Galoisove reprezentacije pridružene eliptičkim krivuljama

U prvom poglavlju definirali smo pojam endomorfizma na eliptičkoj krivulji $C$ i dokazali osnovna svojstva. Uveli smo pojam izogenije te pokazali kako se svojstva endomorfizama lako proširuju na izogenije. Spomenuli smo Frobeniusov endomorfizam i dali nekoliko primjera izogenija. U drugom poglavlju definirali smo pojam visine te iskazali neka njezina bitna svojstva. Iskazali smo teorem spusta te iskazali Mordellov teorem. U trećem poglavlju razvili smo osnove teorije djelidbenih polinoma te pokazali da je $C[n] \simeq \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. Četvrto poglavlje je glavni dio ovog rada. Definirali smo djelovanje elemenata Galoisove grupe $Gal(K/\mathbb{Q})$ na točke iz $C$ te pokazali osnovne rezultate koji slijede iz djelovanja. Pokazali smo da su koordinate točaka konačnog reda algebarske nad $\mathbb{Q}$ te da je proširenje od $\mathbb{Q}$ inducirano $x$ i $y$ koordinatama točaka nekog fiksnog reda $n$ Galoisovo. Definirali smo mod $n$ Galoisovu reprezentaciju pridruženu krivulji $C$ i pokazali da je to preslikavanje monomorfizam. Definirali smo Borelovu i Cartanovu podgrupu od $GL(\mathbb{F}_p)$ i pokazali osnovna svojstva. Odredili smo u kojim se maksimalnim podgrupama od $GL(\mathbb{F}_p)$ može nalaziti slika nesurjektivne mod $p$ Galoisove reprezentacije. Definirali smo Weilovo sparivanje i pokazali u teoremu 4.15. kakva svojstva mora imati slika mod $p$ Galoisove reprezentacije.In the first chapter we defined endomorphisms of the elliptic curve $C$ and proved their basic properties. We introduced isogenies and showed how properties of endomorphisms hold for isogenies. We mentioned the Frobenius endomorphism and give a few examples of isogenies. In the second chapter we defined the height function and showed some important properties. We also introduced the Descent theorem and stated Mordell's theorem. In the third chapter we developed basic division polynomials theory and we showed that $C[n] \simeq \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. The fourth chapter is the main part of this work. We defined the action of the Galois group $Gal(K/\mathbb{Q})$ on points on $C$ and showed basic properties. We showed that coordinates of points of finite order are algebraic over $\mathbb{Q}$ and that the field extension induced by the $x$ and $y$ coordinates of points that are of finite order $n$ is Galois. We defined the mod $n$ Galois representation attached to the curve $C$ and showed that it is a monomorphism. We defined the Borel and Cartan subgroup of $GL(\mathbb{F}_p)$ and showed some basic properties. We determined in which maximal subgroups of $GL(\mathbb{F}_p)$ can the image of non-surjective mod $p$ Galois representation be. We defined the Weil pairing and showed in theorem 4.15 some properties of mod $p$ Galois representation

Galoisove reprezentacije pridružene eliptičkim krivuljama

U prvom poglavlju definirali smo pojam endomorfizma na eliptičkoj krivulji $C$ i dokazali osnovna svojstva. Uveli smo pojam izogenije te pokazali kako se svojstva endomorfizama lako proširuju na izogenije. Spomenuli smo Frobeniusov endomorfizam i dali nekoliko primjera izogenija. U drugom poglavlju definirali smo pojam visine te iskazali neka njezina bitna svojstva. Iskazali smo teorem spusta te iskazali Mordellov teorem. U trećem poglavlju razvili smo osnove teorije djelidbenih polinoma te pokazali da je $C[n] \simeq \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. Četvrto poglavlje je glavni dio ovog rada. Definirali smo djelovanje elemenata Galoisove grupe $Gal(K/\mathbb{Q})$ na točke iz $C$ te pokazali osnovne rezultate koji slijede iz djelovanja. Pokazali smo da su koordinate točaka konačnog reda algebarske nad $\mathbb{Q}$ te da je proširenje od $\mathbb{Q}$ inducirano $x$ i $y$ koordinatama točaka nekog fiksnog reda $n$ Galoisovo. Definirali smo mod $n$ Galoisovu reprezentaciju pridruženu krivulji $C$ i pokazali da je to preslikavanje monomorfizam. Definirali smo Borelovu i Cartanovu podgrupu od $GL(\mathbb{F}_p)$ i pokazali osnovna svojstva. Odredili smo u kojim se maksimalnim podgrupama od $GL(\mathbb{F}_p)$ može nalaziti slika nesurjektivne mod $p$ Galoisove reprezentacije. Definirali smo Weilovo sparivanje i pokazali u teoremu 4.15. kakva svojstva mora imati slika mod $p$ Galoisove reprezentacije.In the first chapter we defined endomorphisms of the elliptic curve $C$ and proved their basic properties. We introduced isogenies and showed how properties of endomorphisms hold for isogenies. We mentioned the Frobenius endomorphism and give a few examples of isogenies. In the second chapter we defined the height function and showed some important properties. We also introduced the Descent theorem and stated Mordell's theorem. In the third chapter we developed basic division polynomials theory and we showed that $C[n] \simeq \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. The fourth chapter is the main part of this work. We defined the action of the Galois group $Gal(K/\mathbb{Q})$ on points on $C$ and showed basic properties. We showed that coordinates of points of finite order are algebraic over $\mathbb{Q}$ and that the field extension induced by the $x$ and $y$ coordinates of points that are of finite order $n$ is Galois. We defined the mod $n$ Galois representation attached to the curve $C$ and showed that it is a monomorphism. We defined the Borel and Cartan subgroup of $GL(\mathbb{F}_p)$ and showed some basic properties. We determined in which maximal subgroups of $GL(\mathbb{F}_p)$ can the image of non-surjective mod $p$ Galois representation be. We defined the Weil pairing and showed in theorem 4.15 some properties of mod $p$ Galois representation

Torzija eliptičkih krivulja s racionalnom j-invarijantom nad poljima algebarskih brojeva

In this thesis we will classify the possible torsion structures of elliptic curves with rational $j$-invariant defined over number fields. We start with elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$. Let $K$ be a sextic number field. We determine all the possibilities $G$ for $E(K)_{tors}$ and we prove that for each such possible group $G$, with the exception of the group $C_3 \bigoplus C_{18}$, that there exist an elliptic curve $E / \mathbb{Q}$ and a sextic number field $K$ such that $E(K)_{tors} \cong G$. Additionally, we provide a partial result regarding the group $C_3 \bigoplus C_{18}$. For a positive integer $d$, define $\Phi(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $K$. For a positive integer $d$, define $\Phi_{\mathbb{Q}}(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $\mathbb{Q}$. Define $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $K$ with $j(E) \in \mathbb{Q}$. With the help of the previously mentioned result, we are able to completely determine the sets $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)$, where $p$ is a prime number. More precisely, our result is the following. Let $K$ be a number field such that $[K : Q] = p$ and $E / K$ an elliptic curve with rational $j$-invariant. The following holds: 1. If $p \geq 7$, then $E(K)_{tors} \in \Phi(1)$. 2. If $p = 3$ or $p = 5$, then $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)$. 3. If $p = 2$, then $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)$ or $E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$. In the sixth chapter, we are able to determine all the sets $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$, where $p$ and $q$ are prime numbers. Most of these cases follow easily from previously known results and the results in the first two chapters of this thesis. In most cases we have $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)$. A detailed description of the sets $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$ can be found in the fifth chapter of this thesis. Some of the proofs in the thesis rely on extensive computations in Magma [3]. All of the programs and calculations used for the proofs can be found in the last chapter.U ovoj disertaciji odredit ćemo moguće torzijske strukture eliptičkih krivulja s racionalnom $j$-invarijantom definiranih nad nekim poljem algebarskih brojeva. Prvo ćemo promatrati eliptičke krivulje definirane nad $\mathbb{Q}$. Neka je $K$ sekstično polje. Odredit ćemo sve mogućnosti $G$ za $E(K)_{tors}$ i dokazati da za svaku moguću grupu $G$ osim $C_3 \bigoplus C_{18}$ postoji eliptička krivulja $E / \mathbb{Q}$ i sekstično polje $K$ takvo da je $E(K)_{tors} \cong G$. Nadalje, dokazat ćemo parcijalni rezultat za grupu $C_3 \bigoplus C_{18}$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $K$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi_{\mathbb{Q}}(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $\mathbb{Q}$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $K$, te $j(E) \in \mathbb{Q}$. Uz pomoć prethodnog rezultata u mogućnosti smo u potpunosti odrediti skupove $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)$, gdje je $p$ prost broj. Preciznije, naši rezultati su sljedeći. Neka je $K$ polje algebarskih brojeva takvo da je $[K : Q] = p$ i $E / K$ eliptička krivulja s racionalnom $j$ invarijantom. Tada 1. Ako je $p \geq 7$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi(1)$. 2. Ako je $p = 3$ ili $p = 5$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)$. 3. Ako je $p = 2$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)$ ili $E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$. U šestom poglavlju odredit ćemo sve skupove $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$, gdje su $p$ i $q$ prosti brojevi. Mnoge takve skupove ćemo odrediti koristeći već poznate rezultate, te rezultate dokazane u drugom i trećem poglavlju. U većini slučajeva vrijedit će $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)$. Detaljniji opis skupova $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$ može se pronaći u petom poglavlju. Dokazi nekih rezultata u ovoj disertaciji temelje se na računanju u Magmi [3]. Svi programi i izračuni korišteni u dokazima mogu se pronaći u posljednjem poglavlju

Torzija eliptičkih krivulja s racionalnom j-invarijantom nad poljima algebarskih brojeva

In this thesis we will classify the possible torsion structures of elliptic curves with rational $j$-invariant defined over number fields. We start with elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$. Let $K$ be a sextic number field. We determine all the possibilities $G$ for $E(K)_{tors}$ and we prove that for each such possible group $G$, with the exception of the group $C_3 \bigoplus C_{18}$, that there exist an elliptic curve $E / \mathbb{Q}$ and a sextic number field $K$ such that $E(K)_{tors} \cong G$. Additionally, we provide a partial result regarding the group $C_3 \bigoplus C_{18}$. For a positive integer $d$, define $\Phi(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $K$. For a positive integer $d$, define $\Phi_{\mathbb{Q}}(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $\mathbb{Q}$. Define $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $K$ with $j(E) \in \mathbb{Q}$. With the help of the previously mentioned result, we are able to completely determine the sets $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)$, where $p$ is a prime number. More precisely, our result is the following. Let $K$ be a number field such that $[K : Q] = p$ and $E / K$ an elliptic curve with rational $j$-invariant. The following holds: 1. If $p \geq 7$, then $E(K)_{tors} \in \Phi(1)$. 2. If $p = 3$ or $p = 5$, then $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)$. 3. If $p = 2$, then $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)$ or $E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$. In the sixth chapter, we are able to determine all the sets $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$, where $p$ and $q$ are prime numbers. Most of these cases follow easily from previously known results and the results in the first two chapters of this thesis. In most cases we have $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)$. A detailed description of the sets $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$ can be found in the fifth chapter of this thesis. Some of the proofs in the thesis rely on extensive computations in Magma [3]. All of the programs and calculations used for the proofs can be found in the last chapter.U ovoj disertaciji odredit ćemo moguće torzijske strukture eliptičkih krivulja s racionalnom $j$-invarijantom definiranih nad nekim poljem algebarskih brojeva. Prvo ćemo promatrati eliptičke krivulje definirane nad $\mathbb{Q}$. Neka je $K$ sekstično polje. Odredit ćemo sve mogućnosti $G$ za $E(K)_{tors}$ i dokazati da za svaku moguću grupu $G$ osim $C_3 \bigoplus C_{18}$ postoji eliptička krivulja $E / \mathbb{Q}$ i sekstično polje $K$ takvo da je $E(K)_{tors} \cong G$. Nadalje, dokazat ćemo parcijalni rezultat za grupu $C_3 \bigoplus C_{18}$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $K$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi_{\mathbb{Q}}(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $\mathbb{Q}$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $K$, te $j(E) \in \mathbb{Q}$. Uz pomoć prethodnog rezultata u mogućnosti smo u potpunosti odrediti skupove $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)$, gdje je $p$ prost broj. Preciznije, naši rezultati su sljedeći. Neka je $K$ polje algebarskih brojeva takvo da je $[K : Q] = p$ i $E / K$ eliptička krivulja s racionalnom $j$ invarijantom. Tada 1. Ako je $p \geq 7$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi(1)$. 2. Ako je $p = 3$ ili $p = 5$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)$. 3. Ako je $p = 2$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)$ ili $E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$. U šestom poglavlju odredit ćemo sve skupove $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$, gdje su $p$ i $q$ prosti brojevi. Mnoge takve skupove ćemo odrediti koristeći već poznate rezultate, te rezultate dokazane u drugom i trećem poglavlju. U većini slučajeva vrijedit će $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)$. Detaljniji opis skupova $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$ može se pronaći u petom poglavlju. Dokazi nekih rezultata u ovoj disertaciji temelje se na računanju u Magmi [3]. Svi programi i izračuni korišteni u dokazima mogu se pronaći u posljednjem poglavlju

Torzija eliptičkih krivulja s racionalnom j-invarijantom nad poljima algebarskih brojeva

In this thesis we will classify the possible torsion structures of elliptic curves with rational $j$-invariant defined over number fields. We start with elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$. Let $K$ be a sextic number field. We determine all the possibilities $G$ for $E(K)_{tors}$ and we prove that for each such possible group $G$, with the exception of the group $C_3 \bigoplus C_{18}$, that there exist an elliptic curve $E / \mathbb{Q}$ and a sextic number field $K$ such that $E(K)_{tors} \cong G$. Additionally, we provide a partial result regarding the group $C_3 \bigoplus C_{18}$. For a positive integer $d$, define $\Phi(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $K$. For a positive integer $d$, define $\Phi_{\mathbb{Q}}(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $\mathbb{Q}$. Define $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $K$ with $j(E) \in \mathbb{Q}$. With the help of the previously mentioned result, we are able to completely determine the sets $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)$, where $p$ is a prime number. More precisely, our result is the following. Let $K$ be a number field such that $[K : Q] = p$ and $E / K$ an elliptic curve with rational $j$-invariant. The following holds: 1. If $p \geq 7$, then $E(K)_{tors} \in \Phi(1)$. 2. If $p = 3$ or $p = 5$, then $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)$. 3. If $p = 2$, then $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)$ or $E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$. In the sixth chapter, we are able to determine all the sets $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$, where $p$ and $q$ are prime numbers. Most of these cases follow easily from previously known results and the results in the first two chapters of this thesis. In most cases we have $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)$. A detailed description of the sets $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$ can be found in the fifth chapter of this thesis. Some of the proofs in the thesis rely on extensive computations in Magma [3]. All of the programs and calculations used for the proofs can be found in the last chapter.U ovoj disertaciji odredit ćemo moguće torzijske strukture eliptičkih krivulja s racionalnom $j$-invarijantom definiranih nad nekim poljem algebarskih brojeva. Prvo ćemo promatrati eliptičke krivulje definirane nad $\mathbb{Q}$. Neka je $K$ sekstično polje. Odredit ćemo sve mogućnosti $G$ za $E(K)_{tors}$ i dokazati da za svaku moguću grupu $G$ osim $C_3 \bigoplus C_{18}$ postoji eliptička krivulja $E / \mathbb{Q}$ i sekstično polje $K$ takvo da je $E(K)_{tors} \cong G$. Nadalje, dokazat ćemo parcijalni rezultat za grupu $C_3 \bigoplus C_{18}$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $K$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi_{\mathbb{Q}}(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $\mathbb{Q}$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $K$, te $j(E) \in \mathbb{Q}$. Uz pomoć prethodnog rezultata u mogućnosti smo u potpunosti odrediti skupove $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)$, gdje je $p$ prost broj. Preciznije, naši rezultati su sljedeći. Neka je $K$ polje algebarskih brojeva takvo da je $[K : Q] = p$ i $E / K$ eliptička krivulja s racionalnom $j$ invarijantom. Tada 1. Ako je $p \geq 7$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi(1)$. 2. Ako je $p = 3$ ili $p = 5$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)$. 3. Ako je $p = 2$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)$ ili $E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$. U šestom poglavlju odredit ćemo sve skupove $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$, gdje su $p$ i $q$ prosti brojevi. Mnoge takve skupove ćemo odrediti koristeći već poznate rezultate, te rezultate dokazane u drugom i trećem poglavlju. U većini slučajeva vrijedit će $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)$. Detaljniji opis skupova $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$ može se pronaći u petom poglavlju. Dokazi nekih rezultata u ovoj disertaciji temelje se na računanju u Magmi [3]. Svi programi i izračuni korišteni u dokazima mogu se pronaći u posljednjem poglavlju