Modeling of Flexible Beam Networks and Morphing Structures by Geometrically Exact Discrete Beams

Abstract We demonstrate how a geometrically exact formulation of discrete slender beams can be generalized for the efficient simulation of complex networks of flexible beams by introducing rigid connections through special junction elements. The numerical framework, which is based on discrete differential geometry of framed curves in a time-discrete setting for time- and history-dependent constitutive models, is applicable to elastic and inelastic beams undergoing large rotations with and without natural curvature and actuation. Especially, the latter two aspects make our approach a versatile and efficient alternative to higher-dimensional finite element techniques frequently used, e.g., for the simulation of active, shape-morphing, and reconfigurable structures, as demonstrated by a suite of examples.</jats:p

Compétition entre instabilités micro et macro dans une bi-plaque

Une transition micro-macro inédite est mise en évidence au seuil de stabilité dans un système expérimental constitué d'élastomères assemblés avec pré-contrainte. Une analyse de cette transition est proposée à travers l'étude de stabilité de deux modèles réduits fondés respectivement sur une cinématique de poutres planes et de plaque mince non-linéaire. Le second modèle correspond à la réduction directe du système expérimental dans la limite des faibles rapports d'aspect. Une analyse par éléments finis permet enfin d'effectuer une comparaison quantitative entre le comportement des modèles réduits et celui de la structure réelle

Instabilities in hyper-elastic beams : from extended buckling to localized patterns

Ce travail de thèse porte sur les instabilités dans les structures minces hyperélastiques. Nous analysons les mécanismes de sélection du motif de flambement dans un solide prismatique fortement pré-contraint. Pour ce système, le modèle de poutre classique d'Euler-Bernoulli n'est pas pertinent du fait de cette forte précontrainte et il est nécessaire de recourir à une description 3-d pour expliquer l'apparition de modes instables de petite longueur d'onde. Notre analyse, fondée sur la théorie de l'élasticité finie incrémentale, montre que la longueur typique du motif de flambement est sélectionnée par l'importance relative de la pré-contrainte et du rapport d'aspect du solide prismatique. Nous nous interrogeons ainsi sur les limites du modèle classique et proposons une piste de réflexion pour la construction de nouveaux modèles. Celle-ci repose sur un développement à deux échelles combiné aux équations d'équilibre du système formulées sous forme faible. Il est alors facile de résoudre les équations exactes à chaque ordre, ce qui donne accès à la cinématique complète du système. Nous mettons en œuvre cette méthode pour l'exemple simple d'un barreau homogène en compression, ce qui nous permet d'établir le modèle classique d'Euler-Bernoulli à partir des équations de l'élasticité 3-d. La dernière partie de ce travail de thèse porte sur l'étude du flambement de systèmes invariants d'échelle : l'étude expérimentale et numérique de la compression d'un prisme à base triangulaire met en lumière une transition inédite d'un mode de flambement étendu vers des motifs localisés.This Ph.D. work deals with buckling instabilities arising in thin hyper-elastic structures. We focus on instabilities arising in a prismatic solid submitted to finite incompatible pre-strains. We observe that the traditional 1-d Euler-Bernoulli beam model is not applicable to such a system because of the finite inhomogeneous pre-stress. The latter triggers short-wavelength instabilities that are note described by the classical 1-d models. We rely on the 3-d elasticity theory and propose a quantitative criterion on the ratio between the pre-stress and the cross-sectional aspect-ratio of the prismatic solid, that predicts the typical wavelength of the buckling pattern. This work questions the validity of classical 1-d models and suggests that extensions of these models are possible. We propose a method for the systematic derivation of reduced models. It relies on asymptotic expansions of the variational formulation of the equilibrium equations, starting from the complete expression of the energy. In this framework, kinematics can be entirely determined by solving the exact equations, order by order. We successfully apply this method to a homogeneous and isotropic beam submitted to a homogeneous compression and recover the classical Euler-Bernoulli beam model. In a last part of the manuscript we investigate the transition from extended wrinkling to localized creasing in a scale-invariant system made of a prismatic solid with a triangular cross-section, both experimentally and numerically

Instabilités de poutres hyper-élastiques : du flambement étendu aux motifs localisés

This Ph.D. work deals with buckling instabilities arising in thin hyper-elastic structures. We focus on instabilities arising in a prismatic solid submitted to finite incompatible pre-strains. We observe that the traditional 1-d Euler-Bernoulli beam model is not applicable to such a system because of the finite inhomogeneous pre-stress. The latter triggers short-wavelength instabilities that are note described by the classical 1-d models. We rely on the 3-d elasticity theory and propose a quantitative criterion on the ratio between the pre-stress and the cross-sectional aspect-ratio of the prismatic solid, that predicts the typical wavelength of the buckling pattern. This work questions the validity of classical 1-d models and suggests that extensions of these models are possible. We propose a method for the systematic derivation of reduced models. It relies on asymptotic expansions of the variational formulation of the equilibrium equations, starting from the complete expression of the energy. In this framework, kinematics can be entirely determined by solving the exact equations, order by order. We successfully apply this method to a homogeneous and isotropic beam submitted to a homogeneous compression and recover the classical Euler-Bernoulli beam model. In a last part of the manuscript we investigate the transition from extended wrinkling to localized creasing in a scale-invariant system made of a prismatic solid with a triangular cross-section, both experimentally and numerically.Ce travail de thèse porte sur les instabilités dans les structures minces hyperélastiques. Nous analysons les mécanismes de sélection du motif de flambement dans un solide prismatique fortement pré-contraint. Pour ce système, le modèle de poutre classique d'Euler-Bernoulli n'est pas pertinent du fait de cette forte précontrainte et il est nécessaire de recourir à une description 3-d pour expliquer l'apparition de modes instables de petite longueur d'onde. Notre analyse, fondée sur la théorie de l'élasticité finie incrémentale, montre que la longueur typique du motif de flambement est sélectionnée par l'importance relative de la pré-contrainte et du rapport d'aspect du solide prismatique. Nous nous interrogeons ainsi sur les limites du modèle classique et proposons une piste de réflexion pour la construction de nouveaux modèles. Celle-ci repose sur un développement à deux échelles combiné aux équations d'équilibre du système formulées sous forme faible. Il est alors facile de résoudre les équations exactes à chaque ordre, ce qui donne accès à la cinématique complète du système. Nous mettons en œuvre cette méthode pour l'exemple simple d'un barreau homogène en compression, ce qui nous permet d'établir le modèle classique d'Euler-Bernoulli à partir des équations de l'élasticité 3-d. La dernière partie de ce travail de thèse porte sur l'étude du flambement de systèmes invariants d'échelle : l'étude expérimentale et numérique de la compression d'un prisme à base triangulaire met en lumière une transition inédite d'un mode de flambement étendu vers des motifs localisés

Open review of "An energy approach to asymptotic, higher-order, linear homogenization"

This is the Open Review of article https://doi.org/10.46298/jtcam.11414 published in JTCAM, Journal of Theoretical, Computational and Applied Mechanic

Asymptotically exact strain-gradient models for nonlinear slender elastic structures: a systematic derivation method

We propose a general method for deriving one-dimensional models for nonlinear structures. It captures the contribution to the strain energy arising not only from the macroscopic elastic strain as in classical structural models, but also from the strain gradient. As an illustration, we derive one-dimensional strain-gradient models for a hyper-elastic cylinder that necks, an axisymmetric membrane that produces bulges, and a two-dimensional block of elastic material subject to bending and stretching. The method offers three key advantages. First, it is nonlinear and accounts for large deformations of the cross-section, which makes it well suited for the analysis of localization in slender structures. Second, it does not require any a priori assumption on the form of the elastic solution in the cross-section, i.e., it is Ansatz-free. Thirdly, it produces one-dimensional models that are asymptotically exact when the macroscopic strain varies on a much larger length scale than the cross-section diameter