On graph combinatorics to improve eigenvector-based measures of centrality in directed networks

Producción CientíficaWe present a combinatorial study on the rearrangement of links in the structure of directed networks for the purpose of improving the valuation of a vertex or group of vertices as established by an eigenvector-based centrality measure. We build our topological classification starting from unidirectional rooted trees and up to more complex hierarchical structures such as acyclic digraphs, bidirectional and cyclical rooted trees (obtained by closing cycles on unidirectional trees). We analyze different modifications on the structure of these networks and study their effect on the valuation given by the eigenvector-based scoring functions, with particular focus on α-centrality and PageRank.Ministerio de Economía, Industria y Competitividad (project TIN2014-57226-P)Generalitat de Catalunya (project SGR2014- 890)Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades (project MTM2012-36917-C03-01

On spectra of weighted graphs of order ≤5

Producción CientíficaThe problem of characterizing the real spectra of weighted graphs is only solved for weighted graphs of order n ≤ 4. We overview these known results, that come from the context of nonnegative matrices, and give a new method to rule out many unresolved spectra of size 5.Ministerio de Economía, Industria y Competitividad ( grant MTM2015-365764-C3-1-P)Universidad de Valladolid (GIR TAMCO

A note for the SNIEP in size 5

Producción CientíficaThe purpose of this note is to establish the current state of the knowledge about the SNIEP (symmetric nonnegative inverse eigenvalue problem) in size 5 with just one repeated eigenvalue.Ministerio de Ciencia e Innovación - AEI (grant PGC2018-096446-B-C21)Consejo Superior de Investigaciones Científicas de España (Comisión Interministerial de Ciencia y Tecnología) (PID2021-122501NB-I00

Structural properties of minimal strong digraphs versus trees

Producción CientíficaIn this article, we focus on structural properties of minimal strong digraphs (MSDs). We carry out a comparative study of properties of MSDs versus (undirected) trees. For some of these properties, we give the matrix version, regarding nearly reducible matrices. We give bounds for the coefficients of the characteristic polynomial corresponding to the adjacency matrix of trees, and we conjecture bounds for MSDs. We also propose two different representations of an MSD in terms of trees (the union of a spanning tree and a directed forest; and a double directed tree whose vertices are given by the contraction of connected Hasse diagrams).Ministerio de Economía, Industria y Competitividad ( grant MTM2015-65764-C3-1-P

Updating a map of sufficient conditions for the real nonnegative inverse eigenvalue problem

Producción CientíficaThe real nonnegative inverse eigenvalue problem (RNIEP) asks for necessary and sufficient conditions in order that a list of real numbers be the spectrum of a nonnegative real matrix. A number of sufficient conditions for the existence of such a matrix are known. The authors gave in a map of sufficient conditions establishing inclusion relations or independency relations between them. Since then new sufficient conditions for the RNIEP have appeared. In this paper we complete and update the map given in.Fondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico de Chile (project 1170313)Ministerio de Economía, Industria y Competitividad - Fondo Europeo de Desarrollo Regional (projects MTM2015-365764-C-1 / MTM2017-85996-R)Junta de Castilla y León (project VA128G18

Structural and spectral properties of minimal strong digraphs

EL artículo se centra en las propiedades estructurales y espectrales de los digrafos fuertemente conexos minimales, mediante la comparación de sus propiedades con las propiedades de los árboles. Este análisis incluye dos propiedades nuevas la primera da cotas para los coeficientes de los polinomios característicos de los árboles, y conjetura que esas cotas se generalizan para digrafos fuertemente conexos minimales. Como caso particular, probamos que el término independiente de tale polinomios debe ser -1, 0 o 1. La segunda establece que todo digrafo fuertemente conexo minimal puede descomponerse en un arbol generador dirigido con raíz, y un bosque de árboles con raíz inversos. En nuestra opinión, las analogías descritas entre árboles y digrafos fuertemente conexos minimales suponen un cambio significativo sobre el punto de vista acerca de estos últimos. Abstract In this article, we focus on structural and spectral properties of minimal strong digraphs (MSDs). We carry out a comparative study of properties of MSDs versus trees. This analysis includes two new properties. The first one gives bounds on the coefficients of characteristic polynomials of trees (double directed trees), and conjectures the generalization of these bounds to MSDs. As a particular case, we prove that the independent coemcient of the characteristic polynomial of a tree or an MSD must be — 1, 0 or 1. For trees, this fact means that a tree has at most one perfect matching; for MSDs, it means that an MSD has at most one covering by disjoint cycles. The property states that every MSD can be decomposed in a rooted spanning tree and a forest of reversed rooted trees, as factors. In our opinión, the analogies described suppose a significative change in the traditional point of view about this class of digraphs

On universal realizability of spectra

Producción CientíficaA list Λ = {λ1, λ2, . . . , λn} of complex numbers is said to be realizable if it is the spectrum of an entrywise nonnegative matrix. The list Λ is said to be universally realizable (UR) if it is the spectrum of a nonnegative matrix for each possible Jordan canonical form allowed by Λ. It is well known that an n × n nonnegative matrix A is co-spectral to a nonnegative matrix B with constant row sums. In this paper, we extend the co-spectrality between A and B to a similarity between A and B, when the Perron eigenvalue is simple. We also show that if ǫ ≥ 0 and Λ = {λ1, λ2, . . . , λn} is UR, then {λ1 + ǫ, λ2, . . . , λn} is also UR. We give counter-examples for the cases: Λ = {λ1, λ2, . . . , λn} is UR implies {λ1 + ǫ, λ2 − ǫ, λ3, . . . , λn} is UR, and Λ1,Λ2 are UR implies Λ1 ∪ Λ2 is UR.Comisión Nacional de Investigación Científica y Tecnológica - Fondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico 1170313Comisión Nacional de Investigación Científica y Tecnológica - PAI 79160002Ministerio de Economía, Industria y Competitividad ( grants MTM2015-365764-C-1 / MTM2017-85996-R))Consejería de Educación de la Junta de Castilla y León (grant VA128G18

Blowing up acyclic graphs and geometrical configurations

Dirección General de Investigación Científica y Técnica (Ministerio de Ciencia y Tecnología

Una teoría birracional para grafos acíclicos

El trabajo de esta tesis está motivado por problemas como los siguientes: 1) dada una configuración geométrica formada por subvariedades de una variedad algebraica, encontrar la evolución grafica de dicha configuración por transformaciones birracionales (principalmente sucesiones de explosiones con centros lisos). 2) dado un grafo, asociar al mismo invariantes numéricos que lo determinen completamente. 3) dar métodos que permitan relacionar y clasificar los grafos de acuerdo con su estructura interna. 4) clasificar y determinar la estructura de los espacios topológicos finitos. 5) dar métodos sistemáticos que permitan realizar cómputos o cálculos enumerativos sobre grafos o espacios topológicos. todos estos problemas pueden ser abordados conjuntamente si se dispone de un lenguaje birracional sobre los grafos. en la tesis se establece una teoría birracional para los grafos acíclicos que tiene como principal resultado la construcción de dos modelos canónicos y naturales en el contexto asociados a cada grafo acíclico. el primero es un bosque (el bosque de las cadenas) y permite reducir el estudio de un grafo al de un bosque mediante pasos elementales (explosiones en distintos niveles). el segundo, la explosión completada o geométrica, está inspirada en el problema 1) y permite asociar a cada grafo un bosque con estructura cubica (un complejo celular cubico, en particular). este es el grafo más natural posible y con estructura manejable que describe el comportamiento (geométrico) de un grafo arbitrario. La teoría birracional completa que se obtiene da, en particular, soluciones a los cinco problemas mencionados.Departamento de Álgebra, Geometría y Topologí