Fast non-Hermitian Toeplitz eigenvalue computations, joining matrix-less algorithms and FDE approximation matrices

The present work is devoted to the eigenvalue asymptotic expansion of the Toeplitz matrix $T_{n}(a)$ whose generating function $a$ is complex valued and has a power singularity at one point. As a consequence, $T_{n}(a)$ is non-Hermitian and we know that the eigenvalue computation is a non-trivial task in the non-Hermitian setting for large sizes. We follow the work of Bogoya, B\"ottcher, Grudsky, and Maximenko and deduce a complete asymptotic expansion for the eigenvalues. After that, we apply matrix-less algorithms, in the spirit of the work by Ekstr\"om, Furci, Garoni, Serra-Capizzano et al, for computing those eigenvalues. Since the inner and extreme eigenvalues have different asymptotic behaviors, we worked on them independently, and combined the results to produce a high precision global numerical and matrix-less algorithm. The numerical results are very precise and the computational cost of the proposed algorithms is independent of the size of the considered matrices for each eigenvalue, which implies a linear cost when all the spectrum is computed. From the viewpoint of real world applications, we emphasize that the matrix class under consideration includes the matrices stemming from the numerical approximation of fractional diffusion equations. In the final conclusion section a concise discussion on the matter and few open problems are presented.Comment: 21 page

Value-added in higher education: ordinary least squares and quantile regression for a Colombian case

Colombia applies two mandatory National State tests every year. The first, known as Saber 11, is applied to students who finish the high school cycle, whereas the second, called Saber Pro, is applied to students who finish the higher education cycle. The result obtained by a student on the Saber 11 exam along with his/her gender, and socioeconomic stratum are our independent variables while the Saber Pro outcome is our dependent variable.We compare the results of two statistical models for the Saber Pro exam. The first model, multi-lineal regression or ordinary least squares (OLS), produces an overall well fitted result but is highly inaccurate for some students. The second model, quantile regression (QR), weight the population according to their quantile groups. OLS minimizes the errors for the students whose Saber Pro result is close to the mean (a process known as estimation in the mean) while QR can estimate in the -quantile for every . We show that QR is more accurate than OLS and reveal the unknown behavior of the socioeconomic stratum, the gender, and the initial academic endowments (estimated by the Saber 11 exam) for each quantile group.En el sistema educativo de Colombia se realizan dos exámenes nacionales obligatorios al año. El primero, conocido como Saber 11, está dirigido a los estudiantes que finalizan el bachillerato, mientras que el segundo, conocido como Saber Pro, evalúa a los estudiantes que terminan un estudio superior. En este estudio, el resultado obtenido por un estudiante en el examen Saber 11, junto con su género y estrato socioeconómico, son nuestras variables independientes, mientras que el resultado del examen Saber Pro es nuestra variable dependiente.Comparamos los resultados de dos modelos estadísticos para Saber Pro. El primer modelo, regresión multi-lineal o mínimos cuadrados (OLS, por sus siglas en inglés), produce un buen ajuste general pero es impreciso para ciertos estudiantes. El segundo modelo, regresión cuantílica (QR, por sus siglas en inglés), mide la población de acuerdo con su cuantil. El OLS minimiza los errores para los estudiantes cuyo resultado en Saber Pro está cercano a la media (proceso conocido como estimación en la media) mientras que el QR puede estimar un valor en el cuantil θ para cada 0 θ 1. Mostraremos que el QR es más preciso que el OLS y revelaremos el comportamiento desconocido del estrato socio económico, el género y la preparación académica inicial (estimada con el examen Saber 11) para cada cuantil

The Averaged Hausdorff Distances in Multi-Objective Optimization: A Review

A brief but comprehensive review of the averaged Hausdorff distances that have recently been introduced as quality indicators in multi-objective optimization problems (MOPs) is presented. First, we introduce all the necessary preliminaries, definitions, and known properties of these distances in order to provide a stat-of-the-art overview of their behavior from a theoretical point of view. The presentation treats separately the definitions of the ( p , q ) -distances GD p , q , IGD p , q , and Δ p , q for finite sets and their generalization for arbitrary measurable sets that covers as an important example the case of continuous sets. Among the presented results, we highlight the rigorous consideration of metric properties of these definitions, including a proof of the triangle inequality for distances between disjoint subsets when p , q ⩾ 1 , and the study of the behavior of associated indicators with respect to the notion of compliance to Pareto optimality. Illustration of these results in particular situations are also provided. Finally, we discuss a collection of examples and numerical results obtained for the discrete and continuous incarnations of these distances that allow for an evaluation of their usefulness in concrete situations and for some interesting conclusions at the end, justifying their use and further study

Value-added in higher education: ordinary least squares and quantile regression for a Colombian case

Colombia applies two mandatory National State tests every year. The first, known as Saber 11, is applied to students who finish the high school cycle, whereas the second, called Saber Pro, is applied to students who finish the higher education cycle. The result obtained by a student on the Saber 11 exam along with his/her gender, and socioeconomic stratum are our independent variables while the Saber Pro outcome is our dependent variable. We compare the results of two statistical models for the Saber Pro exam. The first model, multi-lineal regression or ordinary least squares (OLS), produces an overall well fitted result but is highly inaccurate for some students. The second model, quantile regression (QR), weight the population according to their quantile groups. OLS minimizes the errors for the students whose Saber Pro result is close to the mean (a process known as estimation in the mean) while QR can estimate in the -quantile for every . We show that QR is more accurate than OLS and reveal the unknown behavior of the socioeconomic stratum, the gender, and the initial academic endowments (estimated by the Saber 11 exam) for each quantile group

Neumann boundary conditions for a nonlocal nonlinear diffusion operator. Continuous and discrete models

Let J: ℝ → ℝ be a nonnegative, smooth function with ∫ℝ J(r)dr = 1, supported in [-1, 1], symmetric, J(r) = J(-r), and strictly increasing in [-1,0]. We consider the Neumann boundary value problem for a nonlocal, nonlinear operator that is similar to the porous medium, and we study the equation ut(x, t)=∫L-L(J(x-y/ u(y,t) - J(x-y/u(x, t))dy, x∈[-L, L].We prove existence and uniqueness of solutions and a comparison principle. We find the asymptotic behaviour of the solutions as t → ∞: they converge to the mean value of the initial data. Next, we consider a discrete version of the above problem. Under suitable hypotheses we prove that the discrete model has properties analogous to the continuous one. Moreover, solutions of the discrete problem converge to the continuous ones when the mesh parameter goes to zero. Finally, we perform some numerical experiments. © 2007 American Mathematical Society.Fil:Rossi, J.D. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina

Investigación y proceso: esencia de la formación de ingenieros químicos

En este trabajo se plantea una metodología para la confección de un currículo de ingeniería química, partiendo de la concepción de un modelo de educación superior conducente a satisfacer combinadamente una demanda solvente y orientada, obediente e inmediatista, proveniente de los anhelos de producción de la industria química; la pretensión de un mejoramiento del medio de vida del profesional, que intenta un ascenso en todos los órdenes; los planes del Estado en materia de desarrollo industrial y económico, aún desarticulados entre sectores y en términos del tiempo; y el papel estratégico que la universidad debe jugar en una sociedad, dependiente también en el ámbito de la ingeniería química, donde se hace indispensable que los intelectuales asuman la responsabilidad de concebir y conducir con audacia los procesos de innovaeión que se requieren. Con base en este entorno se proponen como ejes centrales, para la formación de ingenieros químicos: la generación de una cultura investigativa que como actitud ante la vida forje un espíritu crítico, dispuesto a explorar otros caminos; y el dominio de las características que permitan entender un proceso químico y sus interacciones con la energía, la economía y el medio ambiente, donde interviene sistemáticamente un amplio conjunto de conceptos, posible de organizar de diferentes maneras y de sintetizar en un código fijo que se va actualizando permanentemente. Así, el primer eje tiene que ver fundamentalmente con la metodología y el segundo con los contenidos. La metodología propuesta implica archivar el paradigma de la "clase magistral", para pasar al del "seminario investigativo", ya usual en otras sociedades. Aquí se busca que cada educando protagonice su propia existencia y esculpa su propia estatua, en lugar de seguir única, callada y obedientemente la huella dejada por el docente. La organización de los contenidos implica una visión orgánica, para que cada concepto se enlace con aplicaciones, invirtiendo la pirámide: la integración de conceptos abstractos con el mundo físico debe prevalecer desde el primer semestre; y la profundización de conceptos debe incrementarse en el tiempo para prevalecer en los últimos semestres

Investigación y proceso: esencia de la formación de ingenieros químicos

En este trabajo se plantea una metodología para la confección de un currículo de ingeniería química, partiendo de la concepción de un modelo de educación superior conducente a satisfacer combinadamente una demanda solvente y orientada, obediente e inmediatista, proveniente de los anhelos de producción de la industria química; la pretensión de un mejoramiento del medio de vida del profesional, que intenta un ascenso en todos los órdenes; los planes del Estado en materia de desarrollo industrial y económico, aún desarticulados entre sectores y en términos del tiempo; y el papel estratégico que la universidad debe jugar en una sociedad, dependiente también en el ámbito de la ingeniería química, donde se hace indispensable que los intelectuales asuman la responsabilidad de concebir y conducir con audacia los procesos de innovaeión que se requieren. Con base en este entorno se proponen como ejes centrales, para la formación de ingenieros químicos: la generación de una cultura investigativa que como actitud ante la vida forje un espíritu crítico, dispuesto a explorar otros caminos; y el dominio de las características que permitan entender un proceso químico y sus interacciones con la energía, la economía y el medio ambiente, donde interviene sistemáticamente un amplio conjunto de conceptos, posible de organizar de diferentes maneras y de sintetizar en un código fijo que se va actualizando permanentemente. Así, el primer eje tiene que ver fundamentalmente con la metodología y el segundo con los contenidos. La metodología propuesta implica archivar el paradigma de la "clase magistral", para pasar al del "seminario investigativo", ya usual en otras sociedades. Aquí se busca que cada educando protagonice su propia existencia y esculpa su propia estatua, en lugar de seguir única, callada y obedientemente la huella dejada por el docente. La organización de los contenidos implica una visión orgánica, para que cada concepto se enlace con aplicaciones, invirtiendo la pirámide: la integración de conceptos abstractos con el mundo físico debe prevalecer desde el primer semestre; y la profundización de conceptos debe incrementarse en el tiempo para prevalecer en los últimos semestres

On the extreme eigenvalues and asymptotic conditioning of a class of Toeplitz matrix-sequences arising from fractional problems

The analysis of the spectral features of a Toeplitz matrix-sequence (Formula presented.), generated by the function (Formula presented.), real-valued almost everywhere (a.e.), has been provided in great detail in the last century, as well as the study of the conditioning, when f is nonnegative a.e. Here we consider a novel type of problem arising in the numerical approximation of distributed-order fractional differential equations (FDEs), where the matrices under consideration take the form (Formula presented.) (Formula presented.) belong to the interval (Formula presented.) with (Formula presented.) independent of n, (Formula presented.), (Formula presented.), and (Formula presented.) for every (Formula presented.). For nonnegative functions or sequences, the notation (Formula presented.) means that there exist positive constants c, d, independent of the variable x in the definition domain such that (Formula presented.) for any x. Since the resulting generating function depends on n, the standard theory cannot be applied and the analysis has to be performed using new ideas. Few selected numerical experiments are presented, also in connection with matrices that come from distributed-order FDE problems, and the adherence with the theoretical analysis is discussed, together with open questions and future investigations

Fast Toeplitz eigenvalue computations, joining interpolation-extrapolation matrix-less algorithms and simple-loop theory

Under appropriate technical assumptions, the simple-loop theory allows to derive various types of asymptotic expansions for the eigenvalues of Toeplitz matrices generated by a function f. Independently and under the milder hypothesis that f is even and monotone over [0,π], matrix-less algorithms have been developed for the fast eigenvalue computation of large Toeplitz matrices, within a linear complexity in the matrix order: behind the high efficiency of such algorithms there are the expansions predicted by the simple-loop theory, combined with the extrapolation idea. Here we focus our attention on a change of variable, followed by the asymptotic expansion of the new variable, and we adapt the matrix-less algorithm to the considered new setting. Numerical experiments show a higher precision (till machine precision) and the same linear computation cost, when compared with the matrix-less procedures already presented in the relevant literature. Among the advantages, we concisely mention the following: (a) when the coefficients of the simple-loop function are analytically known, the algorithm computes them perfectly; (b) while the proposed algorithm is better or at worst comparable to the previous ones for computing the inner eigenvalues, it is vastly better for the computation of the extreme eigenvalues; a mild deterioration in the quality of the numerical experiments is observed when dense Toeplitz matrices are considered, having generating function of low smoothness and not satisfying the simple-loop assumptions