Equilibrium problem for a thermoelastic Kirchhoff–Love plate with a delaminated rigid inclusion

The first author is supported by the Russian Foundation for Basic Research and the Republic of Sakha (Yakutia) (project no. 18-41-140003).A new variational problem on the equilibrium of a thermoelastic heterogeneous Kirchhoff–Love plate is considered in a domain with a cut. The cut corresponds to an interfacial crack located on a part of the boundary of a rigid inclusion. We suppose that the plate is under the special loads for which the configuration of crack’s edges is known a priori. This assumption allows us to rewrite the well known nonpenetration condition for Kirchhoff–Love plates in a refined form, which, in turn, leads to new relations describing the possible mechanical interaction of opposite crack edges. Displacements on the rigid inclusion satisfy special constraints having a linear form. Solvability of the problem is proved, an equivalent differential statement is found.Publisher's Versio

An Equilibrium Problem for the Timoshenko-type Plate Containing a Crack on the Boundary of a Rigid Inclusion

Исследуется нелинейная задача о равновесии пластины, содержащей жесткое включение. Предполагается, что пластина имеет вертикальную трещину вдоль некоторой части поверхности, ограничивающей жесткое включение. Деформирование пластины описывается моделью Тимошенко. На кривой, задающей трещину, налагаются нелинейные условия вида неравенств, описывающие взаимное непроникание противоположных берегов трещины. В работе установлена однозначная разрешимость задачи о равновесии пластины. Получены соотношения, описывающие контакт противоположных берегов трещины. Показано, что задача является предельной для семейства задач, моделирующих равновесие упругих пластин при стремлении параметра жесткости к бесконечности в той области, которая соответствует жесткому включению.An equilibrium problem for an elastic Timoshenko type plate containing a rigid inclusion is considered. On the interface between the elastic plate and the rigid inclusion, there is a vertical crack. It is assumed that at both crack faces, boundary conditions of inequality type are considered describing a mutual non-penetration of the faces. A solvability of the problem is proved, and a complete system of boundary conditions is found. It is also shown that the problem is the limit one for a family of other problems posed for a wider domain and describing an equilibrium of elastic plates with a vertical crack as the rigidity parameter goes to infinity

Signorini-Type Problems over Non-Convex Sets for Composite Bodies Contacting by Sharp Edges of Rigid Inclusions

A new type of non-classical 2D contact problem formulated over non-convex admissible sets is proposed. Specifically, we suppose that a composite body in its undeformed state touches a wedge-shaped rigid obstacle at a single contact point. Composite bodies under investigation consist of an elastic matrix and a rigid inclusion. In this case, the displacements on the set, corresponding to a rigid inclusion, have a predetermined structure that describes possible parallel shifts and rotations of the inclusion. The rigid inclusion is located on the external boundary and has the form of a wedge. The presence of the rigid inclusion imposes a new type of non-penetration condition for certain geometrical configurations of the obstacle and the body near the contact point. The sharp-shaped edges of the obstacle effect such sets of admissible displacements that may be non-convex. For the case of a thin rigid inclusion, which is described by a curve and a volume (bulk) rigid inclusion specified in a subdomain, the energy minimization problems are formulated. The solvability of the corresponding boundary value problems is proved, based on analysis of auxiliary minimization problems formulated over convex sets. Qualitative properties of the auxiliary variational problems are revealed; in particular, we have found their equivalent differential formulations. As the most important result of this study, we provide justification for a new type of mathematical model for 2D contact problems for reinforced composite bodies

Existence of an optimal size of a rigid inclusion for an equilibrium problem of a Timoshenko plate with Signorini-type boundary condition

Abstract We study the contact problems for elastic plates with a rigid inclusion. We consider the case of frictionless contact between the rigid part of the plate and a rigid obstacle. The contact is modeled with the Signorini-type nonpenetration condition. The deformation of the transversely isotropic elastic part of the plate is described by the Timoshenko model. We analyze the dependence of solutions to the contact problems on the size of rigid inclusion. The existence of a solution to the optimal control problem is proved. For that problem, the cost functional characterizes the deviation of the displacement vector from a given function, whereas the size parameter of rigid inclusion is chosen as the control function

An Equilibrium Problem for the Timoshenko-type Plate Containing a Crack on the Boundary of a Rigid Inclusion

Исследуется нелинейная задача о равновесии пластины, содержащей жесткое включение. Предполагается, что пластина имеет вертикальную трещину вдоль некоторой части поверхности, ограничивающей жесткое включение. Деформирование пластины описывается моделью Тимошенко. На кривой, задающей трещину, налагаются нелинейные условия вида неравенств, описывающие взаимное непроникание противоположных берегов трещины. В работе установлена однозначная разрешимость задачи о равновесии пластины. Получены соотношения, описывающие контакт противоположных берегов трещины. Показано, что задача является предельной для семейства задач, моделирующих равновесие упругих пластин при стремлении параметра жесткости к бесконечности в той области, которая соответствует жесткому включению.An equilibrium problem for an elastic Timoshenko type plate containing a rigid inclusion is considered. On the interface between the elastic plate and the rigid inclusion, there is a vertical crack. It is assumed that at both crack faces, boundary conditions of inequality type are considered describing a mutual non-penetration of the faces. A solvability of the problem is proved, and a complete system of boundary conditions is found. It is also shown that the problem is the limit one for a family of other problems posed for a wider domain and describing an equilibrium of elastic plates with a vertical crack as the rigidity parameter goes to infinity

Метод фиктивных областей в задаче о равновесии пластины Кирхгофа-Лява с условиями непроникания для известной конфигурации изгиба

New models are investigated in this paper, that describe equilibrium states of plates with Signorini type nonpenetration conditions. In these models, it is assumed that under appropriate loading, plates have special deformations with already known configurations of edges. For this case, we deal with new non- penetration conditions that allow us to describe more precisely the possibility of contact interaction of plate edges. Using the method of fictitious domains, it is proved that an original contact problem for a plate can be obtained by passing to the limit when a rigidity parameter tends to infinity from a family of auxiliary problems formulated in a wider domain. The mentioned family of problems model an equi- librium state of plates with a crack and depend on the positive rigidity parameter. For these problems, to prevent a mutual penetration of the opposite crack faces boundary conditions of inequality type are imposed on the inner boundary corresponding to the crack. For the problem, describing a plate with a crack that intersects the external boundary at zero angle (a case of a boundary having one cusp), the unique solvability is provedВ работе исследуются новые модели о равновесии пластин с условиями непроникания типа Синьорини. Предполагается, что под действием специальных нагрузок пластины имеют деформации с определенной заранее известной конфигурацией кромок. Для этого частного случая мы рассматриваем новые условия непроникания, которые позволяют нам более точно описать контактное взаимодействие на кромках. С помощью метода фиктивных областей доказано, что исходную контактную задачу можно получить с помощью предельного перехода по параметру жесткости в семействе вспомогательных задач, сформулированных в более широкой области. Задачи семейства моделируют равновесие пластины с трещиной и зависят от положительного параметра жесткости. При этом на внутренней границе, соответствующей трещине, налагаются условия непроникания противоположных берегов трещины в виде неравенств. Для задачи о пластине с трещиной, выходящей под нулевым углом на внешнюю границу (случай границы с одним каспом), доказана ее однозначная разрешимост

О предельном переходе по толщине жесткого включения в задаче о равновесии пластины Кирхгофа-Лява с трещиной

The paper considers equilibrium models of Kirchhoff-Love plates with rigid inclusions of two types. The first type of inclusion is described by three-dimensional sets, the second one corresponds to a cylindrical rigid inclusion, which is perpendicular to the plate’s median plane in the initial state. For both models, we suppose that there is a through crack along a fixed part of the inclusion’s boundary. On the crack non-penetration conditions are prescribed which correspond to a certain known configuration bending near the crack. The uniqueness solvability of a new problems for a Kirchhoff-Love plate with a flat rigid inclusion is proved. It is proved that when a thickness parameter tends to zero, the problem for a flat rigid inclusion can be represented as a limiting task for a family of variational problems concerning the inclusions of the first type. A solvability of an optimal control problem with a control given by the size of inclusions is provedВ работе рассмотрены модели о равновесии пластин с жесткими включениями двух видов. Первый вид включения описывается трехмерным множеством, второй вид жесткого включения соответствует плоскому жесткому включению, которое в исходном состоянии перпендикулярно срединной плоскости. Для обеих моделей вдоль части жесткого включения расположена сквозная трещина. На трещине задаются условия непроникания для случая известной конфигурации изгиба вблизи трещины. Доказана однозначная разрешимость новой постановки задачи для пластины с плоским жестким включением. Доказано, что предельный переход в семействе вариационных задач для пластин с включением первого вида при стремлении параметра поперечной толщины включения к нулю доставляет задачу для пластины с плоским жестким включением. Доказана разрешимость задачи оптимального управления размером жесткого включени