Soft interactions in jet quenching

We study the collisional aspects of jet quenching in a high energy nuclear collision, especially in the final state pion gas. The jet has a large energy, and acquires momentum transverse to its axis more effectively by multiple soft collisions than by few hard scatterings (as known from analogous systems such as J/\psi production at Hera). Such regime of large E and small momentum transfer corresponds to Regge kinematics and is characteristically dominated by the pomeron. From this insight we estimate the jet quenching parameter in the hadron medium (largely a pion gas) at the end of the collision, which is naturally small and increases with temperature in line with the gas density. The physics in the quark-gluon plasma/liquid phase is less obvious, and here we revisit a couple of simple estimates that suggest indeed that the pomeron-mediated interactions are very relevant and should be included in analysis of the jet quenching parameter. Finally, the ocasional hard collisions produce features characteristic of a L\`evy flight in the q_perp^2 plane perpendicular to the jet axis. We suggest one- and two-particle q_perp correlations as interesting experimental probes.Comment: 14 pages, 16 figure

An upper bound on the k-modem illumination problem

A variation on the classical polygon illumination problem was introduced in [Aichholzer et. al. EuroCG'09]. In this variant light sources are replaced by wireless devices called k-modems, which can penetrate a fixed number k, of "walls". A point in the interior of a polygon is "illuminated" by a k-modem if the line segment joining them intersects at most k edges of the polygon. It is easy to construct polygons of n vertices where the number of k-modems required to illuminate all interior points is Omega(n/k). However, no non-trivial upper bound is known. In this paper we prove that the number of k-modems required to illuminate any polygon of n vertices is at most O(n/k). For the cases of illuminating an orthogonal polygon or a set of disjoint orthogonal segments, we give a tighter bound of 6n/k + 1. Moreover, we present an O(n log n) time algorithm to achieve this bound.Comment: 9 pages, 4 figure

Zc(3900)Z_c(3900): what has been really seen?

The $Z^\pm_c(3900)/Z^\pm_c(3885)$ resonant structure has been experimentally observed in the $Y(4260) \to J/\psi \pi\pi$ and $Y(4260) \to \bar{D}^\ast D \pi$ decays. This structure is intriguing since it is a prominent candidate of an exotic hadron. Yet, its nature is unclear so far. In this work, we simultaneously describe the $\bar{D}^\ast D$ and $J/\psi \pi$ invariant mass distributions in which the $Z_c$ peak is seen using amplitudes with exact unitarity. Two different scenarios are statistically acceptable, where the origin of the $Z_c$ state is different. They correspond to using energy dependent or independent $\bar D^* D$ $S$-wave interaction. In the first one, the $Z_c$ peak is due to a resonance with a mass around the $D\bar D^*$ threshold. In the second one, the $Z_c$ peak is produced by a virtual state which must have a hadronic molecular nature. In both cases the two observations, $Z^\pm_c(3900)$ and $Z^\pm_c(3885)$, are shown to have the same common origin, and a $\bar D^* D$ bound state solution is not allowed. Precise measurements of the line shapes around the $D\bar D^*$ threshold are called for in order to understand the nature of this state.Comment: 6 pages, 6 figure

Drawing the Horton Set in an Integer Grid of Minimum Size

In 1978 Erd\H os asked if every sufficiently large set of points in general position in the plane contains the vertices of a convex $k$-gon, with the additional property that no other point of the set lies in its interior. Shortly after, Horton provided a construction---which is now called the Horton set---with no such $7$-gon. In this paper we show that the Horton set of $n$ points can be realized with integer coordinates of absolute value at most $\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} \log (n/2)}$. We also show that any set of points with integer coordinates combinatorially equivalent (with the same order type) to the Horton set, contains a point with a coordinate of absolute value at least $c \cdot n^{\frac{1}{24}\log (n/2)}$, where $c$ is a positive constant

An Effective Field Theory study of heavy meson-heavy antimeson molecules based on Heavy Quark Symmetries

El estudio de las interacciones hadrónicas en el régimen de energías bajas e intermedias ha experimentado grandes avances en los últimos años. La descripción de la dinámica de QCD a bajas energías por medio de teorías efectivas, en las que los grados de libertad son mesones y bariones, ha sido ampliamente explotada para explicar el complejo espectro experimental observado. En particular, la teoría quiral de perturbaciones y sus extensiones unitarias han permitido entender y clasificar multitud de estados excitados, tanto mesónicos como bariónicos, de baja energía. En esta tesis, hemos extendido estas ideas al sector del quark charm y bottom, donde el aluvión de nuevos mesones y bariones con charm o charm oculto encontrados por las colaboraciones BABAR, CLEO, BELLE, BES o LHCb, ha estimulado mucho trabajo teórico. Recientemente, varias de estas colaboraciones han descubierto nuevos estados con masas alrededor de 4000 MeV, que no parecen tener una estructura quark-antiquark c-cbar. Se les ha denominado partículas X, Y, Z. Algunos de estos estados son las resonancias isoescalares X(3872), X(3940), X(4160), Y(4260) y las isovectoriales Z(3900), Z(4020). Además, otros estados observados con charm explícito tampoco tienen una interpretación simple dentro de los modelos quark convencionales, como por ejemplo los mesones Ds(2317), Ds(2460)... o los bariones Lambda_c(2595) y Lambda_c(2625). En el sector del quark bottom también se han encontrado resonancias similares, como los estados mesónicos Zb(10610) y Z'b(10650), o las resonancias bariónicas Lambda_b(5912) y Lambda_b(5920). Entre estos nuevos estados descubiertos, las resonancias X(3872), Zb(10610) y Z'b(10650) han sido de especial relevancia en esta tesis. La resonancia X(3872) se observó por primera vez por la Colaboración Belle en 2003 con números cuánticos J^{PC} = 1^{++}. Los estados isovectoriales Zb(10610) y Zb(10650), con números cuánticos J^{PC} = 1^{+-}, han sido descubiertos más recientemente, también por la Colaboración Belle. Estas resonancias se pueden describir de forma natural como estados moleculares débilmente ligados, formados por la interacción de un par mesón-antimesón pesado. Para justificar esta descripción, hemos estudiado la interacción entre los mesones D^{(*)}-Dbar^{(*)} (y sus equivalentes en el sector del quark bottom) incorporando restricciones derivadas de la simetría de quarks pesados (HQS). HQS es una simetría interna de spin-sabor que aparece en QCD cuando las masas de los quark es mucho mayor que la escala de confinamiento Lambda_{QCD}. HQS predice que todas las interacciones de spin son despreciables para quarks infinitamente masivos. Para masas finitas (como la del quark charm), hay correcciones del orden (Lambda_{QCD}/m_Q), pero la simetría es todavía bastante precisa. Por ejemplo, aunque los mesones D y D* no están degenerados, su diferencia de masas es sólo del orden de la masa del pión. Esta simetría es especialmente útil para simplificar el estudio de sistemas complejos que incluyen quarks pesados y ligeros. Por medio de HQS, pueden establecerse relaciones entre las propiedades de diversos estados (como sus masas o sus constantes de desintegración). HQS también engloba una simetría de sabor que relaciona la dinámica de los sectores charm y bottom. Usando simetría de sabor SU(3) en el sector ligero, además de HQS, hemos deducido la interacción de contacto (en onda s) entre mesones D^{(*)} Dbar^{(*)} más general compatible con la simetría de spin de quarks pesados (HQSS). Hemos estudiado también los efectos del potencial debido al intercambio de un pión, y comprobado numéricamente que son de orden superior. Asimismo, se han discutido efectos de canales acoplados, que resultan estar aún más suprimidos. Los estados ligados se generan dinámicamente resolviendo la ecuación de Lippmann - Schwinger (LSE), utilizando las interacciones anteriores como kernel de la misma. Dado que nuestra interacción a primer orden es de contacto aparecen divergencias ultravioletas, cuya renormalización es abordada en detalle. De este modo, los estados ligados moleculares del sistema mesón-antimesón dentro de nuestro modelo aparecen como polos de la matriz T. A primer orden, el modelo efectivo que proponemos depende de cuatro contratérminos indeterminados a priori. Los valores de estos contratérminos no están restringidos por las simetrías y, por tanto, deben ajustarse a datos experimentales (lo mismo que sucede, por ejemplo, en la teoría de perturbaciones quiral). Para ello, hemos identificado algunos estados moleculares generados dinámicamente dentro del modelo con algunas resonancias exóticas. Una vez fijados los contratérminos, predecimos una familia de estados moleculares, cuyos miembros están relacionados con las resonancias usadas como input por medio de HQS. Así, en el Capítulo 3, se describe un lagrangiano efectivo, que incorpora la simetría de sabor SU(3) en el sector ligero y la simetría de spin de quarks pesados, y se utiliza para describir los estados ligados mesón-antimesón en el sector charm. Como se ha mencionado, a primer orden estas simetrías inducen una gran simplificación y la teoría sólo involucra interacciones de contacto entre los campos del mesón y antimesón pesados. En este contexto, discutimos como las desintegraciones de la resonancia X(3872), que violan la simetría de isospin, pueden usarse para fijar la interacción entre los mesones D y Dbar* en el canal isovectorial. Como consecuencia, podemos descartar la existencia de un compañero isovectorial de la resonancia X(3872). A continuación, asumiendo que las resonancias X(3915) e Y(4140) son estados moleculares D*Dbar* y Ds* Dbar_s* respectivamente, se determina el espectro completo de estados moleculares con isospin I=0,1/2 e 1, incluyendo sectores con extrañeza explícita y también no explícita (s-sbar). Una de las predicciones más importantes de este capítulo es la resonancia compañera de la X(3872), con números cuánticos J^{PC}=2^{++}, que llamamos X_2. Esta resonancia, compuesta por un par D* Dbar* débilmente ligado, presenta la misma dinámica que la resonancia X(3872). Mencionar también que se ha realizado un estudio exhaustivo de las incertidumbres teóricas, debidas a violaciones de simetría SU(3) de sabor y de simetría de spin de quarks pesados, que afectan a nuestras predicciones. Posteriormente, en el Capítulo 4, hemos estudiado la teoría efectiva presentada en el Capítulo 3 en una caja finita. Este análisis es interesante porque el estudio de teorías efectivas en retículos espacio-temporales está aumentando y, por tanto, es necesario un mejor conocimiento de los efectos de volumen finito. Como volumen finito se ha utilizado el más sencillo posible: una caja de lados iguales, pero el formalismo desarrollado se puede emplear para geometrías más complejas (cajas rectangulares, e.g.). Al trabajar en un volumen finito, las integrales sobre el espacio de momentos deben sustituirse por sumas sobre un conjunto discreto de momentos (similar al fenómeno bien conocido que surge al estudiar el potencial pozo cuadrado infinito en mecánica cuántica). Realizando estos cambios, hemos encontrado los resultados correspondientes al Capítulo 3 para el caso de un volumen finito. Hemos estudiado la dependencia en L (longitud de la caja) de los niveles de energías en los distintos sectores de spin, isospin, extrañeza y conjugación de carga, y estimado el tamaño de las correcciones debidas al tamaño finito. Después, se ha realizado un análisis del problema inverso, con objeto de estudiar la propagación de los errores de los niveles medidos en la caja en la predicción final de la energía de los estados físicos. Con este fin, se generan, con nuestro modelo, unos estados sintéticos (ficticios, simulando el resultado de una medida real) dotándolos de una cierta incertidumbre, alrededor de 10 MeV, respecto al valor central obtenido (el valor especificado tiene su justificación ya que se trata del nivel de precisión que esperamos que las simulaciones de QCD puedan conseguir en unos años). Hemos probado distintos tipos de algoritmos para determinar las propiedades de los estados generados. Los resultados obtenidos sugieren que el mejor algoritmo involucra la introducción de un potencial auxiliar y el uso de los niveles de energías medidos por encima y debajo del umbral, a diferencia de los que usan sólo un conjunto de datos, generalmente los desfasajes medidos en la caja finita. Asimismo hemos observado que el correcto análisis de estados muy cercanos al umbral no es sencillo y requiere técnicas específicas. Este resultado deber\'ia tenerse especialmente en cuenta para el estudio de estados débilmente ligados, como las resonancias X(3872) o X_2, en volúmenes finitos. En el Capítulo 5 hemos extendido nuestra teoría efectiva al sector bottom aprovechando la simetría de sabor implícita en HQS. Esta simetría establece que la dinámica de quarks suficientemente pesados no depende de sabor. Las correcciones esperadas son del orden O(Lambda_{QCD}/m_Q). Gracias a esta simetría también podemos utilizar resonancias exóticas del sector bottom para determinar los contratérminos. En este capítulo, tomamos como input las resonancias X(3872) y uno de los estados Zb(10610)/Z'b(10650), lo cual nos ha permitido determinar tres de los cuatro contratérminos de una forma más robusta que en el Capítulo 4. Así se predicen una serie de estados cuya observación experimental, nuevamente, indicaría la bondad de nuestras hipótesis acerca de la naturaleza molecular de las resonancias utilizadas. A partir de la resonancia X(3872) reobtenemos el estado X_2, pero, al extender el análisis al sector bottom obtenemos sus equivalentes en dicho sector, los estados Xb y X_{b2}. Por otro lado, hemos encontrado los estados compañeros de las resonancias Zb(10610) y Z'b(10650) en el sector charm, que en el modelo, aparecen como estados virtuales. En cualquier caso, resulta tentador y además plausible, identificar estos estados con las resonancias isovectoriales Zc(3900) y Zc(4020) recientemente descubiertas por la colaboración BESIII. Los efectos debidos al potencial inducido por el intercambio de un pión en el sector bottom han sido evaluados también. En concreto, se ha analizado con detalle el sector isoescalar (ya que, en este sector, el efecto del intercambio del pión es tres veces mayor que en el sector isovectorial), y hemos obtenido diferencias numéricas muy pequeñas entre estas nuevas predicciones y las anteriores, donde los efectos del intercambio de un pión se habían ignorado. Este resultado nos ha permitido seguir despreciando el potencial de intercambio de un pión en los análisis posteriores. En el Capítulo 6, hemos estudiado la interacción entre bariones doblemente pesados y mesones pesados (D, D*, Bbar, Bbar*). En este sector, hemos apuntado, gracias a la simetría antiquark-diquark para quarks pesados, la posible existencia de bariones exóticos (pentaquarks). La simetría relaciona la dinámica de un diquark pesado con la dinámica de un antiquark pesado basándose en que dan lugar a la misma carga de color, y a que la configuración de los grados de libertad ligeros apenas depende del subsector pesado. Además, demostramos que en el límite mQ tendiendo a infinito, Q = b,c, estas interacciones mesón-barión quedan determinadas por los mismos contratérminos que aparecen al estudiar las interacciones P^{(*)} Pbar^{(*)}, con P^{(*)} = D^{(*)},B^{(*)}. Aunque el estudio es cualitativo, con numerosas incertidumbres teóricas que se intentan estimar de forma razonable, se predicen estados ligados mesón-barión con tres quarks pesados (b y/o c) y J^P = 5/2^- y 3/2^{-} en el sector isoescalar, cuya dinámica estaría controlada por los contratérminos que aparecen en el canal de la X(3872). Con números cuánticos I(J^P) = 1(1/2^{-}) y 1(3/2^{-}) encontramos moléculas hadrónicas Xi_{bb}^{*} Bbar^* que estarían íntimamente relacionadas con los estados exóticos Zb(10610) y Zb(10650) (moléculas B^{(*)}Bbar^*). En el Capítulo 7 se realiza un análisis paralelo de los estados moleculares mesón-antimesón, en el límite estricto mQ tendiendo a infinito, utilizando funciones de Green de dos puntos, que se podrían emplear en cálculos de reglas de suma o simulaciones de LQCD. Para tal fin, se construyen las corrientes interpoladoras adecuadas para estudiar estos estados mesón-antimesón en los distintos sectores de spin y conjugación de carga. En este contexto, se ha discutido de nuevo la mezcla de isospin de la resonancia X(3872). En los Capítulos 8 y 9 hemos analizado ciertas desintegraciones de algunos de los estados moleculares estudiados en los capítulos anteriores. El Capítulo 8 se ha dedicado a estudiar la desintegración hadrónica X(3872) a D^{0} Dbar^{0} pi^{0}. Este proceso es especialmente interesante porque es sensible a los detalles de la interacción D-Dbar a largas distancias. Hemos demostrado como una medida experimental precisa de la anchura diferencial de esta desintegración hadrónica podría ser utilizada para determinar la función de ondas del par D-Dbar* en el interior de la resonancia. Como la desintegración puede depender de las interacciones de estados finales (FSI) entre los mesones D-Dbar, esta desintegración también se puede utilizar para fijar las constantes de baja energía (contratérminos) que controlan la dinámica P^{(*)}-Pbar^{(*)}. Finalmente, en el Capítulo 9, hemos analizado las desintegraciones del estado compañero de la X(3872) con números cuánticos J^{PC} = 2^{++}, la resonancia X_2, en los sectores charm y bottom. Se analizan primero las desintegraciones hadrónicas de dicho estado X_2 a P-Pbar y X_2\ a P-Pbar*. Estas desintegraciones representan la mayor contribución a la anchura de la resonancia, y por tanto, el mejor canal para detectar experimentalmente el estado. La anchura de este proceso resulta ser del orden de varios MeVs. Además, se realiza, utilizando una simulación Montecarlo, un estudio exhaustivo de las incertidumbres teóricas de nuestras predicciones. En este capítulo hemos estudiado también las desintegraciones radiativas X_2 a P Pbar* gamma, cuya anchura es del orden de decenas de keV. Este proceso, al igual que la desintegración hadrónica X(3872) a D^0 Dbar^0 pi^0 estudiada en el Capítulo 8, es sensible a los detalles de la función de onda del par de mesones (P*-Pbar*) que forman la molécula, en la región de largas distancias, y por tanto, es relevante para determinar la naturaleza del estado molecular X_2. La desintegración radiativa también se ve afectada por las FSI de los mesones P-Pbar* salientes, lo que utilizamos, como en el capítulo anterior, para obtener nuevas restricciones en el valor de los contratérminos que aparecen en la teoría efectiva a orden dominante.The study of the low and intermediate energy hadronic interactions has experienced great advances in the last few years. The fact that low energy QCD dynamics can be described by means of effective theories, in which the degrees of freedom are mesons and baryons, has been widely exploited to explain the complex experimental observed spectrum. In this thesis, we have extended these ideas to the quark charm and bottom sectors. The whole new set of meson and baryon states with open charm and hidden charm found by the BABAR, CLEO, BELLE, BES or LHCb collaborations has stimulated a lot of theoretical work. Recently, several of these collaborations have discovered new exotic states with masses around 4000 MeV, which do not seem to have a simple quark-antiquark c-cbar structure. They have been called XYZ particles. Some of these states are the isoscalar resonances X(3872), X(3940), X(4160), Y(4260) and the isovector Z_c(3900), Z_c(4020). In addition, other observed states with explicit charm do not have either a simple interpretation within conventional quark models, such as the Ds(2317), Ds(2460) mesons or the Lambda_c(2595), Lambda_c(2625) baryons. In the bottom sector, exotic resonances have also been found, such as the mesonic states Z_b(10610) y Z'b(10650) and the baryon resonances Lambda_b(5912) and Lambda_b(5920). Among these discovered states, the X(3872), Zb(10610) and Z'b(10650) are of paramount relevance in this thesis. The X(3872) resonance was observed for the first time by the Belle Collaboration in 2003 with quantum numbers J^{PC} = 1^{++}. The isovector states Zb(10610) and Zb(10650), J^{PC} = 1^{+-}, were discovered more recently, also by the Belle Collaboration. These resonances can naturally be described as molecular states, composed by a loosely bound heavy meson-antimeson pair. To justify this description, we have studied the interaction between D^{(*)} Dbar^{(*)}$ mesons (and similarly in the quark bottom sector), incorporating the restrictions derived from the Heavy Quark Symmetry (HQS). HQS is a spin-flavour underlying symmetry of QCD that appears when the quark masses are much larger than the confinement scale Lambda_{QCD}. HQS predicts that spin interactions are negligible in the limit of infinite quark masses. For finite masses, such as that of the charm quark, there are some corrections of the order (Lambda_{QCD}/m_Q) but the symmetry is still quite precise. For instance, despite the D and D* mesons are not degenerate, the mass difference between the two mesons is less than a pion mass. This symmetry is specially useful to simplify the study of composite systems involving both light and heavy quarks. Owing to HQS, simple relationships among properties (such as masses or decay constants) of different spin states can be formulated. HQS also embodies a flavour symmetry that relates the charm and bottom sectors. Assuming an additional SU(3) flavour-symmetry in the light sector, we have deduced the most general contact (s-wave) interaction between P^{(*)} Pbar^{(*)} (P^{(*)} = D^{(*)}, B^{(*)}) mesons compatible with Heavy Quark Spin Symmetry (HQSS). We have also studied One Pion Exchange (OPE) and coupled channel effects on the potential, which turned out to be numerically small and suppressed in the counting. Bound states are dynamically generated by solving the Lippmann-Schwinger Equation (LSE), using the previous interactions as its kernel. Since the potential at leading order (LO) is a contact interaction, there are ultraviolet divergences in the theory, whose renormalization has also been discussed in detail. In this manner, meson-antimeson molecules predicted by our model appear as poles in the T-matrix. At LO, the effective theory depends on four undetermined Low Energy Constants (LECs). The values of these LECs are not restricted by any elementary model or further underlying symmetry and must be fitted to reproduce experimental observations. Hence, we identify some exotic resonances as molecular states to fix the LECs (as occurs in Chiral Perturbation Theory). Once these counter-terms are determined, we have predicted a whole family of molecular HQS partners of the resonances used as inputs. Thus, in Chapter 3, we describe an effective Lagrangian incorporating light SU(3)-flavour and heavy quark spin symmetries and it is used to describe hidden-charm meson-antimeson bound states. As mentioned above, at LO, the effective field theory entails a remarkable simplification and it only involves contact range interactions among the heavy meson and antimeson fields. In this context, we show that the isospin violating decays of the X(3872) can be used to constrain the interaction between the D and the Dbar^* mesons in the isovector channel. As a consequence, we can rule out the existence of an isovector partner of the X(3872). Next, and assuming that the X(3915) and Y(4140) are D*Dbar* and Ds*Dbar_s* molecular states, we determine the full spectrum of molecular states with isospin I=0, 1/2 and 1. The predicted spectrum includes open and hidden-strangeness sectors as well. One of the most relevant predictions in this chapter is the partner of the X(3872), called X_2. This resonance, a loosely bound D* Dbar* state with quantum numbers J^{PC} = 2^{++}, has the same dynamics as the X(3872). Next, in Chapter 4, we have studied the HQS EFT in a finite box. This analysis is interesting since the study of EFTs in lattice is increasing and further understanding of finite volume effects is mandatory. The procedure followed is the substitution of an infinite volume by a finite volume in the formalism. As the basic volume unit we have used a cube; but other more complex geometries could be used (e.g., rectangular boxes). This replacement imposes that the momentum-space integrals have to be substituted by a sum over a discrete set of three-momenta (as can be seen in the infinite square potential in quantum mechanics). Within this formalism, first the energy levels in the box are evaluated, and from them some synthetic data are generated. These data are then employed to study the inverse problem of getting the energies of the bound states and phase shifts for D Dbar or D*Dbar*. Different strategies are investigated and we conclude that a method based on the fit to the data by means of a potential and a conveniently regularized loop function, is the most efficient and allows us to produce accurate results in the infinite volume starting from levels of the box with errors far larger than the uncertainties obtained in the final results. Finally, in this chapter, the regularization method based on Gaussian wave functions is discussed and shown to be rather efficient in the finite box analysis and, as a byproduct, a practical and fast method to calculate the L\"uscher function with high precision is presented. In Chapter 5, we extend the EFT formalism outlined in Chapter 3 to the bottom sector taking advantage of Heavy Flavour Symmetry (HFS). This symmetry basically states that for quarks he

Light flavor and heavy quark spin symmetry in heavy meson molecules

We propose an effective field theory incorporating light SU(3)-flavor and heavy quark spin symmetry to describe charmed meson-antimeson bound states. At lowest order the effective field theory entails a remarkable simplification: it only involves contact range interactions among the heavy meson and antimeson fields. We show that the isospin violating decays of the X(3872) can be used to constrain the interaction between the D and a (D) over bar* mesons in the isovector channel. As a consequence, we can rule out the existence of an isovector partner of the X(3872). If we additionally assume that the X(3915) and Y(4140) are D*(D) over bar* and D*(s)(D) over bar*(s) molecular states, we can determine the full spectrum of molecular states with isospin I = 0, 1/2 and 1