Analytical and numerical stability analysis of Soret-driven convection in a horizontal porous layer: the effect of conducting bounding plates

The aim of this study was to investigate the effect of conducting boundaries on the onset of convection in a binary fluid-saturated porous layer. The isotropic saturated porous layer is bounded by two impermeable but thermally conducting plates, subjected to a constant heat flux. These plates have identical conductivity. Moreover, the conductivity of the plates is generally different from the porous layer conductivity. The overall layer is of large extent in both horizontal directions. The problem is governed by seven dimensionless parameters, namely the normalized porosity of the medium ε, the ratio of plates over the porous layer thickness δ and their relative thermal conductivities ratio d, the separation ratio δ, the Lewis number Le and thermal Rayleigh number Ra. In this work, an analytical and numerical stability analysis is performed. The equilibrium solution is found to lose its stability via a stationary bifurcation or a Hopf bifurcation depending on the values of the dimensionless parameters. For the long-wavelength mode, the critical Rayleigh number is obtained as Racs=12(1+2dδ )/[1+ψ (2dδLe+Le+1)] and kcs=0 for ψ> ψ uni> 0. This work extends an earlier paper by Mojtabi and Rees (2011 Int. J. Heat Mass Transfer 54 293-301) who considered a configuration where the porous layer is saturated by a pure fluid

Etude analytique et numérique de la thermodiffusion en fluide binaire en présence de convection mixte

Lorsqu'on soumet une solution initialement homogène, constituée d'au moins deux espèces chimiques, à un gradient thermique, celui-ci engendre un transfert de matière au sein du mélange. Il en résulte la formation d'un gradient de concentration : ce phénomène est appelé thermodiffusion ou effet Soret. La thermodiffusion pure conduit à une très faible séparation des espèces. Le couplage de la thermodiffusion et de la convection naturelle appelée diffusion thermogravitationnelle peut conduire à une séparation des constituants du mélange beaucoup plus importante que celle induite par la thermodiffusion seule. Dans ce mémoire, nous proposons un nouveau dispositif de cellule thermogravitationnelle avec cavité rectangulaire horizontale, de grand rapport d'aspect, remplie d'un fluide binaire. Cette thématique qui consiste à mettre en mouvement, avec une vitesse uniforme la paroi supérieure (ou les parois supérieure et inférieure) de la cavité, permet de disposer de deux paramètres de contrôle que l'on peut faire varier indépendamment l'un de l'autre contrairement à ce qui est fait habituellement dans les colonnes de diffusion thermogravitationnelle où c'est le seul gradient thermique imposé qui induit l'importance de la thermodiffusion et celle du mouvement convectif. Nous avons étudié le problème en considérant deux types de conditions aux limites au niveau des parois horizontales : Températures constante et flux de chaleur constant et uniforme. Le problème considéré dépend de six paramètres adimensionnels, le rapport d'aspect A, le nombre de Lewis Le, le nombre de Prandtl Pr, le facteur de séparation ?, et les deux paramètres de contrôle, à savoir le nombre de Rayleigh thermique et le nombre de Péclet. Nous avons déterminé analytiquement la séparation (la différence des fractions massiques entre les deux extrémités de la cellule) en fonction du nombre de Péclet et du nombre de Rayleigh. Des simulations numériques directes, 2D et 3D, ont montré un très bon accord entre les résultats numériques et analytiques. Nous avons également étudié la stabilité linéaire de l'écoulement monocellulaire permettant d'assurer la séparation des espèces entre les deux extrémités de la cellule. Nous avons montré que le nombre de Rayleigh conduisant à la séparation optimale reste inférieur au nombre du Rayleigh critique conduisant à la perte de stabilité de cette écoulement monocellulaire. L'écoulement monocellulaire perd sa stabilité via une bifurcation de Hopf et donne lieu à un écoulement multicellulaire instationnaire.In the present work, an analytical and numerical study to determine the species separation process in a binary fluid mixture by decoupling the thermal gradient from the convective velocity was performed. The configuration considered is a horizontal rectangular cavity of large aspect ratio, filled with a binary fluid. A constant tangential velocity is applied to the upper horizontal wall only, or to the upper and bottom wall. Species separation is governed by two control parameters, the temperature difference and the velocity of the upper plate. The intensity of the thermodiffusion is controlled by the temperature gradient, while the velocity controls the convective flow. Two types of horizontal wall boundary conditions were investigated: a constant temperature and constant wall heat flux. The governing parameters of the problem are the aspect ratio, A, the Lewis number, Le, the Prandtl number, Pr, the separation ratio, ?, and the tow control parameters: the thermal Rayleigh number, Ra and the Péclet number Pe. The separation (mass fraction difference between the two ends of the cell) is obtained analytically as a function of Péclet number and Rayleigh number. The numerical results, obtained using the full governing equations, are in good agreement with the analytical results based on a parallel flow approximation. linear stability analysis of the unicellular flow is also performed. We have shown that the Rayleigh number leading to optimal separation remains below the critical Rayleigh number leading to the loss of stability of the unicellular flow. The unicellular flow loses its stability via a Hopf bifurcation and gives rise to a multicellular unsteady flow

Séparation des constituants d'un fluide binaire remplissant une cavité horizontale soumise à des flux croisés de chaleur

On étudie numériquement et analytiquement l'influence de l'effet Soret sur la séparation des espèces d'un mélange binaire confiné dans une enceinte parallélépipédique horizontale soumise à des flux de chaleur uniformes et croisés. L'écoulement unicellulaire induit par le flux de chaleur latéral peut conduire à une importante séparation des espèces. L'hypothèse d'écoulement parallèle est utilisée pour déterminer la solution analytique associée à l'écoulement de double diffusion unicellulaire. Le problème étudié en plus de l'allongement, dépend de cinq nombres adimensionnels qui sont les nombres de Rayleigh, de Prandtl,le facteur de séparation, le nombre de Lewis et le rapport des densités horizontale et verticale de flux. Les applications numériques choisies correspondent au mélange binaire d'eau (60%) et d'éthanol (40%). Les résultats analytiques sont corroborés par ceux obtenus par des simulations numériques directes

A new process for species separation in a binary mixture using mixed convection

In this paper, a numerical and analytical analysis is performed in order to improve the species separation process in a binary fluid mixture by decoupling the thermal gradient from the convective velocity. The configuration considered is a horizontal rectangular cavity, of large aspect ratio, filled with a binary fluid. A constant tangential velocity is applied to the upper horizontal wall. The two horizontal impermeable walls are maintained at different and uniform temperatures T1 and T2 with ΔT = T1 − T2 Species separation is governed by two control parameters, the temperature difference ΔT and the velocity of the upper plate Uex. The intensity of the thermodiffusion is controlled by the temperature, while the velocity Uex controls the convective flow. This problem depends on six dimensionless parameters, namely, the separation ratio, ψ, the Lewis number, Le, the Prandtl number Pr, the aspect ratio of the cell, A and two control parameters: the thermal Rayleigh number, Ra and the Péclet number Pe. In this study, the formulation of the separation (mass fraction difference between the two ends of the cell) as a function of the Péclet number and the Rayleigh number is obtained analytically. For a cell heated from below, the optimal separation m = √42/15 is obtained for Pe = √42/Le and Ra = 540/(Leψ). 2D numerical results, obtained by solving the full governing equations, are in good agreement with the analytical results based on a parallel flow approach

Nouveau procédé de séparation des espèces d'un fluide binaire par convection mixte

Lorsqu’on soumet une solution initialement homogène, constituée d’au moins deux espèces chimiques, à un gradient thermique, celui-ci induit un transfert des constituants au sein du mélange : ce phénomène est appelé thermodiffusion ou effet Soret. Le couplage entre la convection et la thermodiffusion, appelé diffusion thermogravitationnelle conduit, sous certaines conditions, à une séparation des espèces plus importante qu'en thermodiffusion. Dans les colonnes thermogravitationnelles verticales le gradient thermique imposé induit non seulement la thermodiffusion mais également le mouvement convectif. Nous proposons dans ce travail une nouvelle technique permettant d'améliorer le procédé de séparation en découplant le gradient thermique de la vitesse convective. On considère pour cela, une cavité rectangulaire, horizontale, remplie d’un fluide binaire et soumise à un flux de chaleur vertical. La paroi supérieure est animée d’une vitesse uniforme, ce qui permet de disposer de deux paramètres de contrôle indépendants. Les résultats analytiques et numériques obtenus sont en parfait accord

Species separation of a binary mixture in the presence of mixed convection

In this paper, an analytical and numerical study to determine the species separation process in a binary fluid mixture by decoupling the thermal gradient from the convective velocity was performed. The configuration considered is a horizontal rectangular cavity of large aspect ratio, filled with a binary fluid. A constant tangential velocity is applied to the upper horizontal wall. The two horizontal impermeable walls are maintained at different and uniform temperatures T₁ and T₂ with ΔT=T₂ - T₁. Species separation is governed by two control parameters, the temperature difference and the velocity of the upper plate U ⃗eₓ . The intensity of the thermodiffusion is controlled by the temperature gradient, while the velocity U ⃗eₓ controls the convective flow. This problem depends on six dimensionless parameters, namely, the separation ratio ψ, the Lewis number Le, the Prandlt number Pr, the aspect ratio of the cell A and two control parameters: the thermal Rayleigh number, Ra and the Péclet number (Pem=PeLe). In this study, the separation (mass fraction difference between the two ends of the cell) is obtained analytically as a function of mass Péclet number (Pem = PeLe) and mass Rayleigh number (Ram = 540). The numerical results, obtained using the full governing equations, are in good agreement with the analytical results based on a parallel flow approximation

Séparation des espèces d'un mélange binaire en présence de convection mixte

La diffusion thermogravitationnelle, combinant le phénomène de thermodiffusion à celui de convection naturelle augmente le degré de séparation d'un mélange mais la quantité des espèces produites reste toujours faible. L'optimum de séparation est obtenu pour un choix approprié de vitesse convective et de temps de diffusion massique, conduisant à une très faible épaisseur de cellule. Nous proposons une nouvelle approche permettant d'améliorer ce procédé en découplant le gradient thermique de la vitesse convective (imposée à la paroi) pour disposer de deux paramètres de contrôle indépendant

Influence des parois sur la séparation des espèces dans un mélange binaire en milieu poreux

Le couplage entre la convection et la thermodiffusion conduit à la séparation des constituants d'un mélange.Dans cette étude, nous considérons une cavité poreuse rectangulaire horizontale, de grand rapport d'aspect,saturée par un fluide binaire.La cavité est délimitée par des plaques minces de même épaisseur et soumises à un flux de chaleur constant. Nous montrons que la séparation dépend notablement du rapport d des épaisseurs de la couche poreuse et des parois ainsi que du rapport d de leur conductivité thermique.Pour les grandes longueurs d'onde,le nombre de Rayleigh critique est donné

Analytical and numerical study of Soret mixed convection in two sided lid-driven horizontal cavity: optimal species separation

The coupling between shear-driven convection and thermo-diffusion is a complex phenomenon due to the interactions between the different forces inside the fluid mixture. This paper studies the species separation that may appear in a parallelepipedic cell filled by a binary mixture. Dirichlet boundary conditions are imposed with differentially heated horizontal walls. Each wall can be animated with a uniform velocity. More precisely, two velocities

Nouveau procédé de séparation des espèces d'une solution binaire par convection mixte

A l'équilibre thermique, un fluide multiconstituant est parfaitement homogène. Soumis à un gradient thermique le fluide est alors le siège d'une nouvelle répartition des constituants. Le flux de matière induit par le gradient thermique imposé est appelé thermodiffusion ou effet Soret. La thermodiffusion conduit à une très faible séparation des espèces alors que le couplage thermodiffusion et convection appelée diffusion thermogravitationnelle conduit à une séparation des constituants plus importante. La séparation optimale des espèces d'un mélange binaire dans les colonnes verticales [1] est obtenue pour de très faibles épaisseurs de colonnes. Des travaux [2, 3] ont montré qu'il est également possible d'obtenir la séparation dans une cellule horizontale avec une plus grande épaisseur de cellule et par conséquent d’obtenir une plus grande quantité d'espèces séparées. Dans cette étude, nous proposons un nouveau procédé permettant d'améliorer la séparation en découplant le gradient thermique de la vitesse convective. On considère pour cela une cavité rectangulaire, d'épaisseur H selon la verticale et de largeur L selon l’horizontale avec A=L/H >>1, chauffée par le haut ou par le bas et remplie d'un fluide binaire. Les parois verticales de la cavité sont thermiquement isolées. Le problème considéré dépend de six paramètres adimensionnels dont deux paramètres de contrôle : le nombre de Rayleigh thermique (Ra) et le nombre de Péclet (Pe). On présente une solution analytique et numérique du problème et on analyse l’influence de Ra et de Pe sur la séparation. Un bon accord est obtenu entre ces deux approches analytiques et numériques. Références [1] J.K. Platten, M. Bou-Ali and J.F. Dutrieux, Journal of Physical Chemistry, B 107, (2003). [2] B. Elhajjar, M.C. Charrier-Mojtabi and A. Mojtabi, Physical Review E, 77, 1 (2008) [3] B. Elhajjar, A. Mojtabi , P. Costesèque and M.C. Charrier-Mojtabi, Int. J. Heat and Mass Tranfer, 53,4844 (2010)