On the reduction of the multidimensional Schroedinger equation to a first order equation and its relation to the pseudoanalytic function theory

Given a particular solution of a one-dimensional stationary Schroedinger equation (SE) this equation of second order can be reduced to a first order linear differential equation. This is done with the aid of an auxiliary Riccati equation. We show that a similar fact is true in a multidimensional situation also. We consider the case of two or three independent variables. One particular solution of (SE) allows us to reduce this second order equation to a linear first order quaternionic differential equation. As in one-dimensional case this is done with the aid of an auxiliary Riccati equation. The resulting first order quaternionic equation is equivalent to the static Maxwell system. In the case of two independent variables it is the Vekua equation from theory of generalized analytic functions. We show that even in this case it is necessary to consider not complex valued functions only, solutions of the Vekua equation but complete quaternionic functions. Then the first order quaternionic equation represents two separate Vekua equations, one of which gives us solutions of (SE) and the other can be considered as an auxiliary equation of a simpler structure. For the auxiliary equation we always have the corresponding Bers generating pair, the base of the Bers theory of pseudoanalytic functions, and what is very important, the Bers derivatives of solutions of the auxiliary equation give us solutions of the main Vekua equation and as a consequence of (SE). We obtain an analogue of the Cauchy integral theorem for solutions of (SE). For an ample class of potentials (which includes for instance all radial potentials), this new approach gives us a simple procedure allowing to obtain an infinite sequence of solutions of (SE) from one known particular solution

On a factorization of second order elliptic operators and applications

We show that given a nonvanishing particular solution of the equation (divpgrad+q)u=0 (1) the corresponding differential operator can be factorized into a product of two first order operators. The factorization allows us to reduce the equation (1) to a first order equation which in a two-dimensional case is the Vekua equation of a special form. Under quite general conditions on the coefficients p and q we obtain an algorithm which allows us to construct in explicit form the positive formal powers (solutions of the Vekua equation generalizing the usual powers of the variable z). This result means that under quite general conditions one can construct an infinite system of exact solutions of (1) explicitly, and moreover, at least when p and q are real valued this system will be complete in ker(divpgrad+q) in the sense that any solution of (1) in a simply connected domain can be represented as an infinite series of obtained exact solutions which converges uniformly on any compact subset of . Finally we give a similar factorization of the operator (divpgrad+q) in a multidimensional case and obtain a natural generalization of the Vekua equation which is related to second order operators in a similar way as its two-dimensional prototype does

On a complex differential Riccati equation

We consider a nonlinear partial differential equation for complex-valued functions which is related to the two-dimensional stationary Schrodinger equation and enjoys many properties similar to those of the ordinary differential Riccati equation as, e.g., the famous Euler theorems, the Picard theorem and others. Besides these generalizations of the classical "one-dimensional" results we discuss new features of the considered equation like, e.g., an analogue of the Cauchy integral theorem

On the Klein-Gordon equation and hyperbolic pseudoanalytic function theory

Elliptic pseudoanalytic function theory was considered independently by Bers and Vekua decades ago. In this paper we develop a hyperbolic analogue of pseudoanalytic function theory using the algebra of hyperbolic numbers. We consider the Klein-Gordon equation with a potential. With the aid of one particular solution we factorize the Klein-Gordon operator in terms of two Vekua-type operators. We show that real parts of the solutions of one of these Vekua-type operators are solutions of the considered Klein-Gordon equation. Using hyperbolic pseudoanalytic function theory, we then obtain explicit construction of infinite systems of solutions of the Klein-Gordon equation with potential. Finally, we give some examples of application of the proposed procedure

Development of a food antioxidant complex of plant origin

Розроблено антиоксидантний комплекс для використання в оліях, жирах та продуктах харчування, що потребують збагачення біологічно активними речовинами рослинного походження. Досліджено раціональні умови одержан- ня водно-етанольних екстрактів із рослинної сировини: кори дубу, листя евкаліпту та листя зеленого чаю. Отримано антиоксидант, що здатен запобігати окисненню жировмісних продуктів, зберігаючи їх високу поживну цінність. Антиоксидантні речовини природного походження дозволять створювати збалансовані за складом продукти з підвищеним строком придатності із збереженням початкового природного складу та структури компонентів. Також розроблений антиоксидант є додатковим джерелом речовин, що допомагають організму боротися з вільними радикалами, що утворюються внаслідок фізичних та психічних навантажень. До складу антиоксидантів рослинного походжен- ня входять антиоксидантні вітаміни (токофероли та аскорбінова кислота), рослинні феноли та тиолові антиоксиданти (глутатіон, ліпоєва кислота), мікроелементи. Ці складові беруть участь у процесах гальмування окиснення. Також до таких антиоксидантів входять селен, цинк, фолати та інші речовини. Для планування експериментальних досліджень для кожного виду рослинної сировини стосовно антиоксидантної активності виділених речовин використано повний факторний експеримент першого порядку. Виявлено синергізм дії антиоксидантних речовин при одночасному використанні екстрактів з кори дубу, листя евкаліпта, листя зеленого чаю. Розроблений антиоксидант підвищує період індукції модельної речовини (олії соняшникової) у 2,7 рази, тоді як під час використання антиоксидантів окремо з кожного виду рослин найкращий показник збільшення періоду індукції склав 1,9. Отже, розроблений антиоксидант здатен сприяти збереженню якості і безпечності жировмісних продуктів харчування. Використання даного антиоксиданту може бути запропоновано для продуктів харчування людей, що потребують додаткового введення антиоксидантів та біологічно активних речовин до раціону харчування. Зокрема, це важливо для спортсменів

ОЦІНКА ДЕТЕРМІНАНТ ФІНАНСОВОЇ БЕЗПЕКИ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ В УКРАЇНІ

The paper is devoted to the study of determinants determined the level of financial security of economic systems. It is shown that the financial security of an economic system implies the achievement of a level of financial stability that will contribute to simultaneously maintaining financial equilibrium and ensuring targeted growth in line with the development strategy.The level of financial security of rail transport in Ukraine was analyzed and it was determined that the decline in its security was the result of a complex interaction of external and internal factors, the main of which were tight government regulation, shifting the financial burden of social responsibilities to Ukrzaliznytsya, PJSC, lack of competition in the transportation of the main nomenclature of cargo and the unsatisfactory state of non-current assets. Based on the Argenti’s method, it is shown that the consequence of the inefficient financial management of Ukrzaliznytsia, PJSC are the reduction of its insolvency.Three main determinants of the financial security of rail enterprises were identified: a reduction in traffic volumes, an unstable capital structure and the impossibility of timely repayment of current liabilities. An additive model for assessing the impact of selected determinants on the level of financial security of Ukrzaliznytsia, PJSC is proposed. The analysis of the model parameters showed that the greatest impact has the index of industrial production, which is due to the predominant formation of its own financial resources of rail transport due to income from freight traffic.A complex of measures designed to improve the financial condition of rail enterprises was proposed. It is substantiated that in order to equalize existing threats, it is necessary to take political decisions aimed at improving the financial condition of Ukrzaliznytsia, PJSC by reducing the intensity of leaching of its financial resources, as well as implementing an anti-crisis financial strategy aimed at optimizing the capital structure and financial rehabilitation of rail enterprises.Посвящено анализу уровня финансовой безопасности железнодорожного транспорта в Украине и оценке формирующих его детерминант. Построена аддитивная модель влияния выделенных детерминант на уровень финансовой безопасности. Разработан комплекс мероприятий, направленных на улучшение финансового состояния предприятий железнодорожного транспорта.Присвячено дослідженню детермінант, що визначають рівень фінансової безпеки економічних систем. Показано, що фінансова безпека будь-якої економічної системи передбачає досягнення такого рівня фінансової стійкості, який буде сприяти одночасній підтримці фінансової рівноваги і забезпеченню цілеспрямованого зростання відповідно до стратегії розвитку.Проаналізовано рівень фінансової безпеки залізничного транспорту України і визначено, що зниження рівня безпеки було результатом складної взаємодії зовнішніх і внутрішніх факторів, основними з яких є суворе державне регулювання, перекладання фінансового тягаря соціальних обов’язків на ПАТ «Укрзалізниця», відсутність конкуренції при перевезеннях основної номенклатури вантажів і незадовільний стан необоротних активів. На основі моделі Аргенті показано, що наслідком неефективного управління фінансами ПАТ «Укрзалізниця» стало зниження неплатоспроможності.Виділено три основні детермінанти фінансової безпеки залізничних підприємств: скорочення обсягів перевезень, нестійка структура капіталу і неможливість своєчасного погашення поточних зобов’язань. Запропоновано адитивну модель для оцінки впливу визначених детермінант на рівень фінансової безпеки ПАТ «Укрзалізниця». Аналіз параметрів моделі показав, що найбільший вплив має індекс промислового виробництва, що обумовлено переважним формуванням власних фінансових ресурсів залізничного транспорту за рахунок доходів від вантажних перевезень.Запропоновано комплекс заходів, спрямованих на поліпшення фінансового стану залізничних підприємств. Установлено, що для вирівнювання наявних загроз потрібно ухвалювати політичні рішення, спрямовані на поліпшення фінансового стану ПАТ «Укрзалізниця» шляхом зниження інтенсивності вимивання його фінансових ресурсів, а також реалізації антикризової фінансової стратегії, спрямованої на оптимізацію структури капіталу і фінансового оздоровлення залізничних підприємств

Development Of Reciptures Of Canned Smothies Made From Zucchini And Fruits

Rational nutrition for a whole year is possible with a well-established system of storage and processing of plant raw materials. Products with vegetable and fruit raw materials due to their availability and nutritional value are in demand among the population. There is a constant interest in new products with increased biological value. The preservation of ascorbic acid, the main source of which is vegetables and fruits, is also affected by the technology of production. Despite the damaging effect of the heat treatment temperature of canned products on thermolabile components, the sterilization regimes should be relaxed. To this end, it has been proposed to produce beverages from vegetables and fruits for scientifically-based recipes, which allows them to be processed at a temperature of 100 °C, as well as juices with pulp and sugar. Smoothie, made on the basis of zucchini with the addition of gooseberries and blackcurrant puree contain respectively 13.3 and 41.8 mg/100 g of ascorbic acid, have an optimal for good perception of the sugar-acid index 21,4-21,5 compared with juices from soft pulp and sugar from gooseberry and black currant, which produces industry. The latter is explained by the fact that instead of sugar syrup, natural juice from zucchini was used in the recipe

Distribution of salinity in irrigated soils in the area of the Sarpinskaya hollow in the Caspian lowland

The current state of salinity of irrigated soils in the area of the Sarpinskaya hollow in the Caspian lowland has been studied, using the example of the Duboovrazhny irrigated plot in the Volgograd region. At the peak of irrigation in the 85-90s of the last century, forage grasses were cultivated on the plot, irrigation was carried out by sprinkler irrigation, the groundwater level remained satisfactory, and there were no foci of secondary soil salinization. Currently, the plot is a private farm, where melons and vegetables are grown using drip irrigation, the groundwater level remains satisfactory with local formation of temporal water saturated layer. To identify the features of the process of salinization in irrigated soils in the Sarpinskaya hollow based on the materials of the field work performed in 2018–2019, a model of two-dimensional distribution (depth, distance) of the activity of ions (Ca2+, Cl–, Na+) over several profiles along weakly concave low ranges and elongated hollows between them and across relief wave was created. It was revealed that natural soil salinization predominates in the study plot mainly deeper than 1 m, and results from shallow bedding of Khvalynian chocolate clays at ranges. Solonchakous soils occur in elongated hollows between ranges where surface and subsurface runoff water is accumulated and natural drainability is low. Residual traces of soil secondary salinization expressed in the presence of calcium chloride in the soil solution were found. The maximum values of salts and exchangeable sodium are concentrated in the deeper part of the soil profile

On the M87 jet structure near the central engine

At present, there is no doubt that relativistic jets observed in active galactic nuclei pass from highly magnetized to weakly magnetized stage, which is observed as a break in the dependence on their width $d_{\rm jet}(z)$ on the distance $z$ to the central engine. In this paper, we discuss the possibility of observing another break, which should be located at shorter distances. The position of this break can be associated with the region of formation of the dense central core near the jet axis which was predicted both analytically and numerically more than a decade ago, but has not yet received sufficient attention. In this case, the observed width should be determined by the dense core, and not by the total transverse size of the jet. The calculations carried out in this paper, which took into account both the transverse electromagnetic structure of the jet and the change in the spectrum of emitting particles along its axis, indeed showed such behaviour. We also found the evidence of the predicted break in the jet expansion profile using stacked 15 GHz VLBA image of M87 radio jet and constrain the light cylinder radius.Comment: 11 pages, 6 figures. Accepted by MNRAS 2024 February 7. In original form 2023 September 2