Simple Darboux points of polynomial planar vector fields

AbstractWe are interested in some aspects of the integrability of complex polynomial planar vector fields in finite form. Especially, in the case of simple Darboux points, we deduce the famous Baum–Bott formula from a kind of global residue theorem; our elementary proof essentially relies on Hilbert's Nullstellensatz.As a corollary of our result, we propose formulas relating the various integers involved in the Lagutinskii–Levelt procedure for a Darboux polynomial at the various Darboux points. In particular, from the whole set of our formulas, it is possible to deduce an upper bound on the degree of irreducible Darboux polynomials in classical cases; with respect to such applications, this corollary seems to provide an alternate tool to usual genus formulas.As many people do in these subjects, we illustrate our corollary by giving a new simple proof of the fact that the polynomial Jouanolou derivation ys∂x+zs∂y+xs∂z, with s⩾2, has no Darboux polynomial

Interagir dans un monde de plus en plus réflexif : Processus cognitifs et traces numériques - mémoire, interprétation et rapport au temps

Aujourd'hui, les activités utilisant des supports numériques sont en augmentation constante dans une variété de domaines professionnels, éducatifs ou de loisirs. Ces supports sont de plus en plus complexes et de nouveaux usages émergent, encore peu stabilisés. L'augmentation exponentielle de ces activités entraine une prolifération des inscriptions numériques, puisque toutes les interactions qui passent dans les systèmes sont enregistrables. Une part importante des inscriptions numériques est visible par les individus. Il s'agit par exemple des historiques de navigation Web, des différentes versions d'un lot de fichiers connexes1 ou des fils de discussion dans un forum. Ainsi, dans le même temps, les situations de confrontations aux inscriptions numériques de l'activité sont de plus en plus fréquentes sous des formats divers (billets écrits dans un blog, suivis électroniques d'activités) (Cahour & Licoppe, 2010). Dans ces situations de " retour sur le passé ", les processus interactionnels et communicationnels sont reconfigurés : processus de construction du sens, d'intercompréhension, de rapport à l'autre et à soi. Comprendre ces processus est un enjeu fort pour les sciences humaines et les sciences informatiques. C'est d'abord un enjeu en termes d'objet pour approfondir la connaissance de tels processus. C'est aussi un enjeu en termes de méthode, puisque l'analyse de ces processus nécessite le développement d'approches interdisciplinaires. Par ailleurs, parce que les inscriptions numériques foisonnent, s'emparer d'elles, de leurs usages, de leurs effets cognitifs et régulateurs constitue un défi pour l'analyse des activités numériques. En particulier, comprendre les effets des situations de confrontations aux inscriptions 1 Cf. logiciels de gestion de versions 1 d'interactions représente aujourd'hui une exigence tant scientifique que sociétale. En effet, la présence des inscriptions et des traces d'activité dans les supports numériques questionne le rapport de l'humain au temps : passé, présent, futur. Nous formulons deux propositions qui constituent la base de cet article: 1. L'humain transforme les inscriptions d'interactions en traces d'activité lorsque, à la fois, il les utilise comme des documents et il les " temporalise ", c'est-à-dire qu'il les situe dans le temps. 2. La confrontation aux traces d'activité soutient les processus de construction du sens. Ce soutien se fait en particulier grâce au potentiel réflexif des traces. Deux notions sont donc fondamentales dans cet article : premièrement, celle d'inscriptions d'interactions que nous définissons comme des " enregistrements des interactions entre l'humain et le dispositif numérique ". Il peut s'agir de fichiers logs, d'historiques d'interactions, etc. Et deuxièmement la notion de traces d'activité que nous définissons comme des " inscriptions d'interactions mobilisées par l'humain, qui s'en sert comme documents et qui les situent dans le temps ". Ainsi pour nous, c'est l'humain qui donne le statut de traces aux inscriptions