MINIMUM MATRIX REPRESENTATION OF CLOSURE OPERATIONS

Let a be a column of the m × n matrix M and A a set of its columns. We say that A implies a iff M contains no two rows equal in A but different in a. It is easy to see that if ℳM(A) denotes the columns implied by A, than ℳM(A) is a closure operation. We say that M represents this closure operation. s() is the minimum number of the rows of the matrices representing a given closure operation. s(ℳ) is determined for some particular closure operations

Diszkrét geometria és kombinatorikus konvexitás = Discrete geometry and combinatorial convexity

Ez az OTKA pályázat viszonylag rövid, mindössze két éves volt. Ehhez kepest sok jelentős eredményt értünk el, és a kitűzött feladatok nagyrészében komoly előrelépés történt. Bárány Imrének például sikerült egy síkbeli konvex halmaz maximális affin kerületű részhalmazát karakterizálnia. Füredi Zoltán többek között azt vizsgálta, hogy egy adott háromszög milyen feltételek mellett fedhető le pozitív és negatív homotetikus példányainak segítségével gazdaságosan. Pach János és Tóth Géza tovább folytatták geometriai gráfok keresztezési számára vontakozó kutatásaikat, ezen kívül több diszkrét geometriai problémát oldottak meg. Pór Attila (Bárány Imrével és Pavel Valtrral közösen) megoldotta azt a sejtést, miszerint n tetszőleges síkbeli pontot fol lehet fűzni egy olyan töröttvonalra, amelynek minden szöge legalább 20 fokos. Solymosi József kombinatorikus módszerek alkalmazásait vizsgálta számelméleti problémákban. A kutatásaiban kiemelt szerepet játszott diszkrét geometriai eredmények használata számelméleti kérdésekben. | This OTKA project has been short, only two year long. Yet we have succeeded to have many significant results, and produced real improvements in most of the targeted areas. Imre Barany, for instance, proved a characterization theorem for the maximal affine perimeter convex subset of a given convex body in the plane. Zoltan Furedi studied, among other things, under what condition a given triangle can be economically covered by its positive and negative homothetic copies. Janos Pach and Geza Toth have continued their investigations into the theory of crossing numbers and geometric graphs. They further solved several problems from discrete geometry. Attila Por, together with Imre Barany and Pavel Valtr, has solved the conjecture stating that, given an n point set in the plane, there exists a polygonal path through these points with all of its angles larger than 20 degrees. Jozsef Solymosi studied applications of combinatorial methods in number theory, in particular, the use of results from discrete geometry in number theory problems

Kombinatorikus módszerek a diszkrét geometriában = Combinatorial methods in discrete geometry

Barany Imre veletlen politopokkal, a Tverberg tetel altalanositasaival, a topologia es kombinatorikus geometria hatarteruletevel foglalkozott. Ugyanezen a teruleten dolgozott Kincses Janos, es meg politopok kombinatorikajan. Furedi Zoltan a ter illetve egy korlatos halmaz gazdasagos fedeseivel, grafok pakolasaival foglalkozott. Solymosi Jozsef additiv kombinatorikaval illetve additiv szamelmelettel foglalkozott, elsosorban azzal, hogy egy n elemu A szamhalmaz eseten legalabb mekkora az |A+A|+|A*A| ertek. Ezenkivul a Szemeredi-Trotter illetve Pach-Sharir tetelhez hasonlo incidencia tetelt bizonyotott magas dimenzios algebrai gorbekre. Ez utobbi eredmeny nagyon igeretes kezdetnek tunik. Toth Geza grafok metszesi szamaval es lerajzolasaival foglalkozott, konstualt egy grafot, amelynek a par-metszesi szama es paratlen-metszesi szama elter. Pach Janossal tanulmanyoztak grafok sikbeli es magasabb genuszu feluleten vett metszesi szamait, illetve az ezek kozti osszefuggeseket. A sik illetve a ter sokszoros fedeseinek szetbonthatosagat is vizsgalta. Pach Janossal azt vizsgaltak, hogy konvex halmazok rendtipusa mikor reprezentalhato pontokkal. Pach Janos Jacob Fox-szal a Lipton-Tarjan szeparator tetelt altalanositotta sikgrafokrol kulonbozo mas tipusu grafokra, peldaul konvex halmazok illetve gorbek metszetgrafjara. Por Attila lathatosagi grafokkal illetve grafok Kneser-reprezentaciojaval foglalkozott, amely szoros kapcsolatban van a frakcionalis kromatikus szammal. | Imre Barany investigated random polytopes, generalizations of the Tverberg theorem, and problems on the boundary of combinatorial geometry and topology. Janos Kincses also worked in this latter area, and also studied combinatorics of polytopes. Zoltan Furedi studied economical coverings of the space, or a bounded set. He also obtained important results concerning packings of small graphs into a large graph. Jozsef Solymosi worked in additive combinatorics and additive number theory. He investigated especially the question that at least how large is |A+A|+|A*A| if A is a set of n numbers. He also proved an incidence result for high dimensional algebraic curves, similar to the Szemeredi-Trotter or the Pach-Sharir theorems. This result seems to be a good start. Geza Toth investigated crossing numbers and drawings of graphs. He constructed a graph whose pair-crossing number is larger than its odd-crossing number. With Janos Pach he studied relationships between crossing numbers of graphs on different surfaces. He also obtained results on the decomposability of multiple coverings of the plane or space. With Janos Pach he studied, under what conditions can the order type of convex sets be represented by points. Janos Pach, together with Jacob Fox, generalized the Lipton-Tarjan separator theorem for planar graphs, for intersection graphs of convex sets, and for intersection graphs of curves. Attila Por obtained results on visibility graphs and on Kneser representations of graphs

A pszichiátria magyar kézikönyve p. 101-110.

Nem ismer