A finite volume scheme for convection-diffusion equations with nonlinear diffusion derived from the Scharfetter-Gummel scheme

International audienceWe propose a finite volume scheme for convection-diffusion equations with nonlinear diffusion. Such equations arise in numerous physical contexts. We will particularly focus on the drift-diffusion system for semiconductors and the porous media equation. In these two cases, it is shown that the transient solution converges to a steady-state solution as t tends to infinity. The introduced scheme is an extension of the Scharfetter-Gummel scheme for nonlinear diffusion. It remains valid in the degenerate case and preserves steady-states. We prove the convergence of the scheme in the nondegenerate case. Finally, we present some numerical simulations applied to the two physical models introduced and we underline the efficiency of the scheme to preserve long-time behavior of the solutions

Preserving monotony of combined edge finite volume–finite element scheme for a bone healing model on general mesh

International audienceIn this article, we propose and analyse a combined finite volume–finite element scheme for a bone healing model. This choice of discretization allows to take into account anisotropic diffusions without imposing any restrictions on the mesh. Moreover, following the work of C. Cancès et al. 2013, we define a nonlinear correction of the diffusive terms to obtain a monotone scheme. We provide, under a numerical assumption, a complete convergenceanalysis of this corrected scheme, and present some numerical experiments which show its good behavior

On discrete functional inequalities for some finite volume schemes

We prove several discrete Gagliardo-Nirenberg-Sobolev and Poincar\'e-Sobolev inequalities for some approximations with arbitrary boundary values on finite volume meshes. The keypoint of our approach is to use the continuous embedding of the space $BV(\Omega)$ into $L^{N/(N-1)}(\Omega)$ for a Lipschitz domain $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$, with $N \geq 2$. Finally, we give several applications to discrete duality finite volume (DDFV) schemes which are used for the approximation of nonlinear and non isotropic elliptic and parabolic problems

Hypocoercivity and diffusion limit of a finite volume scheme for linear kinetic equations

In this article, we are interested in the asymptotic analysis of a finite volume scheme for one dimensional linear kinetic equations, with either Fokker-Planck or linearized BGK collision operator. Thanks to appropriate uniform estimates, we establish that the proposed scheme is Asymptotic-Preserving in the diffusive limit. Moreover, we adapt to the discrete framework the hypocoercivity method proposed by [J. Dolbeault, C. Mouhot and C. Schmeiser, Trans. Amer. Math. Soc., 367, 6 (2015)] to prove the exponential return to equilibrium of the approximate solution. We obtain decay rates that are bounded uniformly in the diffusive limit. Finally, we present an efficient implementation of the proposed numerical schemes, and perform numerous numerical simulations assessing their accuracy and efficiency in capturing the correct asymptotic behaviors of the models.Comment: 39 pages, 10 figures, 2 table

Numerical convergence rate for a diffusive limit of hyperbolic systems: pp-system with damping

International audienceThis paper deals with diffusive limit of the p-system with damping and its approximation by an Asymptotic Preserving (AP) Finite Volume scheme. Provided the system is endowed with an entropy-entropy flux pair, we give the convergence rate of classical solutions of the p-system with damping towards the smooth solutions of the porous media equation using a relative entropy method. Adopting a semi-discrete scheme, we establish that the convergence rate is preserved by the approximated solutions. Several numerical experiments illustrate the relevance of this result

A finite volume scheme for nonlinear degenerate parabolic equations

We propose a second order finite volume scheme for nonlinear degenerate parabolic equations. For some of these models (porous media equation, drift-diffusion system for semiconductors, ...) it has been proved that the transient solution converges to a steady-state when time goes to infinity. The present scheme preserves steady-states and provides a satisfying long-time behavior. Moreover, it remains valid and second-order accurate in space even in the degenerate case. After describing the numerical scheme, we present several numerical results which confirm the high-order accuracy in various regime degenerate and non degenerate cases and underline the efficiency to preserve the large-time asymptotic

Uniform L ∞ estimates for approximate solutions of the bipolar drift-diffusion system

International audienceWe establish uniform L ∞ bounds for approximate solutions of the drift-diffusion system for electrons and holes in semiconductor devices, computed with the Schar-fetter-Gummel finite-volume scheme. The proof is based on a Moser iteration technique adapted to the discrete case

Numerical schemes for semiconductors energy- transport models

International audienceWe introduce some finite volume schemes for unipolar energy-transportmodels. Using a reformulation in dual entropy variables, we can show the decay ofa discrete entropy with control of the discrete entropy dissipation

Multi-dimensional modeling and simulation of semiconductor nanophotonic devices

Self-consistent modeling and multi-dimensional simulation of semiconductor nanophotonic devices is an important tool in the development of future integrated light sources and quantum devices. Simulations can guide important technological decisions by revealing performance bottlenecks in new device concepts, contribute to their understanding and help to theoretically explore their optimization potential. The efficient implementation of multi-dimensional numerical simulations for computer-aided design tasks requires sophisticated numerical methods and modeling techniques. We review recent advances in device-scale modeling of quantum dot based single-photon sources and laser diodes by self-consistently coupling the optical Maxwell equations with semiclassical carrier transport models using semi-classical and fully quantum mechanical descriptions of the optically active region, respectively. For the simulation of realistic devices with complex, multi-dimensional geometries, we have developed a novel hp-adaptive finite element approach for the optical Maxwell equations, using mixed meshes adapted to the multi-scale properties of the photonic structures. For electrically driven devices, we introduced novel discretization and parameter-embedding techniques to solve the drift-diffusion system for strongly degenerate semiconductors at cryogenic temperature. Our methodical advances are demonstrated on various applications, including vertical-cavity surface-emitting lasers, grating couplers and single-photon sources

Construction et analyse de schémas numériques pour des modèles issus de la physique

Les travaux présentés dans ce manuscrit concernent le développement et l’analyse de schémas numériques de type volumes finis discrétisant des équations aux dérivées partielles, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique. Un intérêt particulier est porté à la préservation au niveau discret de propriétés du modèle continu : comportements asymptotiques (en temps long, à la limite de diffusion) et conservation de quantités physiques entre autres. Une attention spécifique est accordée aux discrétisations, qui sont construites de sorte à pouvoir adapter au cadre discret les outils d’analyse du cadre continu, et ainsi proposer une étude mathématique rigoureuse des méthodes numériques obtenues.Le manuscrit est composé de trois parties, comportant chacune deux chapitres.La première partie concerne la construction et l’étude de schémas numériques pour deux modèles de semi-conducteurs : le système de dérive-diffusion et le modèle de transport d’énergie. Le chapitre 1 est dédié à l’étude du comportement en temps long d’une discrétisation du système de dérive-diffusion par un schéma volumes finis avec flux de Scharfetter-Gummel généralisés. La convergence en temps long à taux exponentiel des solutions numériques vers une approximation de l’équilibre thermique est démontrée grâce au contrôle de l’entropie relative par la production d’entropie. Ce résultat est obtenu sous l’hypothèse de bornes uniformes en temps sur les densités approchées de porteurs de charge, qui sont prouvées rigoureusement dans le cas où la diffusion est linéaire.Le chapitre 2 est consacré à la construction et l’analyse de schémas volumes finis pour le modèle de transport d’énergie. L’idée est de construire un schéma de sorte à pouvoir en obtenir une reformulation équivalente en variables duales entropiques, permettant de démontrer la décroissance d’une entropie discrète et le contrôle de la production d’entropie discrète correspondante. Partant de ce premier résultat, un certain nombre de propriétés peuvent être analysées : estimations a priori, existence d’une solution approchée, comportement en temps long.La deuxième partie se concentre sur l’étude de la convergence vers la limite de diffusion de schémas numériques pour des systèmes hyperboliques avec termes sources.Le chapitre 3 est consacré à l’étude de convergence à la limite de diffusion d’un schéma préservant l’asymptotique pour le p-système avec amortissement. La nouveauté principale de ce travail est l’établissement d’un taux explicite de convergence, obtenu par une estimation d’erreur entre les solutions approchées du système hyperbolique et la limite diffusive approchée, grâce à une version discrète de la méthode d’entropie relative. Le modèle considéré dans le chapitre 4, le système de Saint-Venant avec friction de Manning, fait intervenir une difficulté supplémentaire. En effet, le terme source étant quadratique, l’équation de diffusion limite implique un opérateur non linéaire. Deux discrétisations, de type Godunov à deux étatsintermédiaires, sont proposées. Leur consistance à la limite de diffusion est établie de manière formelle à l’aide de développements de Chapman-Enskog de la solution approchée.La troisième partie se focalise sur l’analyse numérique de schémas pour des équations cinétiques unidimensionnelles relativement simples. Le chapitre 5 est dédié à la discrétisation d’équations cinétiques linéaires sans champ électromagnétique, où l’opérateur de collision est de type Fokker-Planck ou BGK linéaire. Le schéma volumes finis proposé permet d’établir des estimations a priori dont sont déduites d’une part la préservation de la limite de diffusion au niveau discret, et d’autre part la convergence en temps long, à taux exponentiel, vers l’équilibre. Enfin, le chapitre 6 est consacré à l’étude de stabilité et de convergence de discrétisations conservatives du système de Vlasov-Poisson écrit sous forme d’un système hyperbolique à l’aide de polynômes de Hermite. L’idée principale est de se placer dans un cadre fonctionnel adapté aux variations de la fonction de distribution au cours du temps. Dans ce contexte, une discrétisation de type Galerkin discontinue en espace est considérée, pour laquelle un résultat de convergence avec estimation d’erreur est établi