7 research outputs found
Galoisove reprezentacije pridružene eliptičkim krivuljama
U prvom poglavlju definirali smo pojam endomorfizma na eliptičkoj krivulji i dokazali osnovna svojstva. Uveli smo pojam izogenije te pokazali kako se svojstva endomorfizama lako proširuju na izogenije. Spomenuli smo Frobeniusov endomorfizam i dali nekoliko primjera izogenija. U drugom poglavlju definirali smo pojam visine te iskazali neka njezina bitna svojstva. Iskazali smo teorem spusta te iskazali Mordellov teorem. U trećem poglavlju razvili smo osnove teorije djelidbenih polinoma te pokazali da je . Četvrto poglavlje je glavni dio ovog rada. Definirali smo djelovanje elemenata Galoisove grupe na točke iz te pokazali osnovne rezultate koji slijede iz djelovanja. Pokazali smo da su koordinate točaka konačnog reda algebarske nad te da je proširenje od inducirano i koordinatama točaka nekog fiksnog reda Galoisovo. Definirali smo mod Galoisovu reprezentaciju pridruženu krivulji i pokazali da je to preslikavanje monomorfizam. Definirali smo Borelovu i Cartanovu podgrupu od i pokazali osnovna svojstva. Odredili smo u kojim se maksimalnim podgrupama od može nalaziti slika nesurjektivne mod Galoisove reprezentacije. Definirali smo Weilovo sparivanje i pokazali u teoremu 4.15. kakva svojstva mora imati slika mod Galoisove reprezentacije.In the first chapter we defined endomorphisms of the elliptic curve and proved their basic properties. We introduced isogenies and showed how properties of endomorphisms hold for isogenies. We mentioned the Frobenius endomorphism and give a few examples of isogenies. In the second chapter we defined the height function and showed some important properties. We also introduced the Descent theorem and stated Mordell's theorem. In the third chapter we developed basic division polynomials theory and we showed that . The fourth chapter is the main part of this work. We defined the action of the Galois group on points on and showed basic properties. We showed that coordinates of points of finite order are algebraic over and that the field extension induced by the and coordinates of points that are of finite order is Galois. We defined the mod Galois representation attached to the curve and showed that it is a monomorphism. We defined the Borel and Cartan subgroup of and showed some basic properties. We determined in which maximal subgroups of can the image of non-surjective mod Galois representation be. We defined the Weil pairing and showed in theorem 4.15 some properties of mod Galois representation
Galoisove reprezentacije pridružene eliptičkim krivuljama
U prvom poglavlju definirali smo pojam endomorfizma na eliptičkoj krivulji i dokazali osnovna svojstva. Uveli smo pojam izogenije te pokazali kako se svojstva endomorfizama lako proširuju na izogenije. Spomenuli smo Frobeniusov endomorfizam i dali nekoliko primjera izogenija. U drugom poglavlju definirali smo pojam visine te iskazali neka njezina bitna svojstva. Iskazali smo teorem spusta te iskazali Mordellov teorem. U trećem poglavlju razvili smo osnove teorije djelidbenih polinoma te pokazali da je . Četvrto poglavlje je glavni dio ovog rada. Definirali smo djelovanje elemenata Galoisove grupe na točke iz te pokazali osnovne rezultate koji slijede iz djelovanja. Pokazali smo da su koordinate točaka konačnog reda algebarske nad te da je proširenje od inducirano i koordinatama točaka nekog fiksnog reda Galoisovo. Definirali smo mod Galoisovu reprezentaciju pridruženu krivulji i pokazali da je to preslikavanje monomorfizam. Definirali smo Borelovu i Cartanovu podgrupu od i pokazali osnovna svojstva. Odredili smo u kojim se maksimalnim podgrupama od može nalaziti slika nesurjektivne mod Galoisove reprezentacije. Definirali smo Weilovo sparivanje i pokazali u teoremu 4.15. kakva svojstva mora imati slika mod Galoisove reprezentacije.In the first chapter we defined endomorphisms of the elliptic curve and proved their basic properties. We introduced isogenies and showed how properties of endomorphisms hold for isogenies. We mentioned the Frobenius endomorphism and give a few examples of isogenies. In the second chapter we defined the height function and showed some important properties. We also introduced the Descent theorem and stated Mordell's theorem. In the third chapter we developed basic division polynomials theory and we showed that . The fourth chapter is the main part of this work. We defined the action of the Galois group on points on and showed basic properties. We showed that coordinates of points of finite order are algebraic over and that the field extension induced by the and coordinates of points that are of finite order is Galois. We defined the mod Galois representation attached to the curve and showed that it is a monomorphism. We defined the Borel and Cartan subgroup of and showed some basic properties. We determined in which maximal subgroups of can the image of non-surjective mod Galois representation be. We defined the Weil pairing and showed in theorem 4.15 some properties of mod Galois representation
Torzija eliptičkih krivulja s racionalnom j-invarijantom nad poljima algebarskih brojeva
In this thesis we will classify the possible torsion structures of elliptic curves with rational -invariant defined over number fields. We start with elliptic curves defined over . Let be a sextic number field. We determine all the possibilities for and we prove that for each such possible group , with the exception of the group , that there exist an elliptic curve and a sextic number field such that . Additionally, we provide a partial result regarding the group . For a positive integer , define to be the set of possible isomorphism classes of groups , where runs through all number fields of degree and runs through all elliptic curves over . For a positive integer , define to be the set of possible isomorphism classes of groups , where runs through all number fields of degree and runs through all elliptic curves over . Define to be the set of possible isomorphism classes of groups , where runs through all number fields of degree and runs through all elliptic curves over with . With the help of the previously mentioned result, we are able to completely determine the sets , where is a prime number. More precisely, our result is the following. Let be a number field such that and an elliptic curve with rational -invariant. The following holds: 1. If , then . 2. If or , then . 3. If , then or . In the sixth chapter, we are able to determine all the sets , where and are prime numbers. Most of these cases follow easily from previously known results and the results in the first two chapters of this thesis. In most cases we have . A detailed description of the sets can be found in the fifth chapter of this thesis. Some of the proofs in the thesis rely on extensive computations in Magma [3]. All of the programs and calculations used for the proofs can be found in the last chapter.U ovoj disertaciji odredit ćemo moguće torzijske strukture eliptičkih krivulja s racionalnom -invarijantom definiranih nad nekim poljem algebarskih brojeva. Prvo ćemo promatrati eliptičke krivulje definirane nad . Neka je sekstično polje. Odredit ćemo sve mogućnosti za i dokazati da za svaku moguću grupu osim postoji eliptička krivulja i sekstično polje takvo da je . Nadalje, dokazat ćemo parcijalni rezultat za grupu . Za prirodan broj definiramo kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa , gdje varira po svim poljima algebarskih brojeva stupnja i varira po svim eliptičkim krivuljama nad . Za prirodan broj definiramo kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa , gdje varira po svim poljima algebarskih brojeva stupnja i varira po svim eliptičkim krivuljama nad . Za prirodan broj definiramo kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa , gdje varira po svim poljima algebarskih brojeva stupnja i varira po svim eliptičkim krivuljama nad , te . Uz pomoć prethodnog rezultata u mogućnosti smo u potpunosti odrediti skupove , gdje je prost broj. Preciznije, naši rezultati su sljedeći. Neka je polje algebarskih brojeva takvo da je i eliptička krivulja s racionalnom invarijantom. Tada 1. Ako je , tada . 2. Ako je ili , tada . 3. Ako je , tada ili . U šestom poglavlju odredit ćemo sve skupove , gdje su i prosti brojevi. Mnoge takve skupove ćemo odrediti koristeći već poznate rezultate, te rezultate dokazane u drugom i trećem poglavlju. U većini slučajeva vrijedit će . Detaljniji opis skupova može se pronaći u petom poglavlju. Dokazi nekih rezultata u ovoj disertaciji temelje se na računanju u Magmi [3]. Svi programi i izračuni korišteni u dokazima mogu se pronaći u posljednjem poglavlju
Torzija eliptičkih krivulja s racionalnom j-invarijantom nad poljima algebarskih brojeva
In this thesis we will classify the possible torsion structures of elliptic curves with rational -invariant defined over number fields. We start with elliptic curves defined over . Let be a sextic number field. We determine all the possibilities for and we prove that for each such possible group , with the exception of the group , that there exist an elliptic curve and a sextic number field such that . Additionally, we provide a partial result regarding the group . For a positive integer , define to be the set of possible isomorphism classes of groups , where runs through all number fields of degree and runs through all elliptic curves over . For a positive integer , define to be the set of possible isomorphism classes of groups , where runs through all number fields of degree and runs through all elliptic curves over . Define to be the set of possible isomorphism classes of groups , where runs through all number fields of degree and runs through all elliptic curves over with . With the help of the previously mentioned result, we are able to completely determine the sets , where is a prime number. More precisely, our result is the following. Let be a number field such that and an elliptic curve with rational -invariant. The following holds: 1. If , then . 2. If or , then . 3. If , then or . In the sixth chapter, we are able to determine all the sets , where and are prime numbers. Most of these cases follow easily from previously known results and the results in the first two chapters of this thesis. In most cases we have . A detailed description of the sets can be found in the fifth chapter of this thesis. Some of the proofs in the thesis rely on extensive computations in Magma [3]. All of the programs and calculations used for the proofs can be found in the last chapter.U ovoj disertaciji odredit ćemo moguće torzijske strukture eliptičkih krivulja s racionalnom -invarijantom definiranih nad nekim poljem algebarskih brojeva. Prvo ćemo promatrati eliptičke krivulje definirane nad . Neka je sekstično polje. Odredit ćemo sve mogućnosti za i dokazati da za svaku moguću grupu osim postoji eliptička krivulja i sekstično polje takvo da je . Nadalje, dokazat ćemo parcijalni rezultat za grupu . Za prirodan broj definiramo kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa , gdje varira po svim poljima algebarskih brojeva stupnja i varira po svim eliptičkim krivuljama nad . Za prirodan broj definiramo kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa , gdje varira po svim poljima algebarskih brojeva stupnja i varira po svim eliptičkim krivuljama nad . Za prirodan broj definiramo kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa , gdje varira po svim poljima algebarskih brojeva stupnja i varira po svim eliptičkim krivuljama nad , te . Uz pomoć prethodnog rezultata u mogućnosti smo u potpunosti odrediti skupove , gdje je prost broj. Preciznije, naši rezultati su sljedeći. Neka je polje algebarskih brojeva takvo da je i eliptička krivulja s racionalnom invarijantom. Tada 1. Ako je , tada . 2. Ako je ili , tada . 3. Ako je , tada ili . U šestom poglavlju odredit ćemo sve skupove , gdje su i prosti brojevi. Mnoge takve skupove ćemo odrediti koristeći već poznate rezultate, te rezultate dokazane u drugom i trećem poglavlju. U većini slučajeva vrijedit će . Detaljniji opis skupova može se pronaći u petom poglavlju. Dokazi nekih rezultata u ovoj disertaciji temelje se na računanju u Magmi [3]. Svi programi i izračuni korišteni u dokazima mogu se pronaći u posljednjem poglavlju
Torzija eliptičkih krivulja s racionalnom j-invarijantom nad poljima algebarskih brojeva
In this thesis we will classify the possible torsion structures of elliptic curves with rational -invariant defined over number fields. We start with elliptic curves defined over . Let be a sextic number field. We determine all the possibilities for and we prove that for each such possible group , with the exception of the group , that there exist an elliptic curve and a sextic number field such that . Additionally, we provide a partial result regarding the group . For a positive integer , define to be the set of possible isomorphism classes of groups , where runs through all number fields of degree and runs through all elliptic curves over . For a positive integer , define to be the set of possible isomorphism classes of groups , where runs through all number fields of degree and runs through all elliptic curves over . Define to be the set of possible isomorphism classes of groups , where runs through all number fields of degree and runs through all elliptic curves over with . With the help of the previously mentioned result, we are able to completely determine the sets , where is a prime number. More precisely, our result is the following. Let be a number field such that and an elliptic curve with rational -invariant. The following holds: 1. If , then . 2. If or , then . 3. If , then or . In the sixth chapter, we are able to determine all the sets , where and are prime numbers. Most of these cases follow easily from previously known results and the results in the first two chapters of this thesis. In most cases we have . A detailed description of the sets can be found in the fifth chapter of this thesis. Some of the proofs in the thesis rely on extensive computations in Magma [3]. All of the programs and calculations used for the proofs can be found in the last chapter.U ovoj disertaciji odredit ćemo moguće torzijske strukture eliptičkih krivulja s racionalnom -invarijantom definiranih nad nekim poljem algebarskih brojeva. Prvo ćemo promatrati eliptičke krivulje definirane nad . Neka je sekstično polje. Odredit ćemo sve mogućnosti za i dokazati da za svaku moguću grupu osim postoji eliptička krivulja i sekstično polje takvo da je . Nadalje, dokazat ćemo parcijalni rezultat za grupu . Za prirodan broj definiramo kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa , gdje varira po svim poljima algebarskih brojeva stupnja i varira po svim eliptičkim krivuljama nad . Za prirodan broj definiramo kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa , gdje varira po svim poljima algebarskih brojeva stupnja i varira po svim eliptičkim krivuljama nad . Za prirodan broj definiramo kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa , gdje varira po svim poljima algebarskih brojeva stupnja i varira po svim eliptičkim krivuljama nad , te . Uz pomoć prethodnog rezultata u mogućnosti smo u potpunosti odrediti skupove , gdje je prost broj. Preciznije, naši rezultati su sljedeći. Neka je polje algebarskih brojeva takvo da je i eliptička krivulja s racionalnom invarijantom. Tada 1. Ako je , tada . 2. Ako je ili , tada . 3. Ako je , tada ili . U šestom poglavlju odredit ćemo sve skupove , gdje su i prosti brojevi. Mnoge takve skupove ćemo odrediti koristeći već poznate rezultate, te rezultate dokazane u drugom i trećem poglavlju. U većini slučajeva vrijedit će . Detaljniji opis skupova može se pronaći u petom poglavlju. Dokazi nekih rezultata u ovoj disertaciji temelje se na računanju u Magmi [3]. Svi programi i izračuni korišteni u dokazima mogu se pronaći u posljednjem poglavlju