Emaranhadores, estados quânticos e uma contribuição à conjectura de Lehmer

Este trabalho apresenta alguns problemas matemáticos ligados à Mecânica Quântica e à Teoria de Números; mais precisamente, este trabalho apresenta três problemas: dois deles no contexto da Mecânica Quântica e o terceiro no âmbito da Teoria de Números. O primeiro problema, dentro do contexto da Mecânica Quântica, trata de determinar a geometria dos estados da esfera de Bloch que representem estados fisicamente realizáveis. Tal geometria herda uma simetria que é preservada por transformacões isoespectrais que compõem um grupo abeliano; nesse sentido, obtivemos os mesmos resultados de Mendas, em [14], e Kimura, em [10] e [11], mas por um método diferente. Em [10] e [11] o problema é abordado inteiramente em coordenadas esféricas, o que conduz a uma formulação ligeiramente diferente na obtenção dos autolavores do operador densidade. Em [14], a mesma ideia de [10] e [11] é abordada mas em dimensão d = 4. Em ambas as referências o ponto principal foi tomar interseção da esfera de Bloch com hiperplanos especiais do espaço, isso permitiu aos autores utilizar métodos computacionais e ilustrar regiões de interesse na tentativa de compreender melhor a geometria do problema. Já o segundo problema trata de descobrir propriedades de sistemas dinâmicos quânticos, como convergência e velocidade de convergência de produto de matrizes unitárias sorteadas aleatoriamente para emaranhadores universais. Conseguimos um resultado interessante que garante a convergência com velocidade exponencial, mesmo sob condições relativamente gerais. Tal resultado é importante devido ao interesse da comunidade acadêmica em entender melhor emaranhadores universais e usá-los em aplicações da computação quântica. Mais especificamente, nosso resultado garante que dado um número finito de elementos u1, ... un ∈... U (n) escolhidos ao acaso, então o produto de elementos aleatoriamente sorteados na vizinhança dos elementos u1, ..., un converge fraco-estrela para um emaranhador universal na medida de Haar em U(n). Tal resultado pode auxiliar no entendimento de propriedades de emaranhadores universais e em aplicações da computação quântica, tópicos que vêm sendo bastante estudados pela comunidade acadêmica. Finalmente, o terceiro problema, pertencente à área de Teoria de Números. É uma conjectura que encontra-se sem solução desde 1932, quando foi formulada por Derrick Henry Lehmer. Uma nova abordagem na tentativa de resolver este problema é apresentada.This thesis presents some mathematical problems related to Quantum Mechanics and Number Theory; more precisely, this thesis presents three problems not correlated to each other, two of them on the field of Quantum Mechanics, and one on the field of Number Theory. The first problem deals with geometric aspects of the Bloch Sphere that represent physically achievable states. Such geometry inherits a symmetry that is preserved by isospectral transformations that compose an abelian group. The second deals with aspects of quantum dynamical systems, such as convergence and speed of convergence, which try to approximate universal entanglers through successive applications of unitary operators, randomly chosen. We have achieved an interesting result that guarantees convergence with exponential speed even under relatively general conditions, which is important because of the interest of the academic community to better understand universal entanglers and use them in applications of quantum computation. The third problem belongs to the field of Number Theory and deals with a conjecture that has been unsolved since 1932, when it was formulated by Derrick Henry Lehmer. A new approach in trying to solve this problem is presented

Emaranhadores, estados quânticos e uma contribuição à conjectura de Lehmer

Este trabalho apresenta alguns problemas matemáticos ligados à Mecânica Quântica e à Teoria de Números; mais precisamente, este trabalho apresenta três problemas: dois deles no contexto da Mecânica Quântica e o terceiro no âmbito da Teoria de Números. O primeiro problema, dentro do contexto da Mecânica Quântica, trata de determinar a geometria dos estados da esfera de Bloch que representem estados fisicamente realizáveis. Tal geometria herda uma simetria que é preservada por transformacões isoespectrais que compõem um grupo abeliano; nesse sentido, obtivemos os mesmos resultados de Mendas, em [14], e Kimura, em [10] e [11], mas por um método diferente. Em [10] e [11] o problema é abordado inteiramente em coordenadas esféricas, o que conduz a uma formulação ligeiramente diferente na obtenção dos autolavores do operador densidade. Em [14], a mesma ideia de [10] e [11] é abordada mas em dimensão d = 4. Em ambas as referências o ponto principal foi tomar interseção da esfera de Bloch com hiperplanos especiais do espaço, isso permitiu aos autores utilizar métodos computacionais e ilustrar regiões de interesse na tentativa de compreender melhor a geometria do problema. Já o segundo problema trata de descobrir propriedades de sistemas dinâmicos quânticos, como convergência e velocidade de convergência de produto de matrizes unitárias sorteadas aleatoriamente para emaranhadores universais. Conseguimos um resultado interessante que garante a convergência com velocidade exponencial, mesmo sob condições relativamente gerais. Tal resultado é importante devido ao interesse da comunidade acadêmica em entender melhor emaranhadores universais e usá-los em aplicações da computação quântica. Mais especificamente, nosso resultado garante que dado um número finito de elementos u1, ... un ∈... U (n) escolhidos ao acaso, então o produto de elementos aleatoriamente sorteados na vizinhança dos elementos u1, ..., un converge fraco-estrela para um emaranhador universal na medida de Haar em U(n). Tal resultado pode auxiliar no entendimento de propriedades de emaranhadores universais e em aplicações da computação quântica, tópicos que vêm sendo bastante estudados pela comunidade acadêmica. Finalmente, o terceiro problema, pertencente à área de Teoria de Números. É uma conjectura que encontra-se sem solução desde 1932, quando foi formulada por Derrick Henry Lehmer. Uma nova abordagem na tentativa de resolver este problema é apresentada.This thesis presents some mathematical problems related to Quantum Mechanics and Number Theory; more precisely, this thesis presents three problems not correlated to each other, two of them on the field of Quantum Mechanics, and one on the field of Number Theory. The first problem deals with geometric aspects of the Bloch Sphere that represent physically achievable states. Such geometry inherits a symmetry that is preserved by isospectral transformations that compose an abelian group. The second deals with aspects of quantum dynamical systems, such as convergence and speed of convergence, which try to approximate universal entanglers through successive applications of unitary operators, randomly chosen. We have achieved an interesting result that guarantees convergence with exponential speed even under relatively general conditions, which is important because of the interest of the academic community to better understand universal entanglers and use them in applications of quantum computation. The third problem belongs to the field of Number Theory and deals with a conjecture that has been unsolved since 1932, when it was formulated by Derrick Henry Lehmer. A new approach in trying to solve this problem is presented

Introdução à topologia cósmica

Neste trabalho estudamos alguns aspectos de geometria e topologia de variedades com o objetivo de aplicar tais resultados juntamente com dados observacionais para tentar determinar as variedades tridimensionais que possam servir de modelo para a parte espacial do universo.In this work we study some aspects of geometry and topology of manifolds with the goal of applying such results with observational data to try to determine the tridimensional manifold that can serve as a model for the spatial part of the universe

Color in optical coatings

Their physical origin distinguishes chemical colors and structural colors, the latter being subdivided into prismatic colors and interference colors. Colors of optical coatings are interference colors. A short history of interference colors is given starting from Isaac Newton, and then continuing with Thomas Young (interference in optics), Leopoldo Nobili (electrochemical 'metallocromia'), David Brewster, A. Michel-Lévy (interference color chart), J. F. Gabriel Lippmann (interference color photography) and Dobrowolski (anticounterfeiting coatings). A concise review of standard colorimetry (psychophysical and psychometric colorimetry) is given with the aim of introducing the colorimetry of the optical coatings. Gonio-apparent color measurement technique is presented with the updated multi-angle spectrophotometers. As an example, classical computations of colors of optical coatings are shown. © 2013 Woodhead Publishing Limited All rights reserved