An FPTAS for Quickest Multicommodity Flows with Inflow-Dependent Transit Times

Given a network with capacities and transit times on the arcs, the quickest flow problem asks for a "flow over time" that satisfies given demands within minimal time. In the setting of flows over time, flow on arcs may vary over time and the transit time of an arc is the time it takes for flow to travel through this arc. In most real-world applications (such as, e.g., road traffic, communication networks, production systems, etc.), transit times are not fixed but depend on the current flow situation in the network. We consider the model where the transit time of an arc is given as a non-decreasing function of the rate of inflow into the arc. We prove that the quickest s-t-flow problem is NP-hard in this setting and give various approximation results, including a fully polynomial time approximation scheme (FPTAS) for the quickest multicommodity flow problem with bounded cos

Flows over time with flow-dependent transit times

Transportprobleme werden in der Kombinatorischen Optimierung üblicherweise mit Hilfe von Netzwerkflüssen modelliert. Das klassische Flussmodell ist jedoch statisch und reflektiert daher nur unzureichend die zeitliche Komponente eines Transportproblems. Ein spezielles Transportproblem entsteht bei der Straßenverkehrslenkung. Neue Technologien, wie z.B. Navigationssysteme, haben ein verstärktes Interesse an einer akkuraten Modellierung und Optimierung von Verkehrsflüssen geweckt. In der vorliegenden Arbeit werden Flussmodelle betrachtet, welche die typischen Eigenschaften von Straßenverkehr widerspiegeln. Hierbei wird auf folgende grundlegende Eigenschaften abgezielt: Im Straßenverkehr verändert sich die Netzbelastung über die Zeit hinweg. Während zur Hauptverkehrszeit eine hohe Netzbelastung herrscht, kann bereits wenige Zeit später eine entspannte Verkehrssituation vorliegen. Ein weiteres Phänomen ist die Abhängigkeit der Fahrzeiten vom Verkehrsfluss. Ein hohes Verkehrsaufkommen zieht lange Fahrzeiten und Verzögerungen nach sich. Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist ein Flussmodell, das den beiden genannten Eigenschaften genügt und damit ein vereinfachtes Abbild des realen Straßenverkehrs darstellt. Die zugrundeliegende Modellannahme ist die Abhängigkeit der Fahrzeit einer Kante von der Zuflussrate auf der Kante. Innerhalb dieses Modells werden klassische Fragestellungen der Netzwerkflusstheorie behandelt. Beim "Quickest Flow Problem" ist ein Netzwerkfluss gesucht, der in minimaler Zeit eine gegebene Flussmenge von einem Startknoten zu einem Zielknoten transportiert. Dieses Problem ist bereits NP-schwer, und folglich existiert vermutlich kein polynomialer Lösungsalgorithmus. Jedoch lassen sich in polynomialer Zeit approximative Lösungen, d.h.zulässige Lösungen beweisbarer Güte, berechnen. Ein wesentlicher Bestandteil der vorliegenden Arbeit ist die Herleitung solcher Approximationsalgorithmen. In einem ersten Schritt wird eine polynomial lösbare Relaxierung des Modells vorgestellt. Diese beruht auf einer Expansion des ursprünglichen Netzwerks zu einem Netzwerk, in dem Fahrzeiten nicht mehr flussabhängig sind sondern konstant. Jede ursprüngliche Kante wird im expandierten Netzwerk mehrfach kopiert. Jede Kopie repräsentiert eine andere konstante Fahrzeit auf der Kante. Durch geschickte Wahl der Kapazitäten sind die auftretenden Fahrzeiten nur noch indirekt flussabhängig. Basierend auf dieser Relaxierung werden Approximationsalgorithmen entwickelt. Insbesondere wird das Mehrgüterflussproblem behandelt. Hierbei sind mehrere Quelle-Senke Paare gegeben und gesucht ist ein Fluss, der den Bedarf sämtlicher Quelle-Senke Paare deckt. Für das Problem wird ein voll polynomiales Approximationsschema entwickelt, d.h. ein Lösungsverfahren, das Lösungen berechnet, die eine optimale Lösung beliebig genau annähern. Da das "Quickest Flow Problem" NP-schwer ist, ist das Ergebnis aus komplexitätstheoretischer Sicht vermutlich nicht verbesserbar

An FPTAS for Quickest Multicommodity Flows with Inflow-Dependent Transit Times

Given a network with capacities and transit times on the arcs, the quickest flow problem asks for a `flow over time' that satisfies given demands within minimal time. In the setting of flows over time, flow on arcs may vary over time and the transit time of an arc is the time it takes for flow to travel through this arc. In most real-world applications (such as, e.g., road traffic, communication networks, production systems, etc.), transit times are not fixed but depend on the current flow situation in the network. We consider the model where the transit time of an arc is given as a nondecreasing function of the rate of inflow into the arc. We prove that the quickest s-t-flow problem is NP-hard in this setting and give various approximation results, including a fully polynomial time approximation scheme (FPTAS) for the quickest multicommodity flow problem with bounded cost

An FPTAS for Quickest Multicommodity Flows with Inflow-Dependent Transit Times

ISSN:0178-4617ISSN:1432-054

An FPTAS for Quickest Multicommodity Flows with Inflow-Dependent Transit Times

Given a network with capacities and transit times on the arcs, the quickest flow problem asks for a `flow over time' that satisfies given demands within minimal time. In the setting of flows over time, flow on arcs may vary over time and the transit time of an arc is the time it takes for flow to travel through this arc. In most real-world applications (such as, e.g., road traffic, communication networks, production systems, etc.), transit times are not fixed but depend on the current flow situation in the network. We consider the model where the transit time of an arc is given as a nondecreasing function of the rate of inflow into the arc. We prove that the quickest $s$-$t$-flow problem is NP-hard in this setting and give various approximation results, including an FPTAS for the quickest multicommodity flow problem with bounded cost