In a great number of image reconstruction and restoration problems we have to solve an integral equation of the first kind
which is an ill posed inverse problem . Therefore one cannot obtain a unique and stable solution without introducing an a priori
information on the solution,
The Bayesian approach is a coherent one for solving inverse problems because it lets us to take into account and to process in
the same way the a priori information on the solution and the data . This approach can be resumed as the following :
(i) Assign an a priori probability distribution to the parameters to translate our knowledge on these parameters .
(ii) Assign a probability distribution to the measured data to translate the errors and the noise on the data .
(iii) Use the Bayes' rule to transmit the information contained in the data to the parameters, i . e. calculate the a posteriori
probability distribution of these parameters .
(iv) Define a decision rule to determine the parameters values .
One must note that :
(i) This approach can be used only in problems which can be described by a finite number of parameters (for example when the
integral equation is discretized) .
(ii) The notion of probability in this approach is not always connected to the frequency of the realization of a random variable .
(iii) While it is easy to assign a probability distribution to the measured data to translate the existence of noise on these data, it
is more difficult to assign an a priori probability distribution on the unknown parameters of the problem . The maximum entropy
principle permits us to choose a probability distribution which is coherent with our a priori knowledge on these parameters and
which is less compromising in the sense that it does not introduce any supplementary information .
In this paper we use this approach to establish a method for solving the integral equations of the f rst kind in which the entropy
of the solution is used as a regularization functional .
This method is then used for solving many inverse problems : image restoration by deconvolution in the situation of missing data,
image reconstruction in X ray tomography and diffraction tomography, and the multivariable Fourier syrtthesis problem . A great
number of simulation results are showed and a comparison is made between these results and those obtained by other usual
linear methods .Dans un très grand nombre de problèmes de restauration et de reconstruction d'images on est amené à résoudre une
équation intégrale de première espèce, ce qui est un problème inverse mal posé . Dans ces problèmes, l'obtention d'une
solution unique et stable vis-à-vis des erreurs sur les données passe par l'introduction d'une information a priori sur la
solution .
L'approche bayésienne est une approche cohérente pour la résolution d'un problème inverse car elle permet de prendre en
compte et de traiter de la même manière l'information a priori sur la solution et celle sur les données . Cette approche peut
se résumer aux étapes suivantes
(i) Attribuer une distribution de probabilité a priori aux paramètres à estimer pour traduire notre connaissance initiale sur
ces paramètres .
(ii) Attribuer une distribution de probabilité aux grandeurs mesurées pour traduire l'imprécision sur ces données (bruit de
mesure) .
(iii) Utiliser la règle de Bayes pour transmettre l'information contenue dans les données aux paramètres . Autrement dit,
calculer la distribution de probabilité a posteriori des paramètres .
(iv) Définir une règle de décision pour déterminer les valeurs des paramètres à estimer .
Il faut noter cependant que
(i) Cette approche ne peut être utilisée que dans un problème qui est décrit par un nombre fini de paramètres (par exemple
une fois que le problème a été discrétisé) .
(ii) La notion de probabilité dans cette approche n'est pas forcément liée à la fréquence de réalisation d'une variable
aléatoire .
(iii) Autant il est facile d'attribuer une distribution de probabilité aux grandeurs mesurées pour traduire l'existence du bruit
sur ces grandeurs, autant il est plus difficile d'attribuer une distribution de probabilité a priori aux paramètres inconnus du
problème . Le principe du maximum d'entropie permet de choisir une distribution de probabilité qui soit cohérente avec
notre connaissance a priori sur les paramètres à estimer, et qui soit la moins compromettante, dans le sens où elle n'introduit
pas d'information supplémentaire.
Dans cette communication nous allons utiliser cette approche pour établir une méthode de résolution d'équations intégrales
de première espèce dans laquelle l'entropie de la solution joue le rôle d'une fonctionnelle de régularisation .
La méthode est ensuite utilisée pour la résolution de plusieurs problèmes inverses : la restauration d'images positives par
déconvolution dans des situations de données manquantes, la reconstruction d'images en tomographie à rayons X et à ondes
diffractées et la synthèse de Fourier multivariable . De nombreux résultats de simulation sont présentés et une comparaison
est faite entre ces résultats et ceux que l'on obtient par des méthodes linéaires usuelles
