The Jordan curve theorem and its applications in digital image processing

Poznati rezultat iz topologije, Jordanov teorem o krivulji, obično se navodi kao primjer rezultata čija tvrdnja djeluje očito, ali čiji je dokaz vrlo složen. U radu su prezentirane neke zanimljivosti vezane uz taj teorem i prikazano je kako se ove ideje mogu koristiti u primjeni, preciznije, u digitalnoj obradi slika.A famous result in topology, i.e., the Jordan curve theorem, is usually regarded as a result whose statement is obvious, but whose proof is very difficult. In this paper, we present some interesting facts concerning this theorem and show how these ideas can be used in applications, more precisely, in digital image processin

Geometrija na grupama

U članku uvodimo osnovne koncepte geometrijske teorije grupa: opisujemo kako grupu možemo shvatiti kao geometrijski objekt (Cayleyev graf) te kako na grupi uvodimo metriku. Također definiramo pojam kvaziizometrije između metričkih prostora, pa ga koristimo između grupa i njihovih Cayleyevih grafova, te između grupa i prostora. Navodimo i vrlo važan rezultat u geometrijskoj teoriji grupa – Švarc-Milnorovu lemu

Geometrija na grupama

U članku uvodimo osnovne koncepte geometrijske teorije grupa: opisujemo kako grupu možemo shvatiti kao geometrijski objekt (Cayleyev graf) te kako na grupi uvodimo metriku. Također definiramo pojam kvaziizometrije između metričkih prostora, pa ga koristimo između grupa i njihovih Cayleyevih grafova, te između grupa i prostora. Navodimo i vrlo važan rezultat u geometrijskoj teoriji grupa – Švarc-Milnorovu lemu

The Jordan curve theorem and its applications

Kompleksna analiza je grana matematike sa sirokom primjenom, ne samo u teorijskoj matematici, vec i u podrucjima poput zike i inzinjerstva. Dio rezultata kompleksne analize vezan je uz pojam puta i pojam krivulje pri cemu se koriste i pojmovi poput unutrasnjeg i vanjskog dijela ravnine odredenih tom krivuljom. O tome govori Jordanov teorem. Jordanov teorem kaze da jednostavna zatvorena krivulja dijeli ravninu na dva dijela, vanjski i unutrasnji dio. Naime, na primjer za kruznicu zadanu jednadzbom x2 + y2 = 1, unutrasnji dio je otvoreni krug x2 + y2 1. Imajuci u vidu jednostavne primjere poput kruznice, rezultat djeluje ocito. Zapravo, iskaz teorema cinio se toliko "ocit" da matematicari nisu ni uvidjeli potrebu da se tvrdnja iznese kao teorem potkrijepljen dokazom sve dok Bolzano nije shvatio netrivijalnost problema i sluzbeno ga predstavio kao teorem. U radu je opisan dokaz za dva slucaja, prvi je onaj jednostavniji, kada je promatrana krivulja poligonalna. Drugi slucaj obuhvaca dokaz za proizvoljnu jednostavnu zatvorenu krivulju. Generalizacija dokaza na sve vrste krivulja je zahtjevna jer postoje vrlo slozeni primjeri krivulja koje cemo i navesti u radu. Otkad je Jordan prvi dao dokaz 1887. godine, teorem je dokazan vise puta razlicitim metodama, odnosno problemu je pristupljeno na razne nacine u raznim granama matematike. Stovise, Jordanov teorem smatra se jednim od rezultata u topologiji sa najvise dokaza. Neki su od tih dokaza elementarniji, no zato su i poduzi s mnogo tehnickog raspisavanja, dok s druge strane postoje i kraci i elegantniji dokazi za cije je razumijevanje potrebno poznavanje algebarske topologije. Zbog svoje je vaznosti u kompleksnoj analizi i topologiji, teorem bio u sredistu paznje mnogih matematicara prve polovice dvadesetog stoljeca poput Alexandera, Antoinea, Bieberbacha, Brouwera, Denjoya, Hartogsa, Pringsheima i Schoen iesa. No, ovaj je teorem zaokupirao i suvremene matematicare poput Halesa. U radu se ukratko opisuje i digitalna verzija Jordanovog teorema te kako se on primjenjuje u obradi digitalne fotograje