Optimal rate of convergence for nonparametric change-point estimators for nonstationary sequences

Let $(X_i)_{i=1,...,n}$ be a possibly nonstationary sequence such that $\mathscr{L}(X_i)=P_n$ if $i\leq n\theta$ and $\mathscr{L}(X_i)=Q_n$ if $i>n\theta$, where $0<\theta <1$ is the location of the change-point to be estimated. We construct a class of estimators based on the empirical measures and a seminorm on the space of measures defined through a family of functions $\mathcal{F}$. We prove the consistency of the estimator and give rates of convergence under very general conditions. In particular, the $1/n$ rate is achieved for a wide class of processes including long-range dependent sequences and even nonstationary ones. The approach unifies, generalizes and improves on the existing results for both parametric and nonparametric change-point estimation, applied to independent, short-range dependent and as well long-range dependent sequences.Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.1214/009053606000001596 the Annals of Statistics (http://www.imstat.org/aos/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

Value at risk et expected shortfall pour des données faiblement dépendantes (estimations non-paramétriques et théorèmes de convergences)

Quantifier et mesurer le risque dans un environnement partiellement ou totalement incertain est probablement l'un des enjeux majeurs de la recherche appliquée en mathématiques financières. Cela concerne l'économie, la finance, mais d'autres domaines comme la santé via les assurances par exemple. L'une des difficultés fondamentales de ce processus de gestion des risques est de modéliser les actifs sous-jacents, puis d'approcher le risque à partir des observations ou des simulations. Comme dans ce domaine, l'aléa ou l'incertitude joue un rôle fondamental dans l'évolution des actifs, le recours aux processus stochastiques et aux méthodes statistiques devient crucial. Dans la pratique l'approche paramétrique est largement utilisée. Elle consiste à choisir le modèle dans une famille paramétrique, de quantifier le risque en fonction des paramètres, et d'estimer le risque en remplaçant les paramètres par leurs estimations. Cette approche présente un risque majeur, celui de mal spécifier le modèle, et donc de sous-estimer ou sur-estimer le risque. Partant de ce constat et dans une perspective de minimiser le risque de modèle, nous avons choisi d'aborder la question de la quantification du risque avec une approche non-paramétrique qui s'applique à des modèles aussi généraux que possible. Nous nous sommes concentrés sur deux mesures de risque largement utilisées dans la pratique et qui sont parfois imposées par les réglementations nationales ou internationales. Il s'agit de la Value at Risk (VaR) qui quantifie le niveau de perte maximum avec un niveau de confiance élevé (95% ou 99%). La seconde mesure est l'Expected Shortfall (ES) qui nous renseigne sur la perte moyenne au delà de la VaR.To quantify and measure the risk in an environment partially or completely uncertain is probably one of the major issues of the applied research in financial mathematics. That relates to the economy, finance, but many other fields like health via the insurances for example. One of the fundamental difficulties of this process of management of risks is to model the under lying credits, then approach the risk from observations or simulations. As in this field, the risk or uncertainty plays a fundamental role in the evolution of the credits; the recourse to the stochastic processes and with the statistical methods becomes crucial. In practice the parametric approach is largely used.It consists in choosing the model in a parametric family, to quantify the risk according to the parameters, and to estimate its risk by replacing the parameters by their estimates. This approach presents a main risk, that badly to specify the model, and thus to underestimate or over-estimate the risk. Based within and with a view to minimizing the risk model, we choose to tackle the question of the quantification of the risk with a nonparametric approach which applies to models as general as possible. We concentrate to two measures of risk largely used in practice and which are sometimes imposed by the national or international regulations. They are the Value at Risk (VaR) which quantifies the maximum level of loss with a high degree of confidence (95% or 99%). The second measure is the Expected Shortfall (ES) which informs about the average loss beyond the VaR.LE MANS-BU Sciences (721812109) / SudocSudocFranceF

Théorèmes limites pour des processus faiblement ou fortement dépendants. Applications statistiques.

This thesis is devoted to the study of short and long- range dependent processes in a unified approach. The main subjects of this work are non-linear functional of Gaussian processes. We are interested in functional limit theorems, called also invariance principles, for empirical processes indexed by classes of functions or classes of sets. We have considered the discret time case as well as the continuous time case. To carry out the proof of these theorems we established new moment inequalities which are of their own interest. Some other applications are given such as a rate of convergence in the strong law of large numbers and a high order asymptotic for the empirical distribution function. In the last part, we dealt with the density estimation problem under gaussian subordination. In particular, we established the rate of convergence in law of the kernel estimator and we identified the limit law depending on the order of magnitude of the bandwidth and the decay of the covariance function.Cette thèse est consacrée à l'étude des processus dépendants à court et à long terme dans une approche unifiée.Les sujets principaux de ce travail sont les fonctionnelles non linéaires des processus gaussiens. Nous nous intéressons aux théorèmes de limites fonctionnelles, appelés aussi principes d'invariance, pour des processus empiriques indexés par des classes de fonctions ou des classes d'ensembles. Nous avons considéré le cas du temps discret ainsi que le cas du temps continu.Pour réaliser la preuve de ces théorèmes, nous avons établi de nouvelles inégalités de moment qui ont leur propre intérêt. D'autres applications sont données, telles qu'un taux de convergence dans la loi forte des grands nombres et une asymptotique d'ordre élevé pour la fonction de distribution empirique.Dans la dernière partie, nous avons traité le problème de l'estimation de la densité sous subordination gaussienne. En particulier, nous avons établi le taux de convergence en loi de l'estimateur à noyau et nous avons identifié la loi limite dépendant de l'ordre de grandeur de la largeur de bande et de la décroissance de la fonction de covariance

Uniform CLT for empirical process

Empirical processes indexed by classes of functions based on dependent observations are considered. Sufficient conditions in order to satisfy stochastic equicontinuity are given. The derived conditions are in terms of bracketing numbers with respect to a norm arising from a Rosenthal type moment inequality satisfied by the process. The application involves mixing sequences and improves on the result of Andrews and Pollard (Int. Statist. Rev. 62 (1) (1994) 119) for strong mixing, Shao and Yu (Ann. Probab. 24 (4) (1996) 2098) for [rho]-mixing sequences, and Csörgo and Mielniczuk (Probab. Theory Relat. Fields 104 (1) (1996) 15) for functions of Gaussian sequences.Bracketing Chaining Empirical processes Functional central limit theorems Stochastic equicontinuity Weakly dependent processes

Rates of convergence for the change-point estimator for long-range dependent sequences

We consider a cumulative sum estimator for the change-point of a (possibly) long-range dependent sequence with a shift in the mean. We show that the 1/n convergence rate typical of the independent case is also achieved for short-memory and long-memory sequences.Long-range dependence Change point Rates of convergence