Tickborne Relapsing Fever Caused by Borrelia persica, Uzbekistan and Tajikistan

International audienc

Determination of set-membership identifiability sets

International audienceThis paper concerns the concept of set-membership identifiability introduced in \cite{jauberthie}. Given a model, a set-membership identifiable set is a connected set in the parameter domain of the model such that its corresponding trajectories are distinct to trajectories arising from its complementary. For obtaining the so-called set-membership identifiable sets, we propose an algorithm based on interval analysis tools. The proposed algorithm is decomposed into three parts namely {\it mincing}, {\it evaluating} and {\it regularization} (\cite{jaulin2}). The latter step has been modified in order to obtain guaranteed set-membership identifiable sets. Our algorithm will be tested on two examples

A new method for estimating derivatives based on a distribution approach

International audienceIn many applications, the estimation of derivatives has to be done from noisy measured signal. In this paper, an original method based on a distribution approach is presented. Its interest is to report the derivatives on infinitely differentiable functions. Thus, the estimation of the derivatives is done only from the signal. Besides, this method gives some explicit formulae leading to fast calculus. For all these reasons, it is an efficient method in the case of noisy signals as it will be confirmed in several examples

Au Sujet des Approches Symboliques des Équations Intégro-Différentielles

International audienceRecent progress in computer algebra has opened new opportunities for the parameter estimation problem in nonlinear control theory, by means of integro-differential input-output equations. This paper recalls the origin of integro-differential equations. It presents new opportunities in nonlinear control theory. Finally, it reviews related recent theoretical approaches on integro-differential algebras, illustrating what an integro-differential elimination method might be and what benefits the parameter estimation problem would gain from it.Un résultat récent en calcul formel a ouvert de nouvelles opportunités pour l'estimation de paramètres en théorie du contrôle non linéaire, via des équations entrée-sortie intégro-différentielles. Ce chapitre rappelle les origines des équations intégro-différentielles. Il présente de nouvelles opportunités en théorie du contrôle non linéaire. Finalement, il passe en revue des approches théoriques récentes sur les algèbres intégro-différentielles, illustrant ce qu'une méthode d'élimination intégro-différentielle pourrait être et les bénéfices que le problème de l'estimation de paramètres pourrait en tirer

Identifiabilité de systèmes d'équations aux dérivées partielles semi-discrétisées et applications à l'identifiabilité paramétrique de modèles en pharmacocinétique et en pollution.

Before estimating the parameters appearing in a linear or non-linear, controlled or uncontrolled, dynamical system, it is necessary to study the unicity of the parameters compared to the experimental data. This study is still called identifiability. Several methods were developed these last years, in particular the input-output method based on the use of differential algebra. The results obtained from it make it possible to set up numerical methods to obtain a first estimate of the parameters, this without any knowledge a priori of their value. This first estimate can then be used as starting point of iterative algorithms specialized in the study of the ill-posed problems: the regularization of Tikhonov.In this thesis, two nonlinear models in pharmacokinetic were first of all studied. Then, we were interested in a model of pollution described by a parabolic partial derivative equation. The source term to be identified was modelled by the product of the function flow with the Dirac mass, of support the position of the polluting source. The goal of the work was to provide a first estimate of the polluting source. After having obtained the identifiability of the continuous problem, the identifiability of an approximated model was obtained by using the step of input-output method. The approximated model was obtained by approaching the Dirac mass by a Gaussian function and by discretizing the system in space then. The results of identifiability were obtained whatever the number of points of discretization in space. From this study, we deduced numerical algorithms giving a first estimate of the polluting source.Avant d'estimer les paramètres intervenant dans des systèmes dynamiques, linéaires ou non-linéaires, contrôlés ou non contrôlés, il est important d'effectuer une étude d'identifiabilité, c'est à dire si, à partir des données expérimentales, les paramètres étudiés sont uniques ou non. Plusieurs méthodes ont été développées ces dernières années, en particulier une qui est basée sur l'algèbre différentielle. Celle-ci a conduit à un algorithme utilisant le package Diffalg implémenté sous Maple et permettant de tester l'identifiabilité de systèmes d'équations différentielles. Les résultats obtenus à partir de cette étude permettent de mettre en place des méthodes numériques pour obtenir une première estimation des paramètres, ceci sans aucune connaissance à priori de leur valeur. Cette première estimation peut alors être utilisée comme point de départ d'algorithmes itératifs spécialisés dans l'étude des problèmes mal posés : la régularisation de Tikhonov. Dans cette thèse, deux modèles non linéaires en pharmacocinétique de type Michaelis-Menten ont tout d'abord été étudiés. Ensuite, nous nous sommes intéressés à un modèle de pollution décrit par une équation aux dérivées partielles parabolique. Le terme source à identifier était modélisé par le produit de la fonction débit avec la masse de Dirac, de support la position de la source polluante. Le but du travail était de fournir une première estimation de la source polluante. Après avoir obtenu l'identifiabilité du problème continu, nous avons étudié l'identifiabilité d'un problème approché en nous appuyant sur les méthodes d'algèbre différentielle. Celui-ci a été obtenu en approchant la masse de Dirac par une fonction gaussienne et en discrétisant ensuite le système en espace. Les résultats d'identifiabilité ont été obtenus quel que soit le nombre de points de discrétisation en espace. De cette étude théorique, nous en avons déduit des algorithmes numériques donnant une première estimation des paramètres à identifier

Etudes qualitatives et quantitatives de modèles paramétriques. De la théorie à la pratique avec un exemple en sciences humaines.

Ce mémoire regroupe les différentes recherches que j'ai menées depuis ma thèse en 2005. Mes travaux se sont concentrés sur des études qualitatives et quantitatives de modèles paramétriques, que ce soit l'identifiabilité, la diagnosticabilité, la synchronisation dans les réseaux. Une partie de ces études a été appliquée à la modélisation des comportements humains en situation de catastrophe. Le deuxième chapitre présente plusieurs de mes résultats sur l'identifiabilité. Après une introduction sur la problématique des modèles identifiables (ou non), je présente une première généralisation de cette notion : l'identifiabilité relative. Celle-ci étudie l'identifiabilité de certains paramètres par rapport à d'autres. Cette propriété permet de connaître les paramètres clés à déterminer pour obtenir l'identifiabilité de paramètres plus difficiles à estimer voire l'identifiabilité de tout le système. Le résultat est certifié grâce aux outils semi-algébriques. Je montre ensuite comment l’identifiabilité et la méthode associée basée sur l’algèbre différentielle ont été généralisées aux systèmes non linéaires à incertitudes bornées puis aux équations aux dérivées partielles. Dans chacun de ces cadres, ces travaux théoriques ont été complétés par l'étude et le développement de méthodes numériques pour estimer les paramètres. Le troisième chapitre aborde le problème du diagnostic et de son étude. Pour cela deux signatures, l'une fonctionnelle et l'autre algébrique, ont été introduites dans le cadre de modèles dynamiques paramétrés non linéaires avec fautes. Contrairement aux définitions classiques de signatures, leur étude met en évidence certaines propriétés fonctionnelles et analytiques liées à la faute agissant sur le système. Les méthodes développées s'appuient sur plusieurs outils d'algèbre différentielle et semi-algébriques permettant de garantir les résultats théoriques. De celles-ci, nous en avons déduit des méthodes numériques pour détecter, discriminer et isoler la ou les fautes.Le quatrième chapitre concerne les réseaux d'oscillateurs et la généralisation d'un résultat de synchronisation ainsi que l'étude de bifurcations de Hopf dans un réseau acyclique direct à partir d'une bifurcation survenant dans un des oscillateurs. Enfin, le dernier chapitre explique comment nous avons construit, en collaboration avec des géographes et de psychologues, des modèles mathématiques décrivant les différents états comportementaux et leurs transitions lors de catastrophes. Il présente ensuite les différentes réflexions et expérimentations (dont une de réalité virtuelle) menées pour valider et exploiter ces modèles