On the divisibility of meet and join matrices

AbstractLet (P,⩽)=(P,∧,∨) be a lattice, let S={x1,x2,…,xn} be a meet-closed subset of P and let f:P→Z+ be a function. We characterize the matrix divisibility of the join matrix [S]f=[f(xi∨xj)] by the meet matrix (S)f=[f(xi∧xj)] in the ring Zn×n in terms of the usual divisibility in Z, and we present two algorithms for constructing certain classes of meet-closed sets S such that (S)f divides [S]f. As an example we present the lattice-theoretic structure of all meet-closed sets with at most five elements possessing the matrix divisibility property. Finally, we show that our methods solve some open problems in the divisor lattice, concerning the divisibility of GCD and LCM matrices

On Meet and Join Matrices Associated with Incidence Functions

Lukuteoriassa SYT-matriisilla tarkoitetaan n x n matriisia, jonka jokainen alkio on vastaavan rivi- ja sarakenumeron suurin yhteinen tekijä (syt). SYT-matriisien teoria alkoi H.J.S. Smithin vuonna 1876 lehdessä Proc. London Math. Soc. julkaisemasta artikkelista, jossa esitettiin mm. SYT-matriisin determinantille kaava g(1)g(2)g(3)...g(n). Kaavassa g(i) kertoo sen, kuinka moni i:tä pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista on suhteellinen alkuluku i:n kanssa. SYT-matriisin käsitteeseen voidaan liittää myös jokin positiivisten kokonaislukujen joukko S = {x1, x2, , xn} ja funktio f. Tällöin joukkoa S ja funktiota f vastaavan SYT-matriisin ij. alkio on f(syt(xi, xj)). Vastaavasti määritellään PYJ-matriisi. Kun SYT- ja PYJ-matriisien määritelmissä tavanomainen jaollisuus korvataan ns. unitaarisella jaollisuudella, puhutaan SYUT- ja PYUJ-matriiseista. Positiivisten kokonaislukujen joukko varustettuna syt:llä ja pyj:llä muodostaa ns. hilan, joten SYT- ja PYJ-matriisien sijaan voidaan tarkastella niiden hilateoreettisia yleistyksiä. Yleistys suoritetaan korvaamalla positiivisten kokonaislukujen joukko osittain järjestetyllä joukolla, syt suurimmalla alarajalla (meet) ja pyj pienimmällä ylärajalla (join). Lisäksi S ja f korvataan yleisemmällä joukolla ja funktiolla. Näin saatuja matriiseja kutsutaan meet- ja join-matriiseiksi. Tämä tutkimus koostuu yhteenveto-osasta ja kuudesta artikkelista. Tutkimuksen päätarkoitus on osoittaa hilateorian hyödyllisyys matematiikan toisen osa-alueen, tässä tapauksessa lukuteorian, tutkimuksessa. Tutkimuksessa keskitytään pääasiassa meet- ja join-matriisien determinantteihin ja käänteismatriiseihin, kun S ja f kuuluvat tiettyihin joukko- ja funktioluokkiin. Ensimmäisessä artikkelissa johdetaan kaavat mm. meet-matriisin determinantin ala- ja ylärajoille sekä kaava käänteismatriisille. Työn merkittävin osa lienee artikkeleista toinen, jossa edellä mainitut kaavat johdetaan myös join-matriiseille käyttäen hyväksi hilan duaalisuutta. Olettamalla funktio f semi-multiplikatiiviseksi saadaan kaavoja vielä monipuolisemmissa joukkoluokissa S. Kolmannessa artikkelissa esitetään menetelmä, jolla voidaan vapautua joukkoa S koskevista rajoitteista. Neljännessä artikkelissa osoitetaan, että meet-matriisit ovat vielä yleisemmän matriisiluokan aliluokka, ja johdetaan uusia determinantti- ja käänteismatriisikaavoja myös tällaisille matriiseille. Viidennessä artikkelissa osoitetaan, että positiivisten kokonaislukujen joukko sopivasti täydennettynä ja varustettuna syut:llä ja pyuj:llä muodostaa myös hilan. Lisäksi tässä artikkelissa johdetaan käänteismatriisikaavoissa esiintyvälle Möbiuksen funktiolle uusi vaihtoehtoinen esitysmuoto. Kuudennessa artikkelissa osoitetaan, että joukon S hilateoreettisella rakenteella on suuri merkitys siihen, milloin join-matriisi on jaollinen vastaavan meet-matriisin kanssa kokonaislukumatriisien joukossa. Tällaisia joukkoja voidaan luoda induktiivisesti kahden annetun algoritmin avulla. Koska SYT- ja PYJ-matriisit sekä SYUT- ja PYUJ-matriisit kuuluvat meet- ja join-matriiseihin, niin tässä työssä hilateoreettisella tasolla saavutetut tulokset ovat voimassa myös perinteisessä lukuteoreettisessa tarkasteluympäristössään. Tutkimuksen tulokset kattavat suurimman osan SYT- ja PYJ-matriiseja koskevasta tietämyksestä, ja myös runsaasti uuttakin tietoa saavutetaan. Tutkimus antaa moneen lukuteoreettisesti mutkikkaaseen tilanteeseen järkevän hilateoreettisen selityksen

On Meet and Join Matrices Associated with Incidence Functions

Lukuteoriassa SYT-matriisilla tarkoitetaan n x n matriisia, jonka jokainen alkio on vastaavan rivi- ja sarakenumeron suurin yhteinen tekijä (syt). SYT-matriisien teoria alkoi H.J.S. Smithin vuonna 1876 lehdessä Proc. London Math. Soc. julkaisemasta artikkelista, jossa esitettiin mm. SYT-matriisin determinantille kaava g(1)g(2)g(3)...g(n). Kaavassa g(i) kertoo sen, kuinka moni i:tä pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista on suhteellinen alkuluku i:n kanssa. SYT-matriisin käsitteeseen voidaan liittää myös jokin positiivisten kokonaislukujen joukko S = {x1, x2, , xn} ja funktio f. Tällöin joukkoa S ja funktiota f vastaavan SYT-matriisin ij. alkio on f(syt(xi, xj)). Vastaavasti määritellään PYJ-matriisi. Kun SYT- ja PYJ-matriisien määritelmissä tavanomainen jaollisuus korvataan ns. unitaarisella jaollisuudella, puhutaan SYUT- ja PYUJ-matriiseista. Positiivisten kokonaislukujen joukko varustettuna syt:llä ja pyj:llä muodostaa ns. hilan, joten SYT- ja PYJ-matriisien sijaan voidaan tarkastella niiden hilateoreettisia yleistyksiä. Yleistys suoritetaan korvaamalla positiivisten kokonaislukujen joukko osittain järjestetyllä joukolla, syt suurimmalla alarajalla (meet) ja pyj pienimmällä ylärajalla (join). Lisäksi S ja f korvataan yleisemmällä joukolla ja funktiolla. Näin saatuja matriiseja kutsutaan meet- ja join-matriiseiksi. Tämä tutkimus koostuu yhteenveto-osasta ja kuudesta artikkelista. Tutkimuksen päätarkoitus on osoittaa hilateorian hyödyllisyys matematiikan toisen osa-alueen, tässä tapauksessa lukuteorian, tutkimuksessa. Tutkimuksessa keskitytään pääasiassa meet- ja join-matriisien determinantteihin ja käänteismatriiseihin, kun S ja f kuuluvat tiettyihin joukko- ja funktioluokkiin. Ensimmäisessä artikkelissa johdetaan kaavat mm. meet-matriisin determinantin ala- ja ylärajoille sekä kaava käänteismatriisille. Työn merkittävin osa lienee artikkeleista toinen, jossa edellä mainitut kaavat johdetaan myös join-matriiseille käyttäen hyväksi hilan duaalisuutta. Olettamalla funktio f semi-multiplikatiiviseksi saadaan kaavoja vielä monipuolisemmissa joukkoluokissa S. Kolmannessa artikkelissa esitetään menetelmä, jolla voidaan vapautua joukkoa S koskevista rajoitteista. Neljännessä artikkelissa osoitetaan, että meet-matriisit ovat vielä yleisemmän matriisiluokan aliluokka, ja johdetaan uusia determinantti- ja käänteismatriisikaavoja myös tällaisille matriiseille. Viidennessä artikkelissa osoitetaan, että positiivisten kokonaislukujen joukko sopivasti täydennettynä ja varustettuna syut:llä ja pyuj:llä muodostaa myös hilan. Lisäksi tässä artikkelissa johdetaan käänteismatriisikaavoissa esiintyvälle Möbiuksen funktiolle uusi vaihtoehtoinen esitysmuoto. Kuudennessa artikkelissa osoitetaan, että joukon S hilateoreettisella rakenteella on suuri merkitys siihen, milloin join-matriisi on jaollinen vastaavan meet-matriisin kanssa kokonaislukumatriisien joukossa. Tällaisia joukkoja voidaan luoda induktiivisesti kahden annetun algoritmin avulla. Koska SYT- ja PYJ-matriisit sekä SYUT- ja PYUJ-matriisit kuuluvat meet- ja join-matriiseihin, niin tässä työssä hilateoreettisella tasolla saavutetut tulokset ovat voimassa myös perinteisessä lukuteoreettisessa tarkasteluympäristössään. Tutkimuksen tulokset kattavat suurimman osan SYT- ja PYJ-matriiseja koskevasta tietämyksestä, ja myös runsaasti uuttakin tietoa saavutetaan. Tutkimus antaa moneen lukuteoreettisesti mutkikkaaseen tilanteeseen järkevän hilateoreettisen selityksen

Lääkelaskentaa – ulkoaoppien vai perusteet ymmärtäen

Suomessa moni perusasteen jälkeen ammatillisille aloille opiskelemaan siirtyneistä keskeyttää opintonsa, ja varsinkin teknisillä aloilla osasyyksi nähdään opiskelijoiden entistä heikommat matematiikan taidot. Nämä vajavaiset perusvalmiudet matematiikassa haittaavat myös pehmeämmillä aloilla: esimerkiksi monen terveydenhuoltoon liittyvän tutkinnon vaatimuksiin kuuluva lääkelaskennan osuus saattaa osoittautua yllättävän vaikeaksi – joidenkin valmistuminen alalle on jopa viivästynyt tämän vuoksi. Valitsin kehittämishankkeeni aiheeksi tämän problematiikan selvittämisen. Lääkelaskennan oppimisen vaikeudet ovat tunnetusti vaikeuksia nimenomaan matematiikan oppimisessa, joillakin se on kehittynyt jopa matematiikkapeloksi. Aiheesta on tehty runsaasti kasvatustieteellistä tutkimusta ja lääkelaskennankin osaamisesta on olemassa jopa väitöskirjoja. Opetellessani hallitsemaan lääkelaskentaa havaitsin omaa oppimistani haittaavan mm. seuraavat piirteet: (1) Miksei keskeisiä käsitteitä havainnollisteta kuvioiden avulla? (2) Miksi samaa laskua varten esitetään jopa kolme eri laskutapaa? (3) Miksi näytetään opetettavan mekaanisia toimintamalleja ja ulkoaopeteltavia kaavoja käsitteiden syvällisen ymmärtämisen kustannuksella? Hankkeeni aiheeksi tarkentui tutkia pelkästään lääkelaskennan opettamisen perinnettä – voisiko joitakin sen piirteitä muuttamalla helpottaa aiheen oppimista? Tutustuin lääkelaskennan nykykäytänteisiin TAMK:n Terveyspalveluiden yksikössä havainnoimalla puolen vuoden ajan useiden eri luokkien toimintaa kahden eri opettajan ohjaamana. Osallistuin jopa itsekin opettamiseen kokeillen uusia havainnollistamis- ja opetusmenetelmiäni. Sain runsaasti hyvää havaintoaineistoa reflektoinnissa opettajien ja oppilaiden kanssa, ja tämä aineisto toimii taustavaikuttajana työni kaikkien kommenttien ja uusien ideoiden pohjalla. Työni päähuomio on se, että lääkelaskennassa joidenkin käsitteiden kohdalla ei hyödynnetä tarpeeksi niiden matemaattista luonnetta. Mielestäni käsitteiden syvälliseen ymmärtämiseen ei anneta riittävästi huomiota ja keinoja, jolloin heikommat oppilaat joutuvat turvautumaan mekaanisiin toimintatapoihin kuten kaavojen ulkoaopetteluun. Tunnetusti tällainen ei ole hedelmällistä matematiikan opiskelussa. Esitän työssäni joitakin parannusehdotuksia nykyisiin käytänteisiin. Esitän myös kokonaan uuden, ns. visuaalis-matemaattisen lähestymistavan, joka jää tämän työn myötä odottamaan lääkelaskennan yhteisön reaktioita ja hyväksyntää.A great amount of students break off their studies in the second level vocational technical education in Finland and one reason for that is students’ degenerated mathematical skills. Weakness in basic calculation skills produce also problems in soft human sciences, e.g., the course of medication calculations in the health care education degree may appear to be too difficult – in some cases this has already caused delayed graduations. This is the subject of this research. It is well known that the problems mentioned above are based on various learning problems in mathematics, which may even result in fear for mathematics. In the literature there are plenty of pedagogical research concerning the subject, even doctoral thesis can be found concerning medication calculation skills. In order to be convincing enough one had to learn to master the art of medication calculations. During the process of learning the following criticism was focused on the used learning material: (1) Why the essential concepts are not illustrated with figures? (2) Why one calculation task is teached to carry out in three different ways? (3) Why instead of deep understanding of concepts only mechanical standards of activity and formulae for memorization are teached? The subject of the research was sharpened to the tradition of medication calculation – is it possible to help to learn the subject by modifying some features of the tradition? A good orientation of the present state of medication calculation was given in the School of Health Care in Tampere University of Applied Sciences. During six months a couple of school classes and two teachers were observed and one even participated the teaching by testing different kind of demonstrations and teaching methods. Plenty of good observation material was got by reflecting with teachers and students, and this material forms a basis of the comments and ideas that were stated in the work. The main observation of the research is that the art of medication calculation introduces and deals with some concepts in the way that their mathematical nature is not utilized enough. Since there are not served enough room or resources for deep understanding of concepts, incompetent students are forced to resort to mechanical standards of activity, e.g., to study formulae for memorization. It is well known that this procedure is not fruitful in studying mathematics. In this research some useful comments about present conventions for medical calculations are given. Further, a new visual-mathematical point of view is given and reactions of the medical calculation society are expected

Notes on the divisibility of GCD and LCM Matrices

Let S={x1,x2,…,xn} be a set of positive integers, and let f be an arithmetical function. The matrices (S)f=[f(gcd(xi,xj))] and [S]f=[f(lcm [xi,xj])] are referred to as the greatest common divisor (GCD) and the least common multiple (LCM) matrices on S with respect to f, respectively. In this paper, we assume that the elements of the matrices (S)f and [S]f are integers and study the divisibility of GCD and LCM matrices and their unitary analogues in the ring Mn(ℤ) of the n×n matrices over the integers