Torzija eliptičkih krivulja s racionalnom j-invarijantom nad poljima algebarskih brojeva

Abstract

In this thesis we will classify the possible torsion structures of elliptic curves with rational $j$-invariant defined over number fields. We start with elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$. Let $K$ be a sextic number field. We determine all the possibilities $G$ for $E(K)_{tors}$ and we prove that for each such possible group $G$, with the exception of the group $C_3 \bigoplus C_{18}$, that there exist an elliptic curve $E / \mathbb{Q}$ and a sextic number field $K$ such that $E(K)_{tors} \cong G$. Additionally, we provide a partial result regarding the group $C_3 \bigoplus C_{18}$. For a positive integer $d$, define $\Phi(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $K$. For a positive integer $d$, define $\Phi_{\mathbb{Q}}(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $\mathbb{Q}$. Define $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)$ to be the set of possible isomorphism classes of groups $E(K)_{tors}$, where $K$ runs through all number fields $K$ of degree $d$ and $E$ runs through all elliptic curves over $K$ with $j(E) \in \mathbb{Q}$. With the help of the previously mentioned result, we are able to completely determine the sets $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)$, where $p$ is a prime number. More precisely, our result is the following. Let $K$ be a number field such that $[K : Q] = p$ and $E / K$ an elliptic curve with rational $j$-invariant. The following holds: 1. If $p \geq 7$, then $E(K)_{tors} \in \Phi(1)$. 2. If $p = 3$ or $p = 5$, then $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)$. 3. If $p = 2$, then $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)$ or $E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$. In the sixth chapter, we are able to determine all the sets $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$, where $p$ and $q$ are prime numbers. Most of these cases follow easily from previously known results and the results in the first two chapters of this thesis. In most cases we have $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)$. A detailed description of the sets $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$ can be found in the fifth chapter of this thesis. Some of the proofs in the thesis rely on extensive computations in Magma [3]. All of the programs and calculations used for the proofs can be found in the last chapter.U ovoj disertaciji odredit ćemo moguće torzijske strukture eliptičkih krivulja s racionalnom $j$-invarijantom definiranih nad nekim poljem algebarskih brojeva. Prvo ćemo promatrati eliptičke krivulje definirane nad $\mathbb{Q}$. Neka je $K$ sekstično polje. Odredit ćemo sve mogućnosti $G$ za $E(K)_{tors}$ i dokazati da za svaku moguću grupu $G$ osim $C_3 \bigoplus C_{18}$ postoji eliptička krivulja $E / \mathbb{Q}$ i sekstično polje $K$ takvo da je $E(K)_{tors} \cong G$. Nadalje, dokazat ćemo parcijalni rezultat za grupu $C_3 \bigoplus C_{18}$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $K$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi_{\mathbb{Q}}(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $\mathbb{Q}$. Za prirodan broj $d$ definiramo $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)$ kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa $E(K)_{tors}$, gdje $K$ varira po svim poljima algebarskih brojeva $K$ stupnja $d$ i $E$ varira po svim eliptičkim krivuljama nad $K$, te $j(E) \in \mathbb{Q}$. Uz pomoć prethodnog rezultata u mogućnosti smo u potpunosti odrediti skupove $\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)$, gdje je $p$ prost broj. Preciznije, naši rezultati su sljedeći. Neka je $K$ polje algebarskih brojeva takvo da je $[K : Q] = p$ i $E / K$ eliptička krivulja s racionalnom $j$ invarijantom. Tada 1. Ako je $p \geq 7$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi(1)$. 2. Ako je $p = 3$ ili $p = 5$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)$. 3. Ako je $p = 2$, tada $E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)$ ili $E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$. U šestom poglavlju odredit ćemo sve skupove $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$, gdje su $p$ i $q$ prosti brojevi. Mnoge takve skupove ćemo odrediti koristeći već poznate rezultate, te rezultate dokazane u drugom i trećem poglavlju. U većini slučajeva vrijedit će $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)$. Detaljniji opis skupova $\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)$ može se pronaći u petom poglavlju. Dokazi nekih rezultata u ovoj disertaciji temelje se na računanju u Magmi [3]. Svi programi i izračuni korišteni u dokazima mogu se pronaći u posljednjem poglavlju