Függvényegyenletek, függvényalgebrák = Functional equations, function algebras

A támogatott kutatás keretében a függvényegyenletek és a függvényalgebrák területén stabilitási, regularitás-elméleti, konvexitási, reflexivitási, lineáris megőrzési, a Wigner-féle unitér-antiunitér tétellel kapcsolatos, valamint effekt-algebrákra vonatkozó problémákkal foglalkoztunk. Stabilitási vizsgálataink során általános struktúrán értelmezett függvényekre felírt függvényegyenletekre vonatkozó stabilitási tételeket, feltételes és aszimptotikus stabilitási eredményeket igazoltunk, valamint függvény-egyenlőtlenségek stabilitását bizonyítottuk. Új regularitás-elméleti eredmények segítségével egy, a haszonelméletből származó egyértelműségi problémát oldottunk meg. A konvex függvények elméletének egyik klasszikus eredménye, a Bernstein--Doetsch tétel megfelelőit igazoltuk általános (M,N)-konvex valamint kvázi-konvex függvényekre. A korábban kizárólag egyváltozós függvényekre vizsgált Beckenbach-konvexitást kiterjesztettük kétváltozós függvényekre, utat nyitva ezzel további vizsgálatok felé. Általánosított deriváltak segítségével karakterizáltuk magasabb rendben konvex függvények egy általános osztályát. Wigner Jenő híres unitér-antiunitér tételére új, elemi bizonyítást adtunk, s sikerült kiterjesztenünk a tételt. A lineáris megőrzési problémák terén több új eredményt igazoltunk. Meghatároztuk a fizikában jelentős szerepet játszó effekt-algebrák függvényalgebrás megfelelőinek rendezéstartó bijekcióit. | On the fields of functional equations and function algebras, we investigated stability, regularity, convexity and reflexivity problems, linear preserving maps, effect-algebras, and questions connected to Wigner's theorem. Related to the stability theory, we proved stability theorems for functional equations defined on and mapping into general structures. We obtained conditional asymptotic stability results and we studied the stability of certain functional inequalities. Proving new results in the regularity theory of composite functions, we solved a uniqueness problem arising from a comparison of utility representations. Investigating convexity properties of functions, we generalized the classical Bernstein-Doetsch theorem for (M,N)-convex as well as for quasi-convex functions. We extended the concept of Beckenbach-convexity of real functions to two-variable functions. We characterized a class of convex functions of higher order in terms of generalized derivatives. By the help of a new approach, we gave an elementary proof for Wigner's well-known theorem and we extended the classical theorem, too. We proved several new linear preserving theorems. We determined the order preserving bijections of function algebras related to effect-algebras having some important applications in physics

Nemsima analízis és alkalmazásai = Nonsmooth analysis and its applications

A Clarke-féle általánosított derivált fogalmat (amely a lokálisan Lipschitz véges dimenziós normált terek között ható függvényekhez társít egy mátrix-halmazértékű deriváltat), általánosítottuk végtelen dimenziós normált tereken értelmezett és duális térként előálló Banach-terekbe képező lokálisan Lipschitz függvényekre, továbbá kidolgoztuk erre az új fogalomra vonatkozó kalkulus szabályok egy teljes spektrumát: összeg-szabály és lánc-szabály, részenként sima függvények differenciálása. Bebizonyítottuk, hogy az így nyert operátor-halmazértékű deriválta legszűkebb szekvenciálisan felülről folytonos halmazértékű szigorú Hadamard-féle prederivált. Vizsgáltuk a konvexitás különböző általánosításait, ezen belül a Jensen-konvex és a t-konvexitás perturbációs tulajdonságait és stabilitását. Ilyen tulajdonságú függvényekre Bernstein-Doetsch-típusú regularitási tételeket igazoltunk. Bevezettük a Q-szubdifferenciál fogalmát, és segítségével a Jensen-konvexitást a Q-szubdifferenciál monotonitásával jellemeztük. A magasabb-rendben Wright-konvex függvényekről megmutattuk, hogy előállnak egy ugyanolyan rendben konvex és egy polinomiális függvény összegeként. Különböző kétváltozós középérték-osztályokban vizsgáltuk az egyenlőségi, homogenitási és összehasonlítási problémákat, valamint az invariancia-egyenlet teljesülésének feltételeit. | Clarke's generalized Jacobian (which assigns a matrix-set-valued derivative to locally Lipschitzian functions acting between finite dimensional normed spaces) was extended to the setting when the domain space is an arbitrary normed space and the range space is a conjugate space of a normed space. The collection of calculus rules (sum and chain rule, derivative for piecewise smooth functions) was also elaborated. It was also shown that this new derivative is the smallest sequentially upper semicontinuous set-valued function which is a Hadamard-type prederivative. Various generalizations of convexity, perturbation and stability properties of convex and monotone functions were investigated. The perturbations of convex, Jensen-convex, and t-convex functions in terms of sums of bounded and Lipschitz functions were described. Regularity theorems of Bernstein-Doetsch type were also obtained. The theory of Q-subdifferential was developed and Jensen-convexity was characterized as a monotonicity property of this subdifferential. The higher-order Wright-convex functions were characterized as the sum of a higher-order convex and a polynomial function. The equality, homogeneity and comparison problem as well as the invariance equation was considered and solved in various classes of two-variable means

On linear functional equations modulo Z

Dedicated to Professor Ludwig Reich on the occasion of his 80th birthday.In this paper, we consider the condition ∑i=0n+1φi(rix+qiy)∈Z for real valued functions defined on a linear space V. We derive necessary and sufficient conditions for functions satisfying this condition to be decent in the following sense: there exist functions fi: V→ R, gi: V→ Z such that φi= fi+ gi, (i= 0 , ⋯ , n+ 1) and ∑i=0n+1fi(rix+qiy)=0 for all x, y∈ V

Bernstein-Doetsch type theorems with Tabor type error terms for set-valued maps

K