Théorèmes limites pour des processus faiblement ou fortement dépendants. Applications statistiques.

Abstract

This thesis is devoted to the study of short and long- range dependent processes in a unified approach. The main subjects of this work are non-linear functional of Gaussian processes. We are interested in functional limit theorems, called also invariance principles, for empirical processes indexed by classes of functions or classes of sets. We have considered the discret time case as well as the continuous time case. To carry out the proof of these theorems we established new moment inequalities which are of their own interest. Some other applications are given such as a rate of convergence in the strong law of large numbers and a high order asymptotic for the empirical distribution function. In the last part, we dealt with the density estimation problem under gaussian subordination. In particular, we established the rate of convergence in law of the kernel estimator and we identified the limit law depending on the order of magnitude of the bandwidth and the decay of the covariance function.Cette thèse est consacrée à l'étude des processus dépendants à court et à long terme dans une approche unifiée.Les sujets principaux de ce travail sont les fonctionnelles non linéaires des processus gaussiens. Nous nous intéressons aux théorèmes de limites fonctionnelles, appelés aussi principes d'invariance, pour des processus empiriques indexés par des classes de fonctions ou des classes d'ensembles. Nous avons considéré le cas du temps discret ainsi que le cas du temps continu.Pour réaliser la preuve de ces théorèmes, nous avons établi de nouvelles inégalités de moment qui ont leur propre intérêt. D'autres applications sont données, telles qu'un taux de convergence dans la loi forte des grands nombres et une asymptotique d'ordre élevé pour la fonction de distribution empirique.Dans la dernière partie, nous avons traité le problème de l'estimation de la densité sous subordination gaussienne. En particulier, nous avons établi le taux de convergence en loi de l'estimateur à noyau et nous avons identifié la loi limite dépendant de l'ordre de grandeur de la largeur de bande et de la décroissance de la fonction de covariance