Nichtstandard in der elementaren Analysis – Mathematische, logische, philosophische und didaktische Studien zur Bedeutung der Nichtstandardanalysis in der Lehre

Die heutige Analysis ist aus der Infinitesimalrechnung von Leibniz und Newton hervorgegangen. Zwei Jahrhunderte lang gehörten Infinitesimalien, also unendlich kleine Größen, zum Handwerkszeug der Mathematiker und bescherten der neu entstandenen Disziplin einen außerordentlichen Aufschwung, bevor sie durch den Weierstraß'schen Grenzwertbegriff und die Konstruktion der reellen Zahlen durch Cantor und Dedekind entbehrlich schienen und schließlich aus der Analysis verbannt wurden. Der Preis für diese Finitisierung und Arithmetisierung der Analysis waren die Akzeptanz des aktual Unendlichen in Gestalt transfiniter Mengen sowie ein sperriger, wenig intuitiver Grenzwertformalismus, der Lernenden an Schulen und Hochschulen bis heute Schwierigkeiten bereitet. Mit Robinsons Non-standard Analysis hielten die Infinitesimalien in den 1960er Jahren – jetzt streng modelltheoretisch begründet – wieder Einzug in die Mathematik. In der Folge wurde Nichtstandardanalysis auf verschiedenen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik erfolgreich eingesetzt. Keisler erkannte das didaktische Potential von Robinsons Arbeit und entwarf in den 1970er Jahren eine axiomatische Einführung in die Analysis mit hyperreellen Zahlen ohne die modelltheoretischen Voraussetzungen. Seitdem gab es und gibt es bis heute Projekte mit dem Ziel, Nichtstandardanalysis für die Lehre zu nutzen. Trotz positiver Erfahrungen aus diesen Projekten blieb der Einfluss auf die Lehre insgesamt sehr gering. An den Hochschulen wird Analysis fast ausnahmslos rein auf der Grundlage des Weierstraß'schen Grenzwertbegriffs gelehrt, wobei die reellen Zahlen axiomatisch eingeführt werden. In der Schule zieht man sich zunehmend auf einen propädeutischen Grenzwertbegriff zurück. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine Standortbestimmung von Nichtstandard in der Analysis, speziell in der Lehre der Analysis – in mathematischer, logischer, philosophischer und stoffdidaktischer Hinsicht. Insbesondere soll untersucht werden, inwieweit sich unter diesen Aspekten Gründe für die zurückhaltende Aufnahme von Elementen der Nichtstandardanalysis in die Lehre ableiten lassen. Zu diesem Zweck werden zunächst verschiedene Zugänge zur Nichtstandardanalysis, ihre Adaptionen für elementare Einführungen sowie Erfahrungen aus der Lehre überblickend vorgestellt. Dieser Überblick ermöglicht es herauszuarbeiten, inwieweit gewohnte Sichtweisen (zum Beispiel auf die Mengenlehre, das Unendliche, die reellen und die natürlichen Zahlen oder das Kontinuum) durch Nichtstandard herausgefordert werden, welche Voraussetzungen Nichtstandard mathematisch benötigt und in welcher Weise und mit welchem Effekt Nichtstandardmethoden in der elementaren Analysis eingesetzt werden können. Um mögliche mathematische Probleme aufzudecken, die Vorbehalte gegenüber Nichtstandard begründen können, werden logische, modelltheoretische und mengentheoretische Untersuchungen diskutiert. Zur Analyse einer aus philosophischer Haltung heraus begründeten Ablehnung von Nichtstandard werden verschiedene Grundlagenpositionen sowie ontologische, epistemologische und anwendungsbezogene Fragen behandelt. Ein empirischer Teil dient als Beleg für einen aktuellen Meinungsquerschnitt, wie Nichtstandardanalysis von den Lehrenden der Analysis wahrgenommen und als Lehrstoff eingeschätzt wird. Quelle ist eine im Rahmen des Dissertationsprojektes per E-Mail durchgeführte und mittels einer qualitativen Inhaltsanalyse ausgewertete Befragung von Analysislehrenden an deutschen Hochschulen. Die Auswertung ist Ausgangspunkt für die Diskussion mathematischer und didaktischer Vorbehalte gegen den Einsatz von Nichtstandardanalysis in der Lehre. Im Vordergrund steht also die Frage nach der Rechtfertigung von Nichtstandardanalysis als Lehrstoff. Untersuchungen zu weitergehenden Fragestellungen und Aspekten der Auswertung, die man anschließen könnte, etwa hinsichtlich der Prozesse zur Festlegung dessen, was an Schule oder Hochschule gelehrt werden sollte, werden hier nicht weiterverfolgt.Today's analysis emerged from the infinitesimal calculus of Leibniz and Newton. For two centuries, infinitesimals, i.e. infinitely small quantities, belonged to the tools of the mathematicians and gave the newly developed discipline an extraordinary upswing, before they seemed dispensable and were finally banished from analysis due to the Weierstrassian concept of limit and the construction of the real numbers by Cantor and Dedekind. The price for this finitization and arithmetization of analysis was the acceptance of the actual infinite in the form of transfinite sets as well as a bulky, not very intuitive formalism of limits, which causes difficulties for learners at schools and universities to this day. With Robinson's Non-standard Analysis, the infinitesimals found their way back into mathematics in the 1960s – now strictly based on model theory. In the following years, non-standard analysis was used successfully in various areas inside and outside of mathematics. Keisler recognized the didactic potential of Robinson's work and in the 1970s designed an axiomatic introduction to analysis with hyperreal numbers without the model-theoretical prerequisites. Since then there have been, and still are, projects aimed at using non-standard analysis for teaching. Despite positive experiences from these projects, the overall impact on teaching remained very small. At universities, calculus is taught almost without exception purely on the basis of Weierstrass's concept of limit, with the real numbers being introduced axiomatically. In school, one increasingly retreats to a propaedeutic notion of limit. The aim of the present dissertation is to determine the position of the "non-standard" in analysis, especially in the teaching of analysis – in mathematical, logical and philosophical terms and in terms of subject specific didactics. In particular, we shall examine to what extent reasons for the reluctant inclusion of elements of non-standard analysis in teaching can be derived from these aspects. To this end, different approaches to non-standard analysis, their adaptations for elementary introductions and experiences from teaching are presented in an overview. This overview makes it possible to work out to what extent customary perspectives (for example on set theory, the infinite, the real and the natural numbers or the continuum) are challenged by non-standard analysis, which prerequisites non-standard analysis requires mathematically and in what way and with what effect non-standard methods can be used in the elementary analysis. In order to uncover possible mathematical problems that may account for reservations about non-standard analysis, we discuss logical, model-theoretical and set-theoretical investigations. To analyze a rejection of non-standard analysis based on a philosophical attitude, we deal with various foundational positions as well as ontological, epistemological and application-related questions. An empirical part serves as evidence for a current cross-section of opinions on how non-standard analysis is perceived by calculus instructors and assessed as a subject matter of teaching. The source is a survey of calculus instructors at German universities carried out by email as part of the dissertation project and evaluated using a qualitative content analysis. The evaluation is the starting point for the discussion of mathematical and didactic reservations against the use of non-standard analysis in teaching. In the foreground is the question of the justification of non-standard analysis as a subject matter of teaching. Studies on further questions and aspects of the evaluation that could follow, for example with regard to the processes for determining what should be taught at school or university, are not pursued further here

Leibniz on bodies and infinities: rerum natura and mathematical fictions

The way Leibniz applied his philosophy to mathematics has been the subject of longstanding debates. A key piece of evidence is his letter to Masson on bodies. We offer an interpretation of this often misunderstood text, dealing with the status of infinite divisibility in nature, rather than in mathematics. In line with this distinction, we offer a reading of the fictionality of infinitesimals. The letter has been claimed to support a reading of infinitesimals according to which they are logical fictions, contradictory in their definition, and thus absolutely impossible. The advocates of such a reading have lumped infinitesimals with infinite wholes, which are rejected by Leibniz as contradicting the partwhole principle. Far from supporting this reading, the letter is arguably consistent with the view that infinitesimals, as inassignable quantities, are mentis fictiones, i.e., (well-founded) fictions usable in mathematics, but possibly contrary to the Leibnizian principle of the harmony of things and not necessarily idealizing anything in rerum natura. Unlike infinite wholes, infinitesimals - as well as imaginary roots and other well-founded fictions - may involve accidental (as opposed to absolute) impossibilities, in accordance with the Leibnizian theories of knowledge and modality

Procedures of Leibnizian infinitesimal calculus: An account in three modern frameworks

Recent Leibniz scholarship has sought to gauge which foundational framework provides the most successful account of the procedures of the Leibnizian calculus (LC). While many scholars (e.g., Ishiguro, Levey) opt for a default Weierstrassian framework, Arthur compares LC to a non-Archimedean framework SIA (Smooth Infinitesimal Analysis) of Lawvere-Kock-Bell. We analyze Arthur's comparison and find it rife with equivocations and misunderstandings on issues including the non-punctiform nature of the continuum, infinite-sided polygons, and the fictionality of infinitesimals. Rabouin and Arthur claim that Leibniz considers infinities as contradictory, and that Leibniz' definition of incomparables should be understood as nominal rather than as semantic. However, such claims hinge upon a conflation of Leibnizian notions of bounded infinity and unbounded infinity, a distinction emphasized by early Knobloch. The most faithful account of LC is arguably provided by Robinson's framework. We exploit an axiomatic framework for infinitesimal analysis called SPOT (conservative over ZF) to provide a formalisation of LC, including the bounded/unbounded dichotomy, the assignable/inassignable dichotomy, the generalized relation of equality up to negligible terms, and the law of continuity.Comment: 52 pages, to appear in British Journal for the History of Mathematic

Siegener Beiträge zur Geschichte und Philosophie der Mathematik 2016

Auch wenn es den Siegener Beiträgen mit Blick auf den menschlichen Geist ’nur’ um die Facette des Mathematischen geht, so kann doch die Intention, gegenseitige Verflechtungen sichtbar zu machen, um vielleicht an der einen oder anderen Stelle sogar zugrunde liegende Prinzipien genauer zu erfassen, durchaus in Anspruch genommen werden. Gerade heutzutage ist aber auch an eine weitere Motivation Diderots zu erinnern, die er 1762 seiner Freundin Sophie Volland gegenüber brieflich zum Ausdruck brachte "Dieses Werk wird sicher mit der Zeit eine Umwandlung der Geister mit sich bringen, und ich hoffe, dass die Tyrannen, die Unterdrücker, die Fanatiker und die Intoleranten dabei nicht gewinnen werden. [...]

Siegener Beiträge zur Geschichte und Philosophie der Mathematik 2018

2. Hrsg.: Ralf KrömerAuch wenn sich der mittlerweile 10. Band der "Siegener Beiträge zur Geschichte und Philosophie der Mathematik/SieB" in seiner thematischen Breite nicht mit Schwendtners und Harsdörffers "Deliciae" messen kann, so ist das thematische Spektrum des vorliegenden Bandes dennoch erfreulich weit gespannt. In historischer Hinsicht reicht SieB 10 von Arbeiten über Leibniz (Sauer und Klaedtke) – übrigens einer der bekennenden Leser der Erquickstunden – bis zu Frege (Kanterian) und Nelson (Shokrani und Spies), systematisch werden die Grundlagen der Analysis (Kuhlemann) und der deontischen Logik (Wille) diskutiert, und wiederum historisch werden Verbindungen von Philosophie und mathematischem Unterricht im frühen 20. Jahrhundert (Reichenberger) bzw. mathematischem Studium und polytechnischer Tradition in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts (Volkert) thematisiert.Inhaltsverzeichnis: Edward Kanterian: What is in a Definition? Understanding Frege’s Account Karl Kuhlemann: Über die Technik der infiniten Vergrößerung und ihre mathematische Rechtfertigung Karl Kuhlemann: Zur Axiomatisierung der reellen Zahlen Andrea Reichenberger: Walther Brand and Marie Deutschbein’s Introduction to the Philosophical Foundations of Mathematics (1929): A Book for Teaching Practice? Tilman Sauer und Gabriel Klaedtke: Eine Leibnizsche Identität Shafie Shokrani, Susanne Spies: „Feeling the essence of mathematics“ – Sokratische Gespräche im Mathematischen Haus in Isfahan Klaus Volkert: Mathematische Modelle und die polytechnische Tradition Matthias Wille: ›so müssen sie auch geschehen können‹ Über die philosophischen Sinnbedingungen deontologischer Modellbildun

The PLATO Mission

International audiencePLATO (PLAnetary Transits and Oscillations of stars) is ESA's M3 mission designed to detect and characterise extrasolar planets and perform asteroseismic monitoring of a large number of stars. PLATO will detect small planets (down to <2 R_(Earth)) around bright stars (<11 mag), including terrestrial planets in the habitable zone of solar-like stars. With the complement of radial velocity observations from the ground, planets will be characterised for their radius, mass, and age with high accuracy (5 %, 10 %, 10 % for an Earth-Sun combination respectively). PLATO will provide us with a large-scale catalogue of well-characterised small planets up to intermediate orbital periods, relevant for a meaningful comparison to planet formation theories and to better understand planet evolution. It will make possible comparative exoplanetology to place our Solar System planets in a broader context. In parallel, PLATO will study (host) stars using asteroseismology, allowing us to determine the stellar properties with high accuracy, substantially enhancing our knowledge of stellar structure and evolution. The payload instrument consists of 26 cameras with 12cm aperture each. For at least four years, the mission will perform high-precision photometric measurements. Here we review the science objectives, present PLATO's target samples and fields, provide an overview of expected core science performance as well as a description of the instrument and the mission profile at the beginning of the serial production of the flight cameras. PLATO is scheduled for a launch date end 2026. This overview therefore provides a summary of the mission to the community in preparation of the upcoming operational phases