазинормальных форм является счетная система дифференциально-разностных уравнений, которую удается свернуть в краевую задачу типа Кортевега – де Фриза. Исследование этой краевой задачи позволяет сделать вывод о поведении исходного уравнения. А именно, при подходящем выборе параметров в рамках данного уравнения реализуется феномен буферности, состоящий в наличии бифуркационного механизма, обеспечивающего рождение сколь угодно большого числа устойчивых циклов

Импульсно-рефрактерный режим в кольцевой цепи синаптически связанных осцилляторов нейронного типа

In the paper, a mathematical model of a neural network with an even number of ring synaptic interaction elements is considered. The model is a system of scalar nonlinear differentialdifference equations, the right parts of which depend on large parameters. The unknown functions included in the system characterize the membrane potentials of the neurons. The search of special impulse-refraction cycles within the system of equations is of interest. The functions with odd numbers of the impulse-refraction cycle have an asymptotically high pulses and the functions with even numbers are asymptotically small. Two changes allow to study a two-dimension nonlinear differential-difference system with two delays instead of the system. Further, a limit object that represents a relay system with two delays is defined by a large parameter tending to infinity. There exists the only periodic solution of the relay system with the initial function from a suitable function class. This is structurally proved, by using the step method. Next, the existence of relaxation periodic solutions of the two-dimension singularly perturbed system is proved by using the Poincare operator and the Schauder principle. The asymptotics of this solution is constructed, and it is proved that the solution is close to the decision of the relay system. Because of the exponential estimate of the Frechet derivative of the Poincare operator it implies the uniqueness and stability of solutions of the two-dimension differential-difference equation with two delays. Furthermore, with the help of reverse replacement the proved result is transferred to the original system. В настоящей работе рассматривается математическая модель кольцевой нейронной сети из четного числа синаптически взаимодействующих элементов. Модель представляет собой систему скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений, правые части которых зависят от большого параметра. Неизвестные функции, входящие в систему, характеризуют мембранные потенциалы нейронов. Представляет интерес поиск в рамках данной системы уравнений специальных, так называемых импульсно-рефрактерных режимов, а именно периодических решений, в которых функции с номерами одной четности обладают асимптотически большим всплеском на периоде, а другой четности — всюду асимптотически малы. С этой целью последовательно делается две замены, позволяющие перейти от исследования исходной системы к двумерной системе скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений с двумя запаздываниями. Далее, при стремлении большого параметра к бесконечности определяется предельный объект, представляющий собой релейную систему уравнений с двумя запаздываниями. Конструктивно, с использованием метода шагов, доказывается, что решение релейной системы уравнений с начальной функцией из подходящего класса совпадает с одной и той же периодической функцией с требуемыми свойствами. Затем определяется оператор последований Пуанкаре и с использованием принципа Шаудера доказывается существование релаксационного периодического решения двумерной сингулярно возмущенной системы. Для этого строится асимптотика этого решения, а затем доказывается его близость к решению релейной системы уравнений. Из экспоненциальной оценки производной Фреше оператора Пуанкаре следует единственность в построенном классе функций решения двумерной дифференциально-разностной системы уравнений с двумя запаздываниями, а также обосновывается его экспоненциальная орбитальная устойчивость. Далее, с помощью обратной замены доказанный результат переносится на исходную систему

Релаксационные циклы в модели синаптически взаимодействующих осцилляторов

In this paper the mathematical model of a neural network with a ring synaptic interaction elements is considered. The model is a system of scalar nonlinear differential-difference equations, the right parts of which depend on a large parameter. The unknown functions included in the system characterize the membrane potentials of the neurons. The search of relaxation cycles within the system of equations is interested. To this end solutions of the task are finded in the form of discrete traveling waves. It allows to research a scalar nonlinear differential-difference equations with two delays instead of system. Further, a limit a object that represents a relay equation with two delays is defined by large parameter tends to infinity. There are six cases of restrictions on the parameters. In every case exist alone periodic solution of relay equation started from initial function from suitable function class. It is structurally proved by using the step method. Next, the existence of a relaxation periodic solutions of a singularly perturbed equation with two delays is proved by using Poincare operator and Schauder principle. The asymptotics of this solution is constructed, and then it is proved that the solution is close to decision of the relay equation. Because of the exponential estimate Frechet derivative of the Poincare operator implies the uniqueness and stability of solutions of differential-difference equation with two delays.В настоящей работе рассматривается математическая модель кольцевой нейронной сети с синаптическим взаимодействием элементов. Модель представляет собой систему скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений, правые части которых зависят от большого параметра. Неизвестные функции, входящие в систему, характеризуют мембранные потенциалы нейронов. Представляет интерес поиск в рамках данной системы уравнений релаксационных циклов, а именно периодических решений с асимптотически большим всплеском на периоде. С этой целью ставится задача отыскания решений в виде дискретных бегущих волн, что позволяет перейти от исследования системы к изучению одного скалярного нелинейного дифференциально-разностного уравнения с двумя запаздываниями. Далее, при стремлении большого параметра к бесконечности определяется предельный объект, представляющий собой релейное уравнение с двумя запаздываниями. Конструктивно, с использованием метода шагов, доказывается, что можно выделить шесть случаев ограничений на параметры, в каждом из которых решение релейного уравнения с начальной функцией из подходящего класса совпадает с одной и той же периодической функцией с требуемыми свойствами. Затем определяется оператор последований Пуанкаре и с использованием принципа Шаудера доказывается существование релаксационного периодического решения сингулярно возмущенного уравнения с двумя запаздываниями. Для этого строится асимптотика этого решения, а затем доказывается его близость к решению релейного уравнения. Из экспоненциальной оценки производной Фреше оператора Пуанкаре следует единственность в построенном классе функций решения дифференциально-разностного уравнения с двумя запаздываниями, а также обосновывается его экспоненциальная орбитальная устойчивость

Application of the Method of Quasi-Normal Forms to the Mathematical Model of a Single Neuron

We consider a scalar nonlinear differential-difference equation with two delays, which models the behavior of a single neuron. Under some additional suppositions for this equation it is applied a well-known method of quasi-normal forms. Its essence lies in the formal normalization of the Poincare – Dulac, the production of a quasi-normal form and the subsequent application of the conformity theorems. In this case, the result of the application of quasi-normal forms is a countable system of differential-difference equations, which manages to turn into a boundary value problem of the Korteweg – de Vries equation. The investigation of this boundary value problem allows to make the conclusion about the behavior of the original equation. Namely, for a suitable choice of parameters in the framework of this equation it is implemented the buffer phenomenon consisting in the presence of the bifurcation mechanism for the birth of an arbitrarily large number of stable cycles

The Impulse-Refractive Mode in the Neural Network with Ring Synaptic Interaction

In the paper, a mathematical model of a neural network with an even number of ring synaptic interaction elements is considered. The model is a system of scalar nonlinear differentialdifference equations, the right parts of which depend on large parameters. The unknown functions included in the system characterize the membrane potentials of the neurons. The search of special impulse-refraction cycles within the system of equations is of interest. The functions with odd numbers of the impulse-refraction cycle have an asymptotically high pulses and the functions with even numbers are asymptotically small. Two changes allow to study a two-dimension nonlinear differential-difference system with two delays instead of the system. Further, a limit object that represents a relay system with two delays is defined by a large parameter tending to infinity. There exists the only periodic solution of the relay system with the initial function from a suitable function class. This is structurally proved, by using the step method. Next, the existence of relaxation periodic solutions of the two-dimension singularly perturbed system is proved by using the Poincare operator and the Schauder principle. The asymptotics of this solution is constructed, and it is proved that the solution is close to the decision of the relay system. Because of the exponential estimate of the Frechet derivative of the Poincare operator it implies the uniqueness and stability of solutions of the two-dimension differential-difference equation with two delays. Furthermore, with the help of reverse replacement the proved result is transferred to the original system

Relaxation Cycles in a Model of Synaptically Interacting Oscillators

In this paper the mathematical model of a neural network with a ring synaptic interaction elements is considered. The model is a system of scalar nonlinear differential-difference equations, the right parts of which depend on a large parameter. The unknown functions included in the system characterize the membrane potentials of the neurons. The search of relaxation cycles within the system of equations is interested. To this end solutions of the task are finded in the form of discrete traveling waves. It allows to research a scalar nonlinear differential-difference equations with two delays instead of system. Further, a limit a object that represents a relay equation with two delays is defined by large parameter tends to infinity. There are six cases of restrictions on the parameters. In every case exist alone periodic solution of relay equation started from initial function from suitable function class. It is structurally proved by using the step method. Next, the existence of a relaxation periodic solutions of a singularly perturbed equation with two delays is proved by using Poincare operator and Schauder principle. The asymptotics of this solution is constructed, and then it is proved that the solution is close to decision of the relay equation. Because of the exponential estimate Frechet derivative of the Poincare operator implies the uniqueness and stability of solutions of differential-difference equation with two delays