On the multiple Borsuk numbers of sets

The \emph{Borsuk number} of a set $S$ of diameter $d >0$ in Euclidean $n$-space is the smallest value of $m$ such that $S$ can be partitioned into $m$ sets of diameters less than $d$. Our aim is to generalize this notion in the following way: The \emph{$k$-fold Borsuk number} of such a set $S$ is the smallest value of $m$ such that there is a $k$-fold cover of $S$ with $m$ sets of diameters less than $d$. In this paper we characterize the $k$-fold Borsuk numbers of sets in the Euclidean plane, give bounds for those of centrally symmetric sets, smooth bodies and convex bodies of constant width, and examine them for finite point sets in the Euclidean $3$-space

Nemkonvex és diszkrét sztochasztikus programozási feladatok megoldása és alkalmazása = Solution and applications of nonconvex and discrete stochastic programming problems

A nemkonvex feladatok megoldására három területen is lényeges haladást értünk el: a valószínűségek kiszámítása, általános sztochasztikus feladatok optimalizálásában és a diszkrét sztochasztikus programozási feladatok megoldásában. A normális valószínűségek kiszámítására használt számítógépes szubrutinok olyan gyors működését értük el, hogy normális eloszlás esetén még 1000 dimenziós egyszerű konvex alakzatok valószínűségét is meg lehet határozni egy másodperc körüli időben. A poliéderek használatán alapuló módszer egy új elvi alapokat felhasználó eljárás valószínűségek kiszámítására. Ezen kívül a Dirichlet és a gamma eloszlás valószínűségeinek kiszámításában sikerült eredményeket elérni. Sztochasztikus feladatok megoldó algoritmusaira négy új eljárást dolgoztunk ki: a megengedett megoldások halmazának közelitésén (Bukszár), a szukcesszív regressziós approximációk véletlen egyenletrendszerekre való alkalmazása (Deák), metszősík algoritmusokat használó algoritmus (Fábián), a valószínűségi korláton belül tetszőleges helyen véletlent tartalmazó modell megoldása (Vizvári). A többdimenziós momentumproblémák megoldására kifejlesztett eljárásokat hasznossági függvény becslésére alkalmaztuk. | In our research for solving nonconvex problems we achieved progress in three areas: computing probabilities, optimizing general stochastic programming problems and discrete programming problems. The computer subroutines determining multinormal probabilities became so fast, that even for 1000 dimensional simple convex sets we were able to compute probabilities in about 1 sec. Employing polyhedra is a theoretically new path in computing probabilities. Also we developed some algorithms for computing probabilities for the Dirichlet and the gamma distribution. Four new procedures have been developed fo optimizing stochastic programming models: approximating the set of feasible solutions (Bukszár), applying the successive regression approximations for solving random linear systems of equations (Deák), cutting plane techniques (Fábián), solving problems where the random variables may be in any place inside the probabilistic constraint (Vizvari. In the multidimensional discrete moment problems we proved some theorems, and using these results new algorithm could be presented for approximating the expected utility function

Diszkrét és kombinatórikus geometriai kutatások = Topics in discrete and combinatorial geometry

A most lezárult OTKA grant, 8 résztvevő diszkrét geometriai kutatását támogatta. Itt a témák ilusztrálására kiemelünk néhányat az elért 72 publikációból. 1. Jelentős eredmények születtek (8 cikk) gráfok síkba rajzolhatóságáról, például az úgynevezett metszési számról. 2. Többek között sikerült igazolni Katchalski és Lewis 20 éves sejtését, mely szerint diszjunkt egységkörökből álló rendszereknél ha bármely három körnek van közös metsző egyenese akkor van olyan egyenes, amely legfeljebb 2 kör kivételével valamennyit metsz. 3. Littlewood (1964) problémájaként ismert volt az a kérdés, hogy hány henger érintheti kölcsönösen egymást? Viszonylag alacsony felső korlátot találtunk és egy régóta ismert elhelyzés valótlanságát igazoltuk. 4. Többszörös fedések egyszerű fedésekre való szétbontását vizsgáltuk és értünk el lényeges előrelépést. 5. A Borsuk-féle darabolási problémanak azt a variánsát vizsgáltuk, amelyben a darabolást u. n. hengeres darabolásra korlátozták. 6. Bebizonyítottuk, hogy ''nem nagyon elnyúlt'' ellipszisek esetében a sík legritkább fedésének meghatározásánál el lehet tekinteni az u.n. nem-keresztezési feltételtől. 7. A sejtetthez nagyon közeli korlátot találtunk arra a problémára, hogy az n-dimenziós térben legfeljebb hány homotetikus konvex test helyezhető el úgy, hogy bármely kettő érintse egymást. | Discrete geometry in Hungary flourished since the sixties as a result of the work of László Fejes Tóth. The supported research of 8 participant also belongs to this area. Here we illustrate the achieved 72 publications by mentioning a few results. 1. Important theorems (8 papers) were proved concerning graph drawing. 2. Among others, a 20 year old problem of Katchalsky was proved, stating that in a packing of congruent circles, if any three has a common transversal, then there is a line, which avoids at most two of the circles. 3. Concerning a conjecture of Littlewood we found a small upper bound for the number of infinite cylinders which mutually touch each other. 4. We studied decomposability of multiple coverings into single coverings. 5. We studied that variant of the famous Borsuk problem where the partitions are restricted to cylindrical partitions. 6. We proved that in case of ellipses which are not ''too long'' at determining the thinnest covering one can omit the usually needed noncrossing condition. 7. A bound close to the conjectured bound was found concerning the number of n-dimensional homothetic convex solids which mutually touch each other

On the multiple Borsuk numbers of sets

The Borsuk number of a set S of diameter d >0 in Euclidean n-space is the smallest value of m such that S can be partitioned into m sets of diameters less than d. Our aim is to generalize this notion in the following way: The k-fold Borsuk number of such a set S is the smallest value of m such that there is a k-fold cover of S with m sets of diameters less than d. In this paper we characterize the k-fold Borsuk numbers of sets in the Euclidean plane, give bounds for those of centrally symmetric sets, smooth bodies and convex bodies of constant width, and examine them for finite point sets in the Euclidean 3-space.Comment: 16 pages, 3 figure

Levél Lipták Tamásról

A szerzők 2013. márciusi (E-mail) levélváltása Lipták Tamás játékelméleti eredményeiről, annak hasznosításáról. Hujter Mihály írja: "...Egyre jobban meggyőződök arról, hogy a statisztikában ma már a játékelmélet tényleg nélkülözhetetlen...", majd idéz Kalmár László és Rényi Alfréd e témával kapcsolatos levelezéséből