Superintegrability with third order integrals of motion, cubic algebras and supersymmetric quantum mechanics I:Rational function potentials

We consider a superintegrable Hamiltonian system in a two-dimensional space with a scalar potential that allows one quadratic and one cubic integral of motion. We construct the most general cubic algebra and we present specific realizations. We use them to calculate the energy spectrum. All classical and quantum superintegrable potentials separable in Cartesian coordinates with a third order integral are known. The general formalism is applied to quantum reducible and irreducible rational potentials separable in Cartesian coordinates in E2. We also discuss these potentials from the point of view of supersymmetric and PT-symmetric quantum mechanics.Comment: 33 pages, references added, misprints correcte

Superintegrability with third order integrals of motion, cubic algebras and supersymmetric quantum mechanics II:Painleve transcendent potentials

We consider a superintegrable quantum potential in two-dimensional Euclidean space with a second and a third order integral of motion. The potential is written in terms of the fourth Painleve transcendent. We construct for this system a cubic algebra of integrals of motion. The algebra is realized in terms of parafermionic operators and we present Fock type representations which yield the corresponding energy spectra. We also discuss this potential from the point of view of higher order supersymmetric quantum mechanics and obtain ground state wave functions.Comment: 26 page

Canonical transformations of the extended phase space, Toda lattices and Stackel family of integrable systems

We consider compositions of the transformations of the time variable and canonical transformations of the other coordinates, which map completely integrable system into other completely integrable system. Change of the time gives rise to transformations of the integrals of motion and the Lax pairs, transformations of the corresponding spectral curves and R-matrices. As an example, we consider canonical transformations of the extended phase space for the Toda lattices and the Stackel systems.Comment: LaTeX2e + Amssymb, 22p

Розроблення технології кефіру з пюре селери

The creation of new types of functional food products is an actual direction of the development of the food industry at the present time. The purpose of the work was to develop the technology, to investigate the properties and quality indicators of kefir using celery puree. Experimental studies of organoleptic, physicochemical and microbiological indicators of kefir were conducted in the laboratory of the department of technology of milk and dairy products. For the production of kefir we used a fermentation culture directly applied by DVS company “CHR Hansen” (Denmark) Kefir-1, which includes Debaryomyces hansenii yeast and meso- and thermophilic lactococci: Lactococcus lactis subsp. cremoris, Lactococcus lactis subsp. lactis biovar. diacetylactis, Lactococcus lactis subsp. lactis, Leuconostoc, Streptococcus thermophilus. Stalks of celery were used to prepare puree in laboratory conditions. Stalks celery were washed, cut into small cubes. Chopped celery cubes were placed in a vessel, a small amount of water was added, brought to a boil. After that, the water was drained, and the celery cubes were carefully ground with a blender to a smooth puree-like consistency. At the first stage, kefir recipes were developed using different amounts of celery puree. We produced 3 samples of kefir: sample 1 – use of celery puree in the amount of 20 % to the weight of the normalized mixture; sample 2 – 30 %; sample 3 – 35 %. Kefir was made by the tank method. The cooled milk was sent for normalization. After normalization, the milk mixture was sent for pasteurization at a temperature of (95 ± 1) °C with a holding time of 5 minutes. Fermentation culture Kefir-1 was added to the milk mixture cooled to a temperature of (30 ± 1) ºС. To evenly distribute the culture, mixing was used for 10-15 minutes. The mixture was subjected to fermentation at a temperature of (30 ± 1) ºС. After fermentation, celery puree was added to the milk mixture in the amount of 20, 30 and 35 % to the product weight. The mixture was thoroughly mixed and the product was immediately cooled to a temperature of 8 °C and sent to maturation for 12 hours. Organoleptic, physical and chemical and microbiological indicators were studied in the finished product in accordance with DSTU 4417:2005 “Kefir. Specifications”. The titrated acidity was determined according to GOST 3624-92 “Milk and dairy products. Titrometric methods of determining acidity”. Active acidity was measured using an electronic pH meter “Muttler Toledo MP220”. The total number of lactic acid cultures was determined by parallel inoculation of dilutions of yogurt samples in Petri dishes on Lactobacagar medium followed by incubation in a thermostat at a temperature of (37 ± 1) ºС for 3 days under anaerobic conditions. According to organoleptic parameters, in particular, better appearance and consistency, it is recommended to use celery puree in the amount of 35 % of the product weight in kefir technology. The physical and chemical parameters of the milk-vegetable product after maturation are as follows: titrated acidity 75–80 ºT, active acidity 4.8–4.7 units pH, mass fraction of fat 2.5 %. During storage for 14 days, acidity changed the least in milk-vegetable kefir with celery puree in a sample with 35 % puree, which is caused, in our opinion, by the presence of essential oils in celery puree, which suppress the development of lactic acid microflora. The results of determining the number of viable lactic acid bacteria in kefir during storage at a temperature of (4 ± 2) ºС for 14 days indicate the intensification of the growth of lactic acid bacteria. Their development was more active in the sample using the smallest amount of celery puree.Розробка нових видів функціональних продуктів харчування – актуальний напрямок розвитку харчової галузі на теперішній час. Метою роботи було розробити технологію, дослідити властивості та показники якості кефіру з використанням пюре селери. Експериментальні дослідження органолептичних, фізико-хімічних та мікробіологічних показників кефіру проводилися у лабораторії кафедри технології молока і молочних продуктів. Для виробництва кефіру використовували заквашувальну культуру прямого внесення DVS компанії “CHR Hansen” (Данія), Kefir-1, до складу якої входять дріжджі Debaryomyces hansenii та мезо- і термофільні лактококи: Lactococcus lactis subsp. cremoris, Lactococcus lactis subsp. lactis biovar. diacetylactis, Lactococcus lactis subsp. lactis, Leuconostoc, Streptococcus thermophilus. Для приготування пюре в лабораторних у мовах використовували стебла селери. Стебла селери мили, нарізали на невеликі кусочки. Подрібнені кусочки селери складали в посудину, додавали невелику кількість води, доводили до кипіння. Після цього воду зливали, кусочки стебел селери ретельно подрібнювали блендером до пюреподібної ніжної консистенції. На першому етапі розробляли рецептури кефіру, використовуючи різну кількість пюре селери. Нами було виготовлено 3 зразки кефіру: зразок 1 – використання пюре селери у кількості 20 % до маси продукту; зразок 2 – 30 %; зразок 3 – 35 %. Кефір виготовляли резервуарним способом. Охолоджене молоко відправляли на нормалізацію. Після нормалізації суміш відправляли на пастеризацію при температурі (95 ± 1) °C з витримкою 5 хв. У охолоджену до температури (30 ± 1) ºС суміш вносили заквашувальну культуру Kefir-1. Для рівномірного розподілення культури застосовували перемішування протягом 10–15 хв. Після внесення закваски суміш піддавали ферментації за температури (30 ± 1) ºС. Після сквашування у молочну суміш вносили пюре селери у кількості 20, 30 та 35 % від маси нормалізованої суміші. Суміш ретельно перемішували і продукт відразу охолоджували до температури 8 °С і направляли на визрівання на 12 год. У готовому продукті досліджували органолептичні, фізико-хімічні та мікробіологічні показники згідно з ДСТУ 4417:2005 “Кефір. Технічні умови”. Титровану кислотність визначали за ГОСТ 3624–92 “Молоко і молочні продукти. Титрометричні методи визначення кислотності”. Вимірювання активної кислотності проводили за допомогою електронного рН-метра “Muttler Toledo MP220”. Загальну кількість молочнокислих культур визначали паралельним посівом розведень зразків йогурту у чашки Петрі на середовище Лактобакагар з подальшим інкубуванням у термостаті за температури (37 ± 1) ºС протягом 3 днів в анаеробних умовах. За органолептичними показниками, зокрема кращим зовнішнім виглядом та консистенцією, рекомендовано використовувати в технології кефіру пюре селери у кількості 35 % від маси продукту. Фізико-хімічні показники молочно-рослинного напою після визрівання такі: титрована кислотність в межах 75–80 ºТ, активна кислотність 4,8–4,7 од. рН, масова частка жиру 2,5 %. Під час зберігання протягом 14 діб кислотність найменшою мірою змінювалась у молочно-рослинному кефірі з пюре селери у зразку з 35 % пюре, що спричинено, на нашу думку, наявністю ефірних олій у пюре селери, які пригнічують розвиток молочнокислої мікрофлори. Результати визначення кількість життєздатних молочнокислих бактерій у кефірі протягом зберігання за температури (4 ± 2) ºС упродовж 14 днів свідчать про інтенсифікацію росту молочнокислих бактерій. Більш активний їхній  розвиток був у зразку при використанні найменшої кількості пюре селери

Superintegrable Systems with a Third Order Integrals of Motion

Two-dimensional superintegrable systems with one third order and one lower order integral of motion are reviewed. The fact that Hamiltonian systems with higher order integrals of motion are not the same in classical and quantum mechanics is stressed. New results on the use of classical and quantum third order integrals are presented in Section 5 and 6.Comment: To appear in J. Phys A: Mathematical and Theoretical (SPE QTS5

Superintegrability with third order invariants in quantum and classical mechanics

We consider here the coexistence of first- and third-order integrals of motion in two dimensional classical and quantum mechanics. We find explicitly all potentials that admit such integrals, and all their integrals. Quantum superintegrable systems are found that have no classical analog, i.e. the potentials are proportional to \hbar^2, so their classical limit is free motion.Comment: 15 page