PRV-условия неограниченности решения стохастического дифференциального уравнения

Досліджено асимптотичну поведінку розв’язку стохастичного диференціального рівняння ξdξ(t) = a(t,ξ(t))dt + σ(t,ξ(t))dw(t),t ≥ 0; ξ(0) ≡ ξ0, де w — стандартний вінерів процес; ξ0 — невипадкова додатна стала; ξ — розв’язок рівняння, a та σ — неперервні функції. Знайдено умови на функції a та σ, при яких розв’язок ξ прямує до нескінченності. Необмеженість розв’язку є важливим питанням при вивченні асимптотичної поведінки розв’язку стохастичного диференціального рівняння. Основні результати, що стосуються необмеженості розв’язку для автономного стохастичного диференціального рівняння, були отримані Й. І. Гіхманом та А. В. Скороходом. У статті доведено деякі достатні умови, за яких розв’язок неавтономного стохастичного диференціального рівняння прямує до нескінченності при t → ∞. Знайдено деякі достатні умови необмеженості розв’язку неавтономного стохастичного диференціального рівняння в термінах PRV-функцій. Дослідження проведено на основі PRV-теорії, яку було розроблено в серії праць В. В. Булдигіна, О. І. Клесова, Й. Г. Штайнебаха.We consider the behavior of solutions of stochastic differential equation dξ(t) = a(t,ξ(t))dt + σ(t,ξ(t))dw(t),t ≥ 0; ξ(0) ≡ ξ0, where w is a standart Wiener process; ξ0 is a nonrandom positive constant; ξ is a solution of equation, a and σ are continuous functions. The aim of this work is to find conditions on functions a and σ, under which solution ξ tends to infinity. The solutions unboundedness of stochastic differential equations is one of the important research topics of the asymptotic behavior of stochastic differential equations solutions. I. I. Gihman and A. V. Skorohod obtained general results for solutions unboundedness for an autonomous stochastic differential equation. In this paper, we provide some sufficient conditions for the stochastic differential equation with a time-dependent coefficient under which solution tends to infinity for t → ∞. We do the research based on the PRV-theory (the theory of pseudo-regularly varying functions) developed in a series of works by V. V. Buldigin, O. I. Klesov and J. G. Shteinebach.Исследовано асимптотическое поведение решения стохастического дифференциального уравнения ξdξ(t) = a(t,ξ(t))dt + σ(t,ξ(t))dw(t),t ≥ 0; ξ(0) ≡ ξ0, где w — стандартный винеровский процесс; ξ0 — неслучайная положительная постоянная; ξ — решение уравнения, a и σ — непрерывные функции. Найдены условия на функции a и σ, при которых решение ξ стремиться к бесконечности. Неограниченность решения — это важный вопрос при изучении асимптотического поведения решения стохастического дифференциального уравнения. Основные результаты, касающиеся вопроса неограниченности решения для автономного стохастического дифференциального уравнения, были получены, Й. И. Гихманом и А. В. Скороходом. В этой статье доказаны некоторые достаточные условия, при которых решение неавтономного стохастического дифференциального уравнения стремится к бесконечности при t → ∞. Найдены некоторые достаточные условия неограниченности решения неавтономного стохастического дифференциального уравнения в терминах PRV-функций. Исследования проведены на основе PRV-теории, которая была разработана в серии работ В. В. Булдыгина, О. И. Клесова, Й. Г. Штайнебаха

MODELING OF BONUS-MALUS SYSTEM WITH FREQUENCY AND SEVERITY COMPONENTS.

Bonus-Malus systems are widely used all over Europe and Asia. Each client of insurance company is determined to same class. According to this, insurance premium is defined. Depending on the claim frequency and claim severity, client could move from one insurance class to another, receiving discount on insurance premium (bonus class) or a fine (malus class). The aim of this work is estimation of parameters of claim frequency and severity distributions in which the company receives the highest profit. Using C++ features was carried out modeling and estimation of values of frequency and severity component of bonus-malus system in which company receives the highest financial return. Was also written special random number generator, which can be used in further researches

On preserving the limit points of corresponding objects

Suppose that, for two given sequences {a(n)} and {b(n)}, lim inf(n ->infinity) b(n)/a(n) = 1 and let a function f be given. What can then be said about the limit behavior of the corresponding ratio f(b(n))/f(a(n)) as n -> infinity ? In general, no definite answer can be given to this question. We study a case where a definite answer is possible, namely the case of a regularly varying function f of nonzero order. (C) 2020 Elsevier Inc. All rights reserved

Рівномірний підсилений закон великих чисел без припущень стосовно класу множин

We study the sums of identically distributed random variables whose indices belong to certain sets of a given family A in R^d, d >= 1. We prove that sums over scaling sets S(kA) possess a kind of the uniform in A strong law of large numbers without any assumption on the class A in the case of pairwise independent random variables with finite mean. The well known theorem due to R. Bass and R. Pyke is a counterpart of our result proved under a certain extra metric assumption on the boundaries of the sets of A and with an additional assumption that the underlying random variables are mutually independent. These assumptions allow to obtain a slightly better result than in our case. As shown in the paper, the approach proposed here is optimal for a wide class of other normalization sequences satisfying the Martikainen–Petrov condition and other families A. In a number of examples we discuss the necessity of the Bass–Pyke conditions. We also provide a relationship between the uniform strong law of large numbers and the one for subsequences.Key words: sums of random variables, uniform in a family of sets limit results, strong law of large numbers.Pages of the article in the issue: 39 - 48Language of the article: UkrainianМи вивчаємо суми однаково розподілених випадкових величин, індекси яких належать множинам з певної сім'ї A в R^d, d>=1. Для таких сум доведено так звану рівномірну у класі множин теорему про підсилений закон великих чисел без жодногообмеження на A у випадку попарно незалежних випадкових величин зі скінченим математичним сподіванням. Відома теорема Басса-Пайка є аналогом отриманого результату, в якій використовується певне додаткове обмеження на границі множин, а також припущення про незалежність у сукупності відповідних випадкових величин. За рахунок цих додаткових припущень результат Басса-Пайка є більш точним, але результат, отриманий у цій роботі, справджується для більш ширококого класу випадкових величин та сім'ї A. В роботі також показано, що запропонований підхід є оптимальним для інших нормувань, які задовольняють умову Мартікайнена-Петрова. Ми наводимо також низку прикладів та контрприкладів, які пояснюють суть умови Басса-Пайка стосовно сім'ї A. Наведено зв'язок отриманого результату та підсиленого закону великих чисел для підпослідовностей.

Uniform strong law of large numbers

We prove the strong law of large numbers for random signed measures. The result is uniform over a family of subsets under mild assumptions

Necessity in strong limit theorems for renewal processes

We prove that the finiteness of the first moment is necessary for the SLLN for renewal processes as well as the finiteness of the second moment is necessary for the law of the iterated logarithm. We also consider necessity in the Marcinkiewicz strong law of large numbers. Renewal processes constructed by a random walk with infinite expectation are studied too. (orig.)Available from TIB Hannover: RR 8708(43) / FIZ - Fachinformationszzentrum Karlsruhe / TIB - Technische InformationsbibliothekSIGLEDEGerman