Orthogonal polynomials of compact simple Lie groups

Recursive algebraic construction of two infinite families of polynomials in $n$ variables is proposed as a uniform method applicable to every semisimple Lie group of rank $n$. Its result recognizes Chebyshev polynomials of the first and second kind as the special case of the simple group of type $A_1$. The obtained not Laurent-type polynomials are proved to be equivalent to the partial cases of the Macdonald symmetric polynomials. Basic relation between the polynomials and their properties follow from the corresponding properties of the orbit functions, namely the orthogonality and discretization. Recurrence relations are shown for the Lie groups of types $A_1$, $A_2$, $A_3$, $C_2$, $C_3$, $G_2$, and $B_3$ together with lowest polynomials.Comment: 34 pages, some minor changes were done, to appear in IJMM

Визначення напружень в металоконструкції мостового крана при використанні ходових коліс нової конструкції

This paper proposes a method to experimentally study the stressed state of the metallic structure of an overhead crane when using running wheels of different designs. The study employed a functioning electric, supporting, double-girder overhead crane with a capacity of 5 tons and a run of 22.5 m. Strain gauges assembled in a semi-bridge circuit and connected to the analog-digital converter Zetlab210 (Russia) were used to determine the girder deformations at the time of hoisting and moving cargoes of different masses. The cargo was lifted and displaced under the same conditions, on the regular wheels of a cargo trolley and the wheels with an elastic rubber insert. The girder deformation diagrams were constructed. The subsequent recalculation produced the stressed state's dependences at each point of cargo movement when using both regular wheels and the wheels with an elastic rubber insert. Also established were the dependences and the duration of oscillations that occur over the cycle of cargo lifting and moving. The experimental study cycle included cargo lifting in the far-left position by a trolley, moving the cargo to the far-right position, and returning the trolley with the cargo to its original position. It should be noted that the application of a new, modernized design of the running wheels of a cargo trolley with an elastic rubber insert effectively dampen the oscillations in the metallic structure of the crane. The experimental study's results helped establish an 18 % reduction in stresses in the girder of the overhead crane, as well as a decrease in peak vibrations, by 20 seconds, at the same cycles of cargo hoisting and moving. In addition, using wheels with an elastic rubber insert reduces the period of oscillation damping at the end of the cycle of cargo movement, by at least 30 %.Предложен метод экспериментального исследования напряженного состояния металлоконструкции мостового крана при использовании ходовых колес различной конструкции. Исследование проводилось на действующем электрическом, опорном, двухбалочного мостовом кране грузоподъемностью 5  т, пролетом 22,5 м. С помощью тензорезисторов, собранных в полумостовую схему и подключенных к аналого-цифровому преобразователю Zetlab 210 (Россия), были определены деформации главной балки в момент подъема и перемещение груза различной массы. Подъем и перемещение груза, был проведен при одинаковых условиях. На штатных колесах грузовой тележки и на колесах с эластичной резиновой вставкой. Были получены графики деформации главной балки. В дальнейшем пересчете получены зависимости напряженного состояния в каждом моменте перемещения груза при использовании как штатных колес, так и колес с эластичной резиновой вставкой. Также были обнаружены зависимости и продолжительности колебаний, которые возникают в течение цикла подъема и перемещения груза. Цикл экспериментального исследования состоял из подъема груза в крайнем левом положении грузовой тележкой, перемещении груза в крайнее правое положение и возвращение грузовой тележки с грузом в исходное положение. Особо следует отметить, что применение новой, модернизированной конструкции ходовых колес грузовой тележки с эластичной резиновой вставкой эффективно гасят колебания в металлоконструкции крана. По итогам экспериментальных исследований было выявлено уменьшение напряжений в главной балке мостового крана на 18 % и уменьшение пиковых вибраций на 20 секунд при одинаковых циклах подъема и перемещения груза. Также при использовании колес с эластичной резиновой вставкой уменьшается период затухания колебаний окончания цикла перемещения груза по меньшей мере на 30 %.Запропоновано метод експериментального дослідження напруженого стану металоконструкції мостового крану при використанні ходових коліс різної конструкції. Дослідження проводилось на діючому електричному, опорному, двобалковому мостовому крані вантажопідйомністю 5 т, та прогоном 22,5 м. За допомогою тензорезисторів, зібраних в напівмостову схему та підключених до аналого-цифрового перетворювача Zetlab 210 (Росія), були визначені деформації головної балки в момент підйому та переміщення вантажу різної маси. Підйом та переміщення вантажу, було проведено при однакових умовах на штатних колесах вантажного візка та на колесах з еластичною гумовою вставкою. Були отримані графіки деформації головної балки. В подальшому перерахунку отримані залежності напруженого стану в кожному моменті переміщення вантажу при використані як штатних коліс так і коліс з еластичною гумовою вставкою. Також були виявлені залежності та тривалості коливань, які виникають в продовж циклу підйому та переміщення вантажу. Цикл експериментального дослідження складався з підйому вантажу в крайньому лівому положенні вантажним візком, переміщенні вантажу в крайнє праве положення та повернення вантажного візка з вантажем в початкове положення. Особливо слід відзначити, що застосування нової, модернізованої конструкції ходових коліс вантажного візка з еластичною гумовою вставкою ефективно гасять коливання в металоконструкції крана. За підсумками експериментальних досліджень було виявлено зменшення напружень в головній балці мостового крану на 18 % та зменшення пікових вібрацій на 20 секунд при однакових циклах підйому та переміщення вантажу. Також при використанні коліс з еластичною гумовою вставкою зменшується період згасання коливань закінчення циклу переміщення вантажу щонайменше на 30 %

Contractions of Low-Dimensional Lie Algebras

Theoretical background of continuous contractions of finite-dimensional Lie algebras is rigorously formulated and developed. In particular, known necessary criteria of contractions are collected and new criteria are proposed. A number of requisite invariant and semi-invariant quantities are calculated for wide classes of Lie algebras including all low-dimensional Lie algebras. An algorithm that allows one to handle one-parametric contractions is presented and applied to low-dimensional Lie algebras. As a result, all one-parametric continuous contractions for the both complex and real Lie algebras of dimensions not greater than four are constructed with intensive usage of necessary criteria of contractions and with studying correspondence between real and complex cases. Levels and co-levels of low-dimensional Lie algebras are discussed in detail. Properties of multi-parametric and repeated contractions are also investigated.Comment: 47 pages, 4 figures, revised versio

Realizations of Real Low-Dimensional Lie Algebras

Using a new powerful technique based on the notion of megaideal, we construct a complete set of inequivalent realizations of real Lie algebras of dimension no greater than four in vector fields on a space of an arbitrary (finite) number of variables. Our classification amends and essentially generalizes earlier works on the subject. Known results on classification of low-dimensional real Lie algebras, their automorphisms, differentiations, ideals, subalgebras and realizations are reviewed.Comment: LaTeX2e, 39 pages. Essentially exetended version. Misprints in Appendix are correcte

Three dimensional C-, S- and E-transforms

Three dimensional continuous and discrete Fourier-like transforms, based on the three simple and four semisimple compact Lie groups of rank 3, are presented. For each simple Lie group, there are three families of special functions ($C$-, $S$-, and $E$-functions) on which the transforms are built. Pertinent properties of the functions are described in detail, such as their orthogonality within each family, when integrated over a finite region $F$ of the 3-dimensional Euclidean space (continuous orthogonality), as well as when summed up over a lattice grid $F_M\subset F$ (discrete orthogonality). The positive integer $M$ sets up the density of the lattice containing $F_M$. The expansion of functions given either on $F$ or on $F_M$ is the paper's main focus.Comment: 24 pages, 13 figure