Galoisove reprezentacije pridružene eliptičkim krivuljama

Abstract

U prvom poglavlju definirali smo pojam endomorfizma na eliptičkoj krivulji $C$ i dokazali osnovna svojstva. Uveli smo pojam izogenije te pokazali kako se svojstva endomorfizama lako proširuju na izogenije. Spomenuli smo Frobeniusov endomorfizam i dali nekoliko primjera izogenija. U drugom poglavlju definirali smo pojam visine te iskazali neka njezina bitna svojstva. Iskazali smo teorem spusta te iskazali Mordellov teorem. U trećem poglavlju razvili smo osnove teorije djelidbenih polinoma te pokazali da je $C[n] \simeq \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. Četvrto poglavlje je glavni dio ovog rada. Definirali smo djelovanje elemenata Galoisove grupe $Gal(K/\mathbb{Q})$ na točke iz $C$ te pokazali osnovne rezultate koji slijede iz djelovanja. Pokazali smo da su koordinate točaka konačnog reda algebarske nad $\mathbb{Q}$ te da je proširenje od $\mathbb{Q}$ inducirano $x$ i $y$ koordinatama točaka nekog fiksnog reda $n$ Galoisovo. Definirali smo mod $n$ Galoisovu reprezentaciju pridruženu krivulji $C$ i pokazali da je to preslikavanje monomorfizam. Definirali smo Borelovu i Cartanovu podgrupu od $GL(\mathbb{F}_p)$ i pokazali osnovna svojstva. Odredili smo u kojim se maksimalnim podgrupama od $GL(\mathbb{F}_p)$ može nalaziti slika nesurjektivne mod $p$ Galoisove reprezentacije. Definirali smo Weilovo sparivanje i pokazali u teoremu 4.15. kakva svojstva mora imati slika mod $p$ Galoisove reprezentacije.In the first chapter we defined endomorphisms of the elliptic curve $C$ and proved their basic properties. We introduced isogenies and showed how properties of endomorphisms hold for isogenies. We mentioned the Frobenius endomorphism and give a few examples of isogenies. In the second chapter we defined the height function and showed some important properties. We also introduced the Descent theorem and stated Mordell's theorem. In the third chapter we developed basic division polynomials theory and we showed that $C[n] \simeq \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. The fourth chapter is the main part of this work. We defined the action of the Galois group $Gal(K/\mathbb{Q})$ on points on $C$ and showed basic properties. We showed that coordinates of points of finite order are algebraic over $\mathbb{Q}$ and that the field extension induced by the $x$ and $y$ coordinates of points that are of finite order $n$ is Galois. We defined the mod $n$ Galois representation attached to the curve $C$ and showed that it is a monomorphism. We defined the Borel and Cartan subgroup of $GL(\mathbb{F}_p)$ and showed some basic properties. We determined in which maximal subgroups of $GL(\mathbb{F}_p)$ can the image of non-surjective mod $p$ Galois representation be. We defined the Weil pairing and showed in theorem 4.15 some properties of mod $p$ Galois representation