Une comparaison de solveurs choisis pour la résolution de systèmes linéaires couplés FEM/BEM résultant de la discrétisation de problèmes aéroacoustiques: un environnement expérimental reproductible par programmation lettrée

This is an accompanying technical report for the A comparison of selected solvers for coupled FEM/BEM linear systems arising from discretization of aeroacoustic problems Inria research report N° 9412. Based on the principles of literate programming, this technical report aims at providing detailed guidelines for reproducing the experiments of that research report. We use Org mode for literate programming and GNU Guix for software environment reproducibility. Note that part of the software involved is proprietary.Ce document représente un rapport technique complémentaire au rapport de recherche Inria Une comparaison de solveurs choisis pour la résolution de systèmes linéaires couplés FEM/BEM résultant de la discrétisation de problèmes aéroacoustiques portant le numéro 9412. Basé sur les principes de la programmation lettrée, ce rapport technique vise à fournir des indications détaillées pour reproduire les expérimentations du rapport de recherche. Nous utilisons Org mode pour faire de la programmation lettrée et GNU Guix pour assurer la reproducibilité de l'environement logiciel expérimental. Notons que certains logiciels sont propriétaires

Une comparaison de solveurs choisis pour la résolution de systèmes linéaires couplés FEM/BEM résultant de la discrétisation de problèmes aéroacoustiques

When discretization of an aeroacoustic physical model is based on the application of both the Finite Elements Method (FEM) and the Boundary Elements Method (BEM), this leads to coupled FEM/BEM linear systems combining sparse and dense parts. In this preliminary study, we compare a set of sparse and dense solvers applied on the solution of such type of linear systems with the aim to identify the best performing configurations of existing solvers.Lorsque la discrétisation d'un modèle aéroacoustique repose sur l'application d'à la fois la méthodes des éléments fini (FEM) et de la méthode des éléments finis de frontière (BEM), celle-ci conduit à des systèmes linéaires couplés FEM/BEM ayant des parties creuses ainsi que des parties denses. Dans cette étude préliminaire, nous faisons la comparaison d'un ensemble de solveurs creux et denses appliqués à la résolution de ce type de systèmes linéaires dans le but d'identifier les configurations les plus performantes des solveurs existants

Comparison of coupled solvers for FEM/BEM linear systems arising from discretization of aeroacoustic problems

National audienceWhen discretization of an aeroacoustic physical model is based on the application of both the Finite Elements Method (FEM) and the Boundary Elements Method (BEM), this leads to coupled FEM/BEM linear systems combining sparse and dense parts. In this work, we propose and compare a set of implementation schemes relying on the coupling of the open-source sparse direct solver MUMPS with the proprietary direct solvers from Airbus Central R&T, i.e. the scalapack-like dense solver SPIDO and the hierarchical H-matrix compressed solver HMAT. For this preliminary study, we limit ourselves to a single 24-core computational node

Application de la compression de rang faible à la solution directe de grands systèmes linéaires couplés creux et denses sur un nœud de calcul multi-cœur dans un contexte industriel

While hierarchically low-rank compression methods are now commonly available in both dense and sparse direct solvers, their usage for the direct solution of coupled sparse/dense linear systems has been little investigated. The solution of such systems is though central for the simulation of many important physics problems such as the simulation of the propagation of acoustic waves around aircrafts. Indeed, the heterogeneity of the jet flow created by reactors often requires a Finite Element Method (FEM) discretization, leading to a sparse linear system, while it may be reasonable to assume as homogeneous the rest of the space and hence model it with a Boundary Element Method (BEM) discretization, leading to a dense system. In an industrial context, these simulations are often operated on modern multicore workstations with fully-featured linear solvers. Exploiting their low-rank compression techniques is thus very appealing for solving larger coupled sparse/dense systems (hence ensuring a finer solution) on a given multicore workstation, and – of course – possibly do it fast. The standard method performing an efficient coupling of sparse and dense direct solvers is to rely on the Schur complement functionality of the sparse direct solver. However, to the best of our knowledge, modern fully-featured sparse direct solvers offering this functionality return the Schur complement as a non compressed matrix. In this paper, we study the opportunity to process larger systems in spite of this constraint. For that we propose two classes of algorithms, namely multi-solve and multi-factorization, consisting in composing existing parallel sparse and dense methods on well chosen submatrices. An experimental study conducted on a 24 cores machine equipped with 128 GiB of RAM shows that these algorithms, implemented on top of state-of-the-art sparse and dense direct solvers, together with proper low-rank assembly schemes, can respectively process systems of 9 million and 2.5 million total unknowns instead of 1.3 million unknowns with a standard coupling of compressed sparse and dense solvers.Bien que des méthodes basées sur la compression de rang faible hiérarchique soient de nos jours généralement fournies dans des solveurs direct denses et creux, leur utilisation pour la solution directe des systèmes linéaires couplés creux/denses n'a été que peu explorée. Résoudre ce type de systèmes est pourtant une étape centrale dans la simulation de nombreux problèmes en physique tels que la propagation des ondes acoustiques autour des avions. En effet, la hétérogénéité du flux d'air généré par des réacteurs nécessite souvent une discrétisation avec la méthode des éléments finis (FEM) conduisant à un système linéaire creux tandis que le reste de l'espace peut être raisonnablement considéré comme homogène et donc modélisé avec la méthode des éléments finis de frontière (BEM) conduisant à un système dense. Dans un contexte industriel, ces simulations sont souvent effectuées sur des machines modernes multi-cœurs en utilisant des solveurs avancés. Il y a donc une forte motivation pour exploiter leurs techniques de compression de rang faible pour la solution des systèmes couplés creux/denses plus grands (conduisant à des modèles plus précis) sur une machine multi-cœur donnée et - bien sûr - le faire de façon efficace. La méthode standard pour effectuer un couplage d'un solveur direct creux avec un solveur direct dense est de se baser sur la fonctionnalité de complément de Schur du solveur direct creux. Cependant, à notre connaissance, les solveurs modernes avancés proposant cette fonctionnalité retournent le complément de Schur dans une matrice dense non compressée. Dans cet article, nous étudions la possibilité de traiter des systèmes plus grands en dépit de cette contrainte. Pour cela, nous proposons deux classes d'algorithmes, c'est-à-dire « multi-solve » et « multi-factorization », qui consistent en la combinaison des méthodes parallèles creuses et denses existantes sur des matrices bien choisies. Une étude expérimentale, conduite sur une machine à 24 cœurs équipée de 128 Go de RAM, montre que ces algorithmes, implémentés par-dessus des solveurs directs creux et denses de l'état de l'art et grâce à un bon assemblage de schémas de compression de rang faible, peuvent traiter des systèmes avec respectivement 9 millions et 2,5 millions d'inconnues au total au lieu de 1,3 millions d'inconnues avec un couplage standard de solveurs creux et denses compressés

Étude de la consommation de puissance du processeur et de la mémoire des solveurs couplés creux/denses

In the aeronautical industry, aeroacoustics is used to model the propagation of acoustic waves in air flows enveloping an aircraft in flight. This for instance allows one to simulate the noise produced at ground level by an aircraft during the takeoff and landing phases, in order to validate that the regulatory environmental standards are met. Unlike most other complex physics simulations, the method resorts to solving coupled sparse/dense systems. In a previous study, we proposed two classes of algorithms for solving such large systems on a relatively small workstation (one or a few multicore nodes) based on compression techniques. The objective of this study is to assess whether the positive impact of the proposed algorithms on time to solution and memory usage translates to the energy consumption as well. Because of the nature of the problem, coupling dense and sparse matrices, and the underlying solutions methods, including dense, sparse direct and compression steps, this yields an interesting processor and memory power profile which we aim to analyze in details.Dans l'industrie aéronautique, l'aéroacoustique est utilisée pour modéliser la propagation d'ondes acoustiques à travers des courants d'air enveloppant un avion en vol. Par exemple, cela permet de simuler le bruit produit au niveau du sol par un avion pendant les phases de décollage et d'atterrissage afin de vérifier si les standards environnementaux réglementaires sont respectés. Contrairement à la plupart des simulations de problèmes physiques complexes, la méthode repose sur la solution de systèmes couplés creux/denses. Dans une précédente étude, nous avons proposé deux classes d'algorithmes pour résoudre ce type de grands systèmes linéaires sur une machine relativement petite (un ou peu de nœuds multi-cœurs) basés sur des techniques de compression. L'objectif de cette étude est de déterminer si l'impact positif de ces algorithmes sur l'utilisation de la mémoire se traduit également dans la consommation énergétique. Vu la nature du problème, le couplage de matrices creuses et denses ainsi que les méthodes de résolution sous-jacentes, y compris les étapes de compression creuse et dense, cela conduit à un profil de consommation de puissance du processeur et de la mémoire très intéressant que nous avons l'intention d'analyser en détails

Guix-HPC Activity Report 2020-2021: Reproducible software deployment for high-performance computing

Guix-HPC is a collaborative effort to bring reproducible software deployment to scientific workflows and high-performance computing (HPC). Guix-HPC builds upon the GNU Guix software deployment tool and aims to make it a better tool for HPC practitioners and scientists concerned with reproducible research. This report highlights key achievements of Guix-HPC between our previous report a year ago and today, February 2022. This report highlights developments on GNU Guix proper, but also downstream on Guix-Jupyter, the Guix Workflow Language, upstream with Software Heritage integration, as well as experience reports on end-to-end reproducible research article authoring pipelines

Fast solvers for high-frequency aeroacoustics

In the aeronautical industry, aeroacoustics is used to model the propagation of acoustic waves in air flows enveloping an aircraft in flight. One can thus simulate the noise produced at ground level by an aircraft during the takeoff and landing phases, in order to validate that the regulatory environmental standards are met and support the design of future planes. Unlike most other complex physics simulations, the method resorts to solving coupled sparse/dense systems. In order to produce a result that is physically realistic, the number of unknowns in the system to solve can be extremely important, which makes its treatment a computational challenge. In this work, we focus on the design and evaluation of algorithms for solving large linear systems of this kind. On the one hand, we propose algorithms using the existing Application Program Interface (API) of fully-featured and well-optimized sparse and dense direct solvers. Thanks to these algorithms, we can get around major shortcomings of a straightforward usage the solvers and fully benefit from their advanced features such as numerical compression, out-of-core computation and distributed memory parallelism. On the other hand, we investigate an alternative solver API relying on the coupling of task-based direct solvers built on top of the same runtime. A custom API allows for a better composability and an easier data exchange between the solvers leading to a more efficient usage of computing resources. While introducing such substantial changes into fully-featured community-driven solvers can only be a long-time work due to their complex codebase (several hundred thousands lines of code), we were able to implement a proof-of-concept of this approach within a non fully-featured prototype. Beyond the main contribution, we put a strong emphasis on the reproducibility of our work. To this end, we explore the principles of literate programming and software tools for ensuring the reproducibility of both experimental environments and numerical experiments themselves across different machines and extended periods of time.Dans l’industrie aéronautique, l’aéroacoustique est utilisée pour modéliser la propagation d’ondes sonores dans les flux d’air enveloppant un avion en vol. Il est alors possible de simuler le bruit produit par un avion au niveau du sol lors du décollage et de l’atterrissage afin d’assurer le respect des normes environnementales et de permettre la conception de futurs modèles d’avion. Contrairement à la plupart des autres simulations complexes en physique, la méthode consiste en la résolution de systèmes linéaires couplés creux/denses. Pour produire un résultat réaliste, le nombre d’inconnues dans le système peut être extrêmement important ce qui fait de sa résolution un défi de taille. Dans ce travail, nous nous focalisons sur la conception et l’évaluation d’algorithmes pour résoudre de grands systèmes linéaires de ce genre. D’un côté, nous proposons des algorithmes utilisant l’interface de programmation (API) existante de solveurs directs creux et denses riches en fonctionnalités et optimisés. Grâce à ces algorithmes, nous arrivons à contourner les défauts majeurs d’un usage basique de ces solveurs et profiter pleinement de leurs fonctionnalités avancées telles que la compression numérique, le calcul out-of-core et le parallélisme en mémoire distribuée. D’un autre côté, nous évaluons une API de solveur alternative qui s’appuie sur un couplage de solveurs directs à base de tâches utilisant le même moteur d’exécution. Une API personnalisée permet d’améliorer la composabilité et de simplifier l’échange de données entre les solveurs pour une utilisation plus efficace de ressources de calcul. Tandis que l’introduction de ces changements substantiels dans des solveurs aux fonctionnalités avancés et maintenus par la communauté ne peut se faire qu’à long terme à cause de la complexité de leur code source (quelques centaines de milliers de ligne de code), nous avons pu implémenter une preuve de concept de cette approche dans un prototype réduit. Outre la contribution principale, nous avons consacré un important effort à la reproductibilité de notre travail. À cette fin, nous avons exploré les principes de la programmation lettrée ainsi que les outils logiciels associés pour garantir la reproductibilité des environnements expérimentaux et des expériences numériques elles-mêmes sur différentes machines et sur des périodes de temps étendues

Fast solvers for high-frequency aeroacoustics

In the aeronautical industry, aeroacoustics is used to model the propagation of acoustic waves in air flows enveloping an aircraft in flight. One can thus simulate the noise produced at ground level by an aircraft during the takeoff and landing phases, in order to validate that the regulatory environmental standards are met and support the design of future planes. Unlike most other complex physics simulations, the method resorts to solving coupled sparse/dense systems. In order to produce a result that is physically realistic, the number of unknowns in the system to solve can be extremely important, which makes its treatment a computational challenge. In this work, we focus on the design and evaluation of algorithms for solving large linear systems of this kind. On the one hand, we propose algorithms using the existing Application Program Interface (API) of fully-featured and well-optimized sparse and dense direct solvers. Thanks to these algorithms, we can get around major shortcomings of a straightforward usage the solvers and fully benefit from their advanced features such as numerical compression, out-of-core computation and distributed memory parallelism. On the other hand, we investigate an alternative solver API relying on the coupling of task-based direct solvers built on top of the same runtime. A custom API allows for a better composability and an easier data exchange between the solvers leading to a more efficient usage of computing resources. While introducing such substantial changes into fully-featured community-driven solvers can only be a long-time work due to their complex codebase (several hundred thousands lines of code), we were able to implement a proof-of-concept of this approach within a non fully-featured prototype. Beyond the main contribution, we put a strong emphasis on the reproducibility of our work. To this end, we explore the principles of literate programming and software tools for ensuring the reproducibility of both experimental environments and numerical experiments themselves across different machines and extended periods of time.Dans l’industrie aéronautique, l’aéroacoustique est utilisée pour modéliser la propagation d’ondes sonores dans les flux d’air enveloppant un avion en vol. Il est alors possible de simuler le bruit produit par un avion au niveau du sol lors du décollage et de l’atterrissage afin d’assurer le respect des normes environnementales et de permettre la conception de futurs modèles d’avion. Contrairement à la plupart des autres simulations complexes en physique, la méthode consiste en la résolution de systèmes linéaires couplés creux/denses. Pour produire un résultat réaliste, le nombre d’inconnues dans le système peut être extrêmement important ce qui fait de sa résolution un défi de taille. Dans ce travail, nous nous focalisons sur la conception et l’évaluation d’algorithmes pour résoudre de grands systèmes linéaires de ce genre. D’un côté, nous proposons des algorithmes utilisant l’interface de programmation (API) existante de solveurs directs creux et denses riches en fonctionnalités et optimisés. Grâce à ces algorithmes, nous arrivons à contourner les défauts majeurs d’un usage basique de ces solveurs et profiter pleinement de leurs fonctionnalités avancées telles que la compression numérique, le calcul out-of-core et le parallélisme en mémoire distribuée. D’un autre côté, nous évaluons une API de solveur alternative qui s’appuie sur un couplage de solveurs directs à base de tâches utilisant le même moteur d’exécution. Une API personnalisée permet d’améliorer la composabilité et de simplifier l’échange de données entre les solveurs pour une utilisation plus efficace de ressources de calcul. Tandis que l’introduction de ces changements substantiels dans des solveurs aux fonctionnalités avancés et maintenus par la communauté ne peut se faire qu’à long terme à cause de la complexité de leur code source (quelques centaines de milliers de ligne de code), nous avons pu implémenter une preuve de concept de cette approche dans un prototype réduit. Outre la contribution principale, nous avons consacré un important effort à la reproductibilité de notre travail. À cette fin, nous avons exploré les principes de la programmation lettrée ainsi que les outils logiciels associés pour garantir la reproductibilité des environnements expérimentaux et des expériences numériques elles-mêmes sur différentes machines et sur des périodes de temps étendues

Solveurs couplés parallèles distribués et out-of-core pour de larges systèmes linéaires FEM/BEM creux/denses implémentant la compression de rang faible

Thanks to out-of-core computation and low-rank compression, sparse and dense direct solvers allow for solving ever larger linear systems. On the one hand, out-of-core techniques help to reduce the memory footprint of the computation by resorting to an extra storage, such as a hard or a solid state drive, in addition to RAM, also referred to as the core memory. The idea is to temporarily move out from the core memory the data that is not being used for the ongoing computation. On the other hand, low-rank matrices represent a way of storing matrices in a compressed form. Compression then helps to reduce not only the memory consumption of a linear system solution but also its computation time. Beyond the scope of a single multi-core shared-memory machine, parallel processing on multiple machines then may allow for solving even larger linear systems by distributing the load of data and computations among the machines. However, application of these techniques for solving coupled sparse/dense linear systems has been little investigated. In the aeronautic industry, such systems arise from acoustic simulations. Existing methods for solving sparse/dense linear systems we have found in the litterature resort to distributed-memory parallelism in order to cope with the cost of the solution process in terms of computation time and memory usage but do not implement numerical compression or out-of-core computation. In a previous work (available as the Inria Research report No. 9453), we introduced two classes of algorithms relying on low-rank compression, namely the multi-solve and the multi-factorization algorithms, for solving this kind of systems. Compared to a reference approach from the state-of-the-art, these algorithms allowed us to process significantly larger coupled systems within a single multi-core machine. However, to the best of our knowledge, none of the existing methods benefit from out-of-core computation, combine it with numerical compression or use these techniques in a distributed-memory environment. In this report, we propose a design of the multi-solve and the multi-factorization algorithms that, in addition to low-rank compression, implements out-of-core computation and distributed-memory parallelism with the aim to process even larger coupled sparse/dense systems. An experimental study conducted on up to 16 computation nodes, each having 48 cores and 180 GB of RAM, shows that the proposed algorithms, implemented on top of state-of-the-art sparse and dense direct solvers can respectively process systems of 42 million and 7 million total unknowns instead of 6 million unknowns with a standard sparse/dense solver coupling.Des solveurs creux et denses modernes et bien équipés implémentent des fonctionnalités telles que le calcul out-of-core et la compression de rang faible afin de permettre le traitement de systèmes linéaires creux et denses toujours plus grands. D'un côté, grâce aux techniques out-of-core, l'on peut réduire l'empreinte mémoire du calcul en ayant recours à un support de stockage supplémentaire en plus de la mémoire vive que l'on appelle parfois aussi « the core memory » en anglais. L'idée est de déplacer temporairement de la mémoire vive (« out of the core memory ») les données qui ne sont pas indispensables au calcul en cours. D'un autre côté, les matrices de rang faible représentent un moyen de stockage de matrice sous une forme compressée. C'est une autre possibilité de réduire non seulement la consommation mémoire d'une résolution de système linéaire mais aussi son temps de calcul. Au-delà d'une seule machine multi-cœur à mémoire partagée, le traitement en parallèle sur plusieurs machines permettrait de résoudre des systèmes linéaires encore plus grands en distribuant la charge de donnée et de calculs parmis les différentes machines. Cependant, l'application de ces techniques pour résoudre des systèms linéaires couplés creux/denses n'a été que peu explorée. L'on retrouve ce genre de systèmes dans le contexte des simulations aéroacoustiques dans l'industrie aéronautique. Les approches de résolution existantes que nous avons trouvées dans la littérature reposent sur le parallélisme en mémoire distribuée pour réduire le coût du processus de résolution en termes de temps de calcul et d'utilisation de la mémoire mais elles n'implémentent ni la compression numérique ni le calcul out-of-core. Dans un précédent travail (disponible en tant que rapport de recherche Inria No. 9453), nous avons introduit deux classes d'algorithmes faisant appel à des techniques de compression de rang faible, concrètement les algorithmes multi-solve et multi-factorisation, pour résoudre ce type de systèmes linéaires. Comparés à un couplage de solveurs de référence de l'état de l'art, ces algorithmes nous ont permis de traiter des systèmes couplés significativement plus grands sur une seule machine multi-cœurs. Dans ce rapport, nous proposons des algorithmes multi-solve et multi-factorisation qui, en plus de la compression de rang faible, implémentent les techniques out-of-core ainsi que le parallélisme en mémoire distribuée dans le but de pouvoir traiter des systèmes couplés encore plus grands. Une étude expérimentale effectuée sur jusqu'à 16 nœuds de calcul, chacun équipé de 48 cœurs et 180 Go de mémoire vive, montre que les algorithmes proposés, implémentés par-dessus des solveurs directs creux et denses de l'état de l'art, sont capables de traiter des systèmes respectivement de 42 millions et 7 millions d'inconnues au total au lieu de 6 millions avec un couplage de solveurs creux et denses standard

Application de la compression de rang faible à la solution directe de grands systèmes linéaires couplés creux et denses sur un nœud de calcul multi-cœur dans un contexte industriel

International audienceWhile hierarchically low-rank compression methods are now commonly available in both dense and sparse direct solvers, their usage for the direct solution of coupled sparse/dense linear systems has been little investigated. The solution of such systems is though central for the simulation of many important physics problems such as the simulation of the propagation of acoustic waves around aircrafts. Indeed, the heterogeneity of the jet flow created by reactors often requires a Finite Element Method (FEM) discretization, leading to a sparse linear system, while it may be reasonable to assume as homogeneous the rest of the space and hence model it with a Boundary Element Method (BEM) discretization, leading to a dense system. In an industrial context, these simulations are often operated on modern multicore workstations with fully-featured linear solvers. Exploiting their low-rank compression techniques is thus very appealing for solving larger coupled sparse/dense systems (hence ensuring a finer solution) on a given multicore workstation, and – of course – possibly do it fast. The standard method performing an efficient coupling of sparse and dense direct solvers is to rely on the Schur complement functionality of the sparse direct solver. However, to the best of our knowledge, modern fully-featured sparse direct solvers offering this functionality return the Schur complement as a non compressed matrix. In this paper, we study the opportunity to process larger systems in spite of this constraint. For that we propose two classes of algorithms, namely multi-solve and multi-factorization, consisting in composing existing parallel sparse and dense methods on well chosen submatrices. An experimental study conducted on a 24 cores machine equipped with 128 GiB of RAM shows that these algorithms, implemented on top of state-of-the-art sparse and dense direct solvers, together with proper low-rank assembly schemes, can respectively process systems of 9 million and 2.5 million total unknowns instead of 1.3 million unknowns with a standard coupling of compressed sparse and dense solvers.Bien que des méthodes basées sur la compression de rang faible hiérarchique soient de nos jours généralement fournies dans des solveurs direct denses et creux, leur utilisation pour la solution directe des systèmes linéaires couplés creux/denses n'a été que peu explorée. Résoudre ce type de systèmes est pourtant une étape centrale dans la simulation de nombreux problèmes en physique tels que la propagation des ondes acoustiques autour des avions. En effet, la hétérogénéité du flux d'air généré par des réacteurs nécessite souvent une discrétisation avec la méthode des éléments finis (FEM) conduisant à un système linéaire creux tandis que le reste de l'espace peut être raisonnablement considéré comme homogène et donc modélisé avec la méthode des éléments finis de frontière (BEM) conduisant à un système dense. Dans un contexte industriel, ces simulations sont souvent effectuées sur des machines modernes multi-cœurs en utilisant des solveurs avancés. Il y a donc une forte motivation pour exploiter leurs techniques de compression de rang faible pour la solution des systèmes couplés creux/denses plus grands (conduisant à des modèles plus précis) sur une machine multi-cœur donnée et - bien sûr - le faire de façon efficace. La méthode standard pour effectuer un couplage d'un solveur direct creux avec un solveur direct dense est de se baser sur la fonctionnalité de complément de Schur du solveur direct creux. Cependant, à notre connaissance, les solveurs modernes avancés proposant cette fonctionnalité retournent le complément de Schur dans une matrice dense non compressée. Dans cet article, nous étudions la possibilité de traiter des systèmes plus grands en dépit de cette contrainte. Pour cela, nous proposons deux classes d'algorithmes, c'est-à-dire « multi-solve » et « multi-factorization », qui consistent en la combinaison des méthodes parallèles creuses et denses existantes sur des matrices bien choisies. Une étude expérimentale, conduite sur une machine à 24 cœurs équipée de 128 Go de RAM, montre que ces algorithmes, implémentés par-dessus des solveurs directs creux et denses de l'état de l'art et grâce à un bon assemblage de schémas de compression de rang faible, peuvent traiter des systèmes avec respectivement 9 millions et 2,5 millions d'inconnues au total au lieu de 1,3 millions d'inconnues avec un couplage standard de solveurs creux et denses compressés