Fast recursive detection-estimation of Bernouilli-Gaussian processes

This article deals with the problem of deconvolution of Bernoulli-Gaussian random processes observed through linear systems . This corresponds to situations that occur frequently in areas like geophysics, ultrasonic imaging or nondestructive inspection . Deconvolution of such signais is a detection-estimation problem which does not allow a purely linear data processing, and the nature of the difficulties greatly dépends on the type of representation chosen for the linear system . ARMA representations yield a non-standard state driving noise detection-estimation problem whose resolution is complex and requires great computational efforts . AR representations and the use of multi-pulse coding techniques cannot account for nonminimal phase systems and exhibit the disadvantages of output-error type methods . None of these approaches provide any on-line processing ability . In the method proposed here, a degenerate state-space representation is used, and a maximum a posteriori detection step is inserted in an estimation loop by Kalman filtering . This allows deconvolution of Bernoulli-Gaussian processes in a globally recursive manner . Furthermore, fast modified Chandrasekhar equations can be used for the implementation of this procedure and produce significant savings in computational requirements . Simulation results are satisfactory, and are obtained with less computations than other existing methods .Dans cet article, nous nous intéressons à la déconvolution d'un signal aléatoire du type Bernoulli-gaussien observé à travers un système linéaire, ce qui correspond à des problèmes rencontrés notamment en sismique, en échographie ultrasonore ou en contrôle non destructif. La déconvolution de tels signaux est un problème de détection-estimation, ce qui exclut un traitement purement linéaire des données . Les méthodes proposées jusqu'ici se distinguent essentiellement par la manière de représenter le système linéaire . Les formes ARMA conduisent a un problème non standard de détection-estimation d'un bruit d'état dont la résolution est complexe et coûteuse en temps calcul . Les formes AR et l'utilisation des techniques de codage multi-impulsionnel ne permettent pas de modéliser les systèmes à phase non minimale, et présentent les inconvénients des méthodes du type « erreur de sortie » . De plus, aucune de ces approches n'autorise un traitement en ligne des données . En modélisant le système par équations d'état dégénérées (forme MA), et en imbriquant une étape de détection par maximum a posteriori dans une boucle d'estimation par filtrage de Kalman, nous montrons qu'il est possible de déconvoluer un processus Bernoulli-gaussien de manière globalement récursive . De plus, cette procédure peut être mise en ceuvre sous forme rapide à l'aide d'équations de Chandrasekhar modifiées . Les résultats obtenus sur données synthétiques sont satisfaisants, et ne nécessitent qu'un volume de calcul très inférieur aux méthodes proposées jusqu'ici

Using entropy in image reconstruction and restoration

In a great number of image reconstruction and restoration problems we have to solve an integral equation of the first kind which is an ill posed inverse problem . Therefore one cannot obtain a unique and stable solution without introducing an a priori information on the solution, The Bayesian approach is a coherent one for solving inverse problems because it lets us to take into account and to process in the same way the a priori information on the solution and the data . This approach can be resumed as the following : (i) Assign an a priori probability distribution to the parameters to translate our knowledge on these parameters . (ii) Assign a probability distribution to the measured data to translate the errors and the noise on the data . (iii) Use the Bayes' rule to transmit the information contained in the data to the parameters, i . e. calculate the a posteriori probability distribution of these parameters . (iv) Define a decision rule to determine the parameters values . One must note that : (i) This approach can be used only in problems which can be described by a finite number of parameters (for example when the integral equation is discretized) . (ii) The notion of probability in this approach is not always connected to the frequency of the realization of a random variable . (iii) While it is easy to assign a probability distribution to the measured data to translate the existence of noise on these data, it is more difficult to assign an a priori probability distribution on the unknown parameters of the problem . The maximum entropy principle permits us to choose a probability distribution which is coherent with our a priori knowledge on these parameters and which is less compromising in the sense that it does not introduce any supplementary information . In this paper we use this approach to establish a method for solving the integral equations of the f rst kind in which the entropy of the solution is used as a regularization functional . This method is then used for solving many inverse problems : image restoration by deconvolution in the situation of missing data, image reconstruction in X ray tomography and diffraction tomography, and the multivariable Fourier syrtthesis problem . A great number of simulation results are showed and a comparison is made between these results and those obtained by other usual linear methods .Dans un très grand nombre de problèmes de restauration et de reconstruction d'images on est amené à résoudre une équation intégrale de première espèce, ce qui est un problème inverse mal posé . Dans ces problèmes, l'obtention d'une solution unique et stable vis-à-vis des erreurs sur les données passe par l'introduction d'une information a priori sur la solution . L'approche bayésienne est une approche cohérente pour la résolution d'un problème inverse car elle permet de prendre en compte et de traiter de la même manière l'information a priori sur la solution et celle sur les données . Cette approche peut se résumer aux étapes suivantes (i) Attribuer une distribution de probabilité a priori aux paramètres à estimer pour traduire notre connaissance initiale sur ces paramètres . (ii) Attribuer une distribution de probabilité aux grandeurs mesurées pour traduire l'imprécision sur ces données (bruit de mesure) . (iii) Utiliser la règle de Bayes pour transmettre l'information contenue dans les données aux paramètres . Autrement dit, calculer la distribution de probabilité a posteriori des paramètres . (iv) Définir une règle de décision pour déterminer les valeurs des paramètres à estimer . Il faut noter cependant que (i) Cette approche ne peut être utilisée que dans un problème qui est décrit par un nombre fini de paramètres (par exemple une fois que le problème a été discrétisé) . (ii) La notion de probabilité dans cette approche n'est pas forcément liée à la fréquence de réalisation d'une variable aléatoire . (iii) Autant il est facile d'attribuer une distribution de probabilité aux grandeurs mesurées pour traduire l'existence du bruit sur ces grandeurs, autant il est plus difficile d'attribuer une distribution de probabilité a priori aux paramètres inconnus du problème . Le principe du maximum d'entropie permet de choisir une distribution de probabilité qui soit cohérente avec notre connaissance a priori sur les paramètres à estimer, et qui soit la moins compromettante, dans le sens où elle n'introduit pas d'information supplémentaire. Dans cette communication nous allons utiliser cette approche pour établir une méthode de résolution d'équations intégrales de première espèce dans laquelle l'entropie de la solution joue le rôle d'une fonctionnelle de régularisation . La méthode est ensuite utilisée pour la résolution de plusieurs problèmes inverses : la restauration d'images positives par déconvolution dans des situations de données manquantes, la reconstruction d'images en tomographie à rayons X et à ondes diffractées et la synthèse de Fourier multivariable . De nombreux résultats de simulation sont présentés et une comparaison est faite entre ces résultats et ceux que l'on obtient par des méthodes linéaires usuelles

Fast 2-D Kalman filters with non-causal state-space models for image restoration

The ill posed image restoration problem is treated in a Bayesian framework to deal with both noise and prior information required to stabilize the solution . Direct discretization of the convolution equation provides a state-space model whose huge dimensions make a standard Kalman f lter untractable in spite of its recursive nature . That is why the model dimension is usually reduced by introducing dynamics into the state equation, which requires an artificial causality assumption . To avoid this difficulty, we propose state-space models where the state is taken constant and equal to the entire object to be restored, and where dynamics appear only in the observation equation which may be either a vector or a scalar . When the image is scanned row by row, the shift properties of the convolution summation allow us to derive a fast Kalman algorithm through factorization techniques. When the image is scanned pixel by pixel, the computational requirement can be further reduced at the expense of an extra assumption. Sub-optimal asymptotic filters with a reduced update are then derived front these two filters . Finally, simulated and experimental results are presented .Il s'agit d'un problème de restauration d'une image dégradée par un système linéaire invariant par translatio

An Algorithm to Process Signals Conveying Statistical Information

A method for processing signals containing information about the state distribution of a physical system is presented. The concomitant algorithm is specifically devised to suitably adapt lineal restrictions so as to take into account the presence of noise due to experimental errors.Instituto de Física La Plat

Effective null Raychaudhuri equation

The effects on Raychaudhuri's equation of an intrinsically-discrete or particle nature of spacetime are investigated. This is done through the consideration of null congruences emerging from, or converging to, a generic point of spacetime, i.e. in geometric circumstances somehow prototypical of singularity issues. We do this from an effective point of view, that is through a (continuous) description of spacetime modified to embody the existence of an intrinsic discreteness on the small scale, this adding to previous results for non-null congruences. Various expressions for the effective rate of change of expansion are derived. They in particular provide finite values for the limiting effective expansion and its rate of variation when approaching the focal point. Further, this results in a non-vanishing of the limiting cross-sectional area itself of the congruence.Comment: 7 pages; v2: some comparisons with other approaches adde

Problèmes inverses en traitement du signal et de l'image

Dans de nombreux domaines de la physique appliquée, nous sommes confrontés au problème de la détermination de la distribution temporelle, ou bien spatiale, ou bien encore fréquentielle, d'une grandeur scalaire ou vectorielle, à partir des mesures directes ou indirectes. La caractéristique commune de tels problèmes est qu'ils sont souvent, mal-posés ou mal-conditionnés. Nous passons en revue des résultats mathématiques de base sur ces problèmes inverses et nous introduisons tout d'abord les caractéristiques essentielles de la théorie de la régularisation. Puis, utilisant une nouvelle approche de la théorie de l'information et des outils généraux de l'analyse convexe, nous montrons que beaucoup des critères de régularisation existants, qui ont été introduits dans la littérature par des approches très différentes, peuvent être interprétés comme des cas particuliers d'une entropie, malgré leur apparente diversité. Finalement, nous discutons de ses limitations et nous présentons l'approche bayésienne qui permet d'introduire des propriétés géométriques locales à l'aide des champs de Markov et des fonctions d'énergie locales associées, et qui offre sans doute les réponses les plus complètes aux divers problèmes rencontrés lors d'une inversion

ÉTUDE DE LA DISTRIBUTION DES VITESSES D'UN ÉCOULEMENT SANGUIN PAR VÉLOCIMÉTRIE DOPPLER ULTRASONORE

Nous présentons une application des développements récents de la théorie du signal et de la microinformatique à l'analyse des signaux de vélocimétrie Doppler. Ces derniers sont représentés par un modèle autorégressif d'ordre très élevé dont les paramètres sont estimés par des méthodes de régularisation pour stabiliser le problème. Le calcul s'effectue à l'aide d'un algorithme rapide qui est mis en oeuvre en temps-réel sur un processeur de traitement du signal. Nous présentons une comparaison entre notre méthode et les méthodes usuelles sur des signaux réels enregistrés in vitro.We developed a new spectral analysis method of Doppler ultrasonic blood flow signals which relies on (i) using high-order autoregressive models whose parameters are estimated through regularization techniques to avoid stability problems, and (ii) on computing the parameters with a fast algorithm which is implemented in real-time on a digital signal processor. A comparison is shown with conventional techniques on Doppler signals collected in vitro