Early numerical cognition and mathematical processes

In this paper I study the development of arithmetical cognition with the focus on metaphorical thinking. In an approach developing on Lakoff and Núñez (2000), I propose one particular conceptual metaphor, the Process → Object Metaphor (POM), as a key element in understanding the development of mathematical thinking.; En este artículo estudio el desarrollo de la cognición aritmética enfocado en el pensamiento metafórico. En una propuesta que se desarrolla desde la de Lakoff y Núñez (2000), propongo una metáfora particular conceptual, la Metáfora Proceso → Objeto (POM), como un elemento clave para comprender el desarrollo del pensamiento matemátic

Perspectives to empirical philosophy of mathematics

Peer reviewe

Assessing the "Empirical Philosophy of Mathematics"

Peer reviewe

Frege, Dedekind, and the Epistemology of Arithmetic

In early analytic philosophy, one of the most central questions concerned the status of arithmetical objects. Frege argued against the popular conception that we arrive at natural numbers with a psychological process of abstraction. Instead, he wanted to show that arithmetical truths can be derived from the truths of logic, thus eliminating all psychological components. Meanwhile, Dedekind and Peano developed axiomatic systems of arithmetic. The differences between the logicist and axiomatic approaches turned out to be philosophical as well as mathematical. In this paper, I will argue that Dedekind’s approach can be seen as a precursor to modern structuralism and as such, it enjoys many advantages over Frege’s logicism. I also show that from a modern perspective, Frege’s criticism of abstraction and psychologism is one-sided and fails against the psychological processes that modern research suggests to be at the heart of numerical cognition. The approach here is twofold. First, through historical analysis, I will try to build a clear image of what Frege’s and Dedekind’s views on arithmetic were. Then, I will consider those views from the perspective of modern philosophy of mathematics, and in particular, the empirical study of arithmetical cognition. I aim to show that there is nothing to suggest that the axiomatic Dedekind approach could not provide a perfectly adequate basis for philosophy of arithmetic.Peer reviewe

Totuus, todistettavuus ja gödeliläiset argumentit : Tarskilaisen totuuden puolustus matematiikassa

Eräs tärkeimmistä kysymyksistä matematiikanfilosofiassa on totuuden ja formaalin todistettavuuden välinen suhde. Kantaa, jonka mukaan nämä kaksi käsitettä ovat yksi ja sama, kutsutaan deflationismiksi, ja vastakkaista näkökulmaa substantialismiksi. Ensimmäisessä epätäydellisyyslauseessaan Kurt Gödel todisti, että kaikki ristiriidattomat ja aritmetiikan sisältävät formaalit systeemit sisältävät lauseita, joita ei voida sen enempää todistaa kuin osoittaa epätosiksi kyseisen systeemin sisällä. Tällaiset Gödel-lauseet voidaan kuitenkin osoittaa tosiksi, jos laajennamme formaalia systeemiä Alfred Tarskin semanttisella totuusteorialla, kuten Stewart Shapiro ja Jeffrey Ketland ovat näyttäneet semanttisissa argumenteissaan substantialismin puolesta. Heidän mukaansa Gödel-lauseet ovat eksplisiittinen tapaus todesta lauseesta, jota ei voida todistaa, ja siten deflationismi on kumottu. Tätä vastaan Neil Tennant on näyttänyt, että tarskilaisen totuuden sijaan voimme laajentaa formaalia systeemiä ns. pätevyysperiaatteella, jonka mukaan kaikki todistettavat lauseet ovat ”väitettävissä”, ja josta seuraa myös Gödel-lauseiden väitettävyys. Relevantti kysymys ei siis ole se pystytäänkö Gödel-lauseiden totuus osoittamaan, vaan se onko tarskilainen totuus hyväksyttävämpi laajennus kuin pätevyysperiaate. Tässä työssä väitän, että tätä ongelmaa on paras lähestyä ajattelemalla matematiikkaa ilmiönä, joka on laajempi kuin pelkästään formaalit systeemit. Kun otamme huomioon esiformaalin matemaattisen ajattelun, huomaamme että tarskilainen totuus ei itse asiassa ole laajennus lainkaan. Väitän, että totuus on esiformaalissa matematiikassa sitä mitä todistettavuus on formaalissa, ja tarskilainen semanttinen totuuskäsitys kuvaa tätä suhdetta tarkasti. Deflationisti voi kuitenkin argumentoida, että vaikka esiformaali matematiikka on olemassa, voi se silti olla filosofisesti merkityksetöntä mikäli se ei viittaa mihinkään objektiiviseen. Tätä vastaan väitän, että kaikki todella deflationistiset teoriat johtavat matematiikan mielivaltaisuuteen. Kaikissa muissa matematiikanfilosofisissa teorioissa on tilaa objektiiviselle viittaukselle, ja laajennus tarskilaiseen totuuteen voidaan tehdä luonnollisesti. Väitän siis, että mikäli matematiikan mielivaltaisuus hylätään, täytyy hyväksyä totuuden substantiaalisuus. Muita tähän liittyviä aiheita, kuten uusfregeläisyyttä, käsitellään myös tässä työssä, eikä niiden todeta poistavan tarvetta tarskilaiselle totuudelle. Ainoa jäljelle jäävä mahdollisuus deflationistille on vaihtaa logiikkaa niin, että formaalit kielet voivat sisältää omat totuuspredikaattinsa. Tarski osoitti tämän mahdottomaksi klassisille ensimmäisen kertaluvun kielille, mutta muilla logiikoilla ei välttämättä olisi lainkaan tarvetta laajentaa formaaleja systeemejä, ja yllä esitetty argumentti ei pätisi. Vaihtoehtoisista tavoista keskityn tässä työssä eniten Jaakko Hintikan ja Gabriel Sandun ”riippumattomuusystävälliseen” IF-logiikkaan. Hintikka on väittänyt, että IF-kieli voi sisältää oman adekvaatin totuuspredikaattinsa. Väitän kuitenkin, että vaikka tämä onkin totta, tätä predikaattia ei voida tunnistaa totuuspredikaatiksi saman IF-kielen sisäisesti, ja siten tarve tarskilaiselle totuudelle säilyy. IF-logiikan lisäksi myös toisen kertaluvun klassinen logiikka ja Saul Kripken käyttämä Kleenen logiikka epäonnistuvat samalla tavalla

The Modal Status of Contextually A Priori Arithmetical Truths

Peer reviewe

Naturalizing Logico-Mathematical Knowledge: Approaches from Philosophy, Psychology and Cognitive Science. Edited by Bangu Sorin. [Book review]

Book review. Reviewed book: Naturalizing Logico-Mathematical Knowledge: Approaches from Philosophy, Psychology and Cognitive Science. Edited by Bangu Sorin. New York: Routledge, 2018.Non peer reviewe

Descriptive Complexity, Computational Tractability, and the Logical and Cognitive Foundations of Mathematics

In computational complexity theory, decision problems are divided into complexity classes based on the amount of computational resources it takes for algorithms to solve them. In theoretical computer science, it is commonly accepted that only functions for solving problems in the complexity class P, solvable by a deterministic Turing machine in polynomial time, are considered to be tractable. In cognitive science and philosophy, this tractability result has been used to argue that only functions in P can feasibly work as computational models of human cognitive capacities. One interesting area of computational complexity theory is descriptive complexity, which connects the expressive strength of systems of logic with the computational complexity classes. In descriptive complexity theory, it is established that only first-order (classical) systems are connected to P, or one of its subclasses. Consequently, second-order systems of logic are considered to be computationally intractable, and may therefore seem to be unfit to model human cognitive capacities. This would be problematic when we think of the role of logic as the foundations of mathematics. In order to express many important mathematical concepts and systematically prove theorems involving them, we need to have a system of logic stronger than classical first-order logic. But if such a system is considered to be intractable, it means that the logical foundation of mathematics can be prohibitively complex for human cognition. In this paper I will argue, however, that this problem is the result of an unjustified direct use of computational complexity classes in cognitive modelling. Placing my account in the recent literature on the topic, I argue that the problem can be solved by considering computational complexity for humanly relevant problem solving algorithms and input sizes.Peer reviewe

Book Review of “Numbers and the Making of Us : Counting and the Course of Human Cultures” by Caleb Everett

Peer reviewe