Dual finite frames for vector spaces over an arbitrary field with applications

In the present paper, we study frames for finitedimensional vector spaces over an arbitrary field. We develop a theory of dual frames in order to obtain and study the different representations of the elements of the vector space provided by a frame. We relate the introduced theory with the classical one of dual frames for Hilbert spaces and apply it to study dual frames for three types of vector spaces: for vector spaces over conjugate closed subfields of the complex numbers (in particular, for cyclotomic fields), for metric vector spaces, and for ultrametric normed vector spaces over complete non-archimedean valued fields. Finally, we consider the matrix representation of operators using dual frames and its application to the solution of operators equations in a Petrov-Galerkin scheme.Fil: Morillas, Patricia Mariela. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; Argentin

Harmonic reconstruction systems

This paper considers group reconstruction systems (GRS’s), for finite dimensional real or complex Hilbert spaces H, that are associated with unitary representations of finite abelian groups. The relation between these GRS’s and the generalized Fourier matrix is established. A special type of Parseval GRS, called harmonic reconstruction system (HRS), is defined. It is shown that there exist HRS’s that present maximal robustness to erasures given characterizations of certain families.Fil: Morillas, Patricia Mariela. Consejo Nacional de Invest.cientif.y Tecnicas. Centro Cientifico Tecnol.conicet - San Luis. Instituto de Matematica Aplicada de San Luis; Argentina

Properties of finite dual fusion frames

A new notion of dual fusion frame has been recently introduced by the authors. In this article that notion is further motivated and it is shown that it is suitable to deal with questions posed in a finite-dimensional real or complex Hilbert space, reinforcing the idea that this concept of duality solves the question about an appropriate definition of dual fusion frames. It is shown that for overcomplete fusion frames there always exist duals different from the canonical one. Conditions that assure the uniqueness of duals are given. The relation of dual fusion frame systems with dual frames and dual projective reconstruction systems is established. Optimal dual fusion frames for the reconstruction in case of erasures of subspaces, and optimal dual fusion frame systems for the reconstruction in case of erasures of local frame vectors are determined. Examples that illustrate the obtained results are exhibited.Fil: Heineken, Sigrid Bettina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Morillas, Patricia Mariela. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; Argentin

Generalized inverses and projectors in rings

Let $\mathcal{R}$ be a ring with a unit $1 \neq 0$. We prove several properties of generalized inverses in $\mathcal{R}$ using projectors on $\mathcal{R}$, i.e., idempotent group morphisms $\rho: \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$. The results show that in $\mathcal{R}$, generalized inverses and projectors are related similarly to how generalized inverses and idempotent linear transformations are in the particular ring of finite complex matrices. We study $\{1\}$, $\{2\}$, $\{1,2\}$, Drazin and group inverses, and in rings with involution, we study Moore-Penrose, core and dual core inverses. We show the existence of projectors associated with these generalized inverses. We obtain expressions for $\{1\}$, $\{2\}$ and $\{1,2\}$ inverses and give conditions for their existence when they have prescribed principal and annihilator ideals. We characterize group, Moore-Penrose, core and dual core inverses as $\{1,2\}$-inverses with given principal and annihilator ideals

The natural vector bundle of the set of multivariate density functions

We find a description of the set of multivariate density functions with given marginals and introduce an associated vector bundle. The interest for the probability theory is restricted to the nonnegative elements in the sets of the derived vector bundle. The fiber is the space of all correlation measures among a multivariate density function and its unidimensional marginals.Fil: Marchi, Ezio. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; ArgentinaFil: Morillas, Patricia Mariela. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; Argentin

Oblique Dual Fusion Frames

We introduce and develop the concept of oblique duality for fusion frames. This concept provides a mathematical framework to deal with problems in distributed signal processing where the signals considered as elements in a Hilbert space are, under certain requirements, analyzed in one subspace and reconstructed in another subspace. The requirements are, on one side, the uniqueness of the reconstructed signal, and on the other what we call consistency of the sampling for fusion frames. Both conditions are naturally related to oblique projections. We study the main properties of oblique dual fusion frames and oblique dual fusion frame systems introduced in this work and present several results that provide alternative methods for their construction.Fil: Heineken, Sigrid Bettina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Morillas, Patricia Mariela. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; Argentin

Balanced Frames: A Useful Tool in Signal Processing with Good Properties

So far there has not been paid attention to frames that are balanced, i.e. those frames which sum is zero. In this paper we consider balanced frames, and in particular balanced unit norm tight frames, in finite dimensional Hilbert spaces. Here we discover various advantages of balanced unit norm tight frames in signal processing. They give an exact reconstruction in the presence of systematic errors in the transmitted coefficients, and are optimal when these coefficients are corrupted with noises that can have non-zero mean. Moreover, using balanced frames we can know that the transmitted coefficients were perturbed, and we also have an indication of the source of the error. We analyze several properties of these types of frames. We define an equivalence relation in the set of the dual frames of a balanced frame, and use it to show that we can obtain all the duals from the balanced ones. We study the problem of finding the nearest balanced frame to a given frame, characterizing completely its existence and giving its expression. We introduce and study a concept of complement for balanced frames. Finally, we present many examples and methods for constructing balanced unit norm tight frames.Fil: Heineken, Sigrid Bettina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Morillas, Patricia Mariela. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; ArgentinaFil: Tarazaga, Pablo. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; Argentin

Marcos balanceados

Un conjunto generador de vectores en un espacio de Hilbert de dimensión nita es llamado un marco. La redundancia de estos conjuntos generadores es la propiedad crucial en sus numerosas y variadas aplicaciones en matemática pura y aplicada, en ciencias y en ingeniería, tales como representación eciente de vectores y operadores, procesamiento de señales, teoría de códigos, teoría de comunicaciones, teoría de muestreo, información cuántica, computación, entre otras. Hasta ahora no se había prestado atención a marcos que son balanceados, es decir, aquellos cuya suma es cero. En este trabajo consideramos estos marcos, y en particular marcos ajustados de norma uno balanceados. Analizamos diferentes propiedades y descubrimos varias ventajas que tienen en procesamiento de señales. Por ejemplo, dan una reconstrucción exacta en presencia de errores sistemáticos en los coecientes transmitidos, y son óptimos cuando estos coecientes están corrompidos con ruidos aditivos que pueden tener una media no cero. Más aún, usando marcos balanceados podemos conocer que los coecientes transmitidos fueron perturbados, y tenemos además una indicación de la fuente del error. Denimos una relación de equivalencia en el conjunto de los duales de un marco balanceado, y la usamos para mostrar que podemos obtener todos los duales a partir de los que son balanceados. Estudiamos el problema de encontrar el marco balanceado más cercano a un marco dado, caracterizando completamente su existencia y dando su expresión. Introducimos y estudiamos un concepto de complemento para marcos balanceados. Finalmente, presentamos varios ejemplos y métodos para construir marcos ajustados de norma uno balanceados.Fil: Heineken, Sigrid Bettina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Morillas, Patricia Mariela. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; ArgentinaFil: Tarazaga, Pablo. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; ArgentinaReunión Anual de la Unión Matemática ArgentinaArgentinaUnión Matemática Argentin

Marcos duales oblicuos aproximados en espacios invariantes por traslaciones

Los marcos duales oblicuos [1, 2] son una generalización de los marcos duales. A diferencia de los marcos duales no están restringidos a pertenecer al mismo espacio que los marcos originales. Permiten representaciones redundantes en donde los elementos que se usan para el análisis y los que se usan para la síntesis pertenecen a subespacios distintos. En las aplicaciones, se suele trabajar con duales oblicuos que no son exactos. Por otro lado, si suponemos que estos subespacios están fijos, en algunos casos puede haber un único marco dual oblicuo. Este marco dual oblicuo puede no tener propiedades buenas, o puede ser difícil de construir, lo cual motiva la necesidad de tener más libertad en su construcción. Por eso introdujimos el concepto de marcos duales oblicuos aproximados en espacios de Hilbert separables y estudiamos sus propiedades. En base a esta definición, en este trabajo se estudian marcos de trasladadas duales oblicuos aproximados para subespacios de L 2 (R). Usando una expresión para la transformada de Fourier de la proyección oblicua cuando los subespacios son invariantes por traslaciones, se dan condiciones sobre los generadores de estos subespacios para la existencia de marcos duales oblicuos aproximados.Fil: Diaz, Jorge Pablo. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; ArgentinaFil: Heineken, Sigrid Bettina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Morillas, Patricia Mariela. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi". Universidad Nacional de San Luis. Facultad de Ciencias Físico, Matemáticas y Naturales. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis "Prof. Ezio Marchi"; ArgentinaSUMA 2019: reunión anual de la UMA junto a la SOMACHIMendozaArgentinaUnión Matemática Argentin

Construction of orthonormal wavelet-like bases

A general method for constructing wavelet-like bases in a Hilbert space H starting from any orthonormal basis in H and any periodic orthonormal wavelet basis is presented. With this method we can take advantage of the characteristics of both types of bases to obtain orthonormal wavelet-like bases that are suitable to represent functions and operators efficiently.Fil: Morillas, Patricia Mariela. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico San Luis. Instituto de Matemática Aplicada de San Luis; Argentina. Universidad Nacional de San Luis; Argentin