Développer le goût des mathématiques en s’appuyant sur la diversité des étudiants

Comprend des références bibliographiquesComment gérer l’hétérogénéité d’une classe de mathématiques en aidant les étudiants à développer leur plaisir au travail ? Parce que nous accueillons au sein d’une même classe des bacheliers généraux et technologiques aux niveaux très variés, nous avons mis en place une série de méthodes pédagogiques qui permettent de respecter l’altérité des apprenants tout en restant dans un cadre formel éducatif. Nous présentons ici l’ensemble de méthodes utilisées ainsi que leur impact sur la motivation et le plaisir des étudiants lors du cours de mathématiques du premier semestre (S1) de première année de licence (L1) à l’Institut Villebon - Georges Charpak

Extension et analyse des schémas de Boltzmann sur réseau : les schémas à vitesse relative

In this PhD thesis, a new class of lattice Boltzmann schemes called relative velocity schemes is introduced and studied. The purpose of lattice Boltzmann schemes is to approximate problems of macroscopic nature using the microscopic dynamic of Boltzmann type kinetic equations. They compute particle distributions through two phases of transport and relaxation, the particles moving on the nodes of a cartesian lattice. The multiple relaxation times schemes---MRT of d'Humières---, whose relaxation uses a set of moments, linear combinations of the particle distributions, constitutes the initial framework of the thesis. The relative velocity schemes extend the MRT d'Humières schemes. They originate from the cascaded automaton of Geier which provides more stability for the low viscosity regime of the Navier-Stokes equations. Their difference with the d'Humières schemes is carried by the relaxation : a set of moments relative to a velocity field parameter function of space and time is used. This difference is represented by a shifting matrix sending the fixed moments---The d'Humières schemes are associated with a zero velocity field parameter---On the relative moments. The algebraic structure of this matrix is studied. The cascaded automaton is then interpreted as a relative velocity scheme for a new set of polynomials defining the moments. The consistency study of the relative velocity schemes with the equivalent equations method is a keypoint of the thesis. These equations are derived for an arbitrary number of dimensions and velocities. They are then illustrated on examples like the D2Q9 scheme for the Navier-Stokes equations. These equivalent equations are also a tool to predict the stability behaviour of the schemes by analysing their diffusion and dispersion terms. In a last part, the stability according to the velocity field parameter is studied. Two cases especially interest us : a parameter equal to zero---D'Humières schemes---And equal to the fluid velocity---Cascaded automaton. The D2Q9 scheme for the Navier-Stokes equations is numerically studied with a linear Von Neumann analysis and some non linear test cases. The stability of the relative velocity schemes depends on the choice of the polynomials defining the moments. The most important improvement occurs if the polynomials of the cascaded automaton are chosen. We finally study the theoretical and numerical stability of a minimal bidimensional scheme for a linear advection diffusion equation. If the velocity field parameter is chosen equal to the advection velocity, some dispersion terms of the equivalent equations vanish unlike the d'Humières scheme. This implies a better stability behaviour for high velocities, characterized thanks to theoretical weighted stability notion.Cette thèse introduit et étudie une nouvelle classe de schémas de Boltzmann sur réseau appelés schémas à vitesse relative. Les schémas de Boltzmann sur réseau visent à approcher des problèmes de nature macroscopique en mimant la dynamique microscopique d’équations cinétiques du type Boltzmann. L’algorithme calcule des distributions de particules évoluant au travers de deux phases de transport et de relaxation, les particules se déplaçant en les noeuds d’un réseau cartésien en espace. Les schémas de Boltzmann à plusieurs temps de relaxation (ou schéma MRT de d’Humières), dont la relaxation im- plique un ensemble de moments combinaison linéaire polynomiale des distributions, constituent le cadre initial de la thèse. Les schémas à vitesse relative sont une extension de ces schémas de d’Humières. Ils sont inspirés du schéma cascade de Geier apportant davantage de stabilité que les schémas de d’Hu- mières pour des régimes peu visqueux des équations de Navier-Stokes. La différence avec ces schémas se situe au niveau de la relaxation : elle utilise un ensemble de moments relatifs à un paramètre champ de vitesse fonction du temps et de l’espace. Cette différence se matérialise par une matrice de tran- sition des moments fixes (les schémas de d’Humières correspondent à un paramètre champ de vitesse nul) aux moments mobiles. La structure algébrique de cette matrice est étudiée. Le schéma cascade est ensuite traduit comme un schéma à vitesse relative pour un nouvel ensemble de polynômes définissant les moments. L’étude de la consistance des schémas à vitesse relative par la méthode des équations équivalentes est un point central de la thèse. Les équations limites pour un nombre arbitraire de dimen- sions et de vitesses sont dérivées et illustrées sur des exemples tels que le D2Q9 pour les équations de Navier-Stokes. Ces équations équivalentes sont également un outil pour prédire la stabilité des schémas grâce à l’analyse des termes de diffusion et dispersion. La dernière partie traite de la stabilité suivant le choix du paramètre champ de vitesse. Nous sommes particulièrement intéressés en les deux choix de paramètre nul (d’Humières) et la vitesse du fluide (cascade). Le schéma D2Q9 pour les équations de Navier-Stokes est étudié numériquement par une méthode de Von Neumann puis appuyé sur des cas tests non linéaires. La stabilité des schémas relatifs à la vitesse du fluide est dépendante du choix des polynômes définissant les moments. L’amélioration la plus notable se produit si les polynômes du schéma cascade sont choisis. Nous étudions enfin les stabilités théorique et numérique d’un schéma bidimensionnel minimal. Le contexte physique est la simulation d’une équation d’advection diffusion linéaire. Le choix de la vitesse d’advection comme paramètre champ de vitesse annule certains termes de dispersion des équations équivalentes contrairement aux schémas de d’Humières. Ceci se traduit par un meilleur comportement en termes de stabilité pour de grandes vitesses, appuyé théoriquement à l’aide d’une notion de stabilité à poids

Extension and analysis of the lattice Boltzmann schemes : the relative velocity schemes

Cette thèse introduit et étudie une nouvelle classe de schémas de Boltzmann sur réseau appelés schémas à vitesse relative. Les schémas de Boltzmann sur réseau visent à approcher des problèmes de nature macroscopique en mimant la dynamique microscopique d’équations cinétiques du type Boltzmann. L’algorithme calcule des distributions de particules évoluant au travers de deux phases de transport et de relaxation, les particules se déplaçant en les noeuds d’un réseau cartésien en espace. Les schémas de Boltzmann à plusieurs temps de relaxation (ou schéma MRT de d’Humières), dont la relaxation im- plique un ensemble de moments combinaison linéaire polynomiale des distributions, constituent le cadre initial de la thèse. Les schémas à vitesse relative sont une extension de ces schémas de d’Humières. Ils sont inspirés du schéma cascade de Geier apportant davantage de stabilité que les schémas de d’Hu- mières pour des régimes peu visqueux des équations de Navier-Stokes. La différence avec ces schémas se situe au niveau de la relaxation : elle utilise un ensemble de moments relatifs à un paramètre champ de vitesse fonction du temps et de l’espace. Cette différence se matérialise par une matrice de tran- sition des moments fixes (les schémas de d’Humières correspondent à un paramètre champ de vitesse nul) aux moments mobiles. La structure algébrique de cette matrice est étudiée. Le schéma cascade est ensuite traduit comme un schéma à vitesse relative pour un nouvel ensemble de polynômes définissant les moments. L’étude de la consistance des schémas à vitesse relative par la méthode des équations équivalentes est un point central de la thèse. Les équations limites pour un nombre arbitraire de dimen- sions et de vitesses sont dérivées et illustrées sur des exemples tels que le D2Q9 pour les équations de Navier-Stokes. Ces équations équivalentes sont également un outil pour prédire la stabilité des schémas grâce à l’analyse des termes de diffusion et dispersion. La dernière partie traite de la stabilité suivant le choix du paramètre champ de vitesse. Nous sommes particulièrement intéressés en les deux choix de paramètre nul (d’Humières) et la vitesse du fluide (cascade). Le schéma D2Q9 pour les équations de Navier-Stokes est étudié numériquement par une méthode de Von Neumann puis appuyé sur des cas tests non linéaires. La stabilité des schémas relatifs à la vitesse du fluide est dépendante du choix des polynômes définissant les moments. L’amélioration la plus notable se produit si les polynômes du schéma cascade sont choisis. Nous étudions enfin les stabilités théorique et numérique d’un schéma bidimensionnel minimal. Le contexte physique est la simulation d’une équation d’advection diffusion linéaire. Le choix de la vitesse d’advection comme paramètre champ de vitesse annule certains termes de dispersion des équations équivalentes contrairement aux schémas de d’Humières. Ceci se traduit par un meilleur comportement en termes de stabilité pour de grandes vitesses, appuyé théoriquement à l’aide d’une notion de stabilité à poids.In this PhD thesis, a new class of lattice Boltzmann schemes called relative velocity schemes is introduced and studied. The purpose of lattice Boltzmann schemes is to approximate problems of macroscopic nature using the microscopic dynamic of Boltzmann type kinetic equations. They compute particle distributions through two phases of transport and relaxation, the particles moving on the nodes of a cartesian lattice. The multiple relaxation times schemes---MRT of d'Humières---, whose relaxation uses a set of moments, linear combinations of the particle distributions, constitutes the initial framework of the thesis. The relative velocity schemes extend the MRT d'Humières schemes. They originate from the cascaded automaton of Geier which provides more stability for the low viscosity regime of the Navier-Stokes equations. Their difference with the d'Humières schemes is carried by the relaxation : a set of moments relative to a velocity field parameter function of space and time is used. This difference is represented by a shifting matrix sending the fixed moments---The d'Humières schemes are associated with a zero velocity field parameter---On the relative moments. The algebraic structure of this matrix is studied. The cascaded automaton is then interpreted as a relative velocity scheme for a new set of polynomials defining the moments. The consistency study of the relative velocity schemes with the equivalent equations method is a keypoint of the thesis. These equations are derived for an arbitrary number of dimensions and velocities. They are then illustrated on examples like the D2Q9 scheme for the Navier-Stokes equations. These equivalent equations are also a tool to predict the stability behaviour of the schemes by analysing their diffusion and dispersion terms. In a last part, the stability according to the velocity field parameter is studied. Two cases especially interest us : a parameter equal to zero---D'Humières schemes---And equal to the fluid velocity---Cascaded automaton. The D2Q9 scheme for the Navier-Stokes equations is numerically studied with a linear Von Neumann analysis and some non linear test cases. The stability of the relative velocity schemes depends on the choice of the polynomials defining the moments. The most important improvement occurs if the polynomials of the cascaded automaton are chosen. We finally study the theoretical and numerical stability of a minimal bidimensional scheme for a linear advection diffusion equation. If the velocity field parameter is chosen equal to the advection velocity, some dispersion terms of the equivalent equations vanish unlike the d'Humières scheme. This implies a better stability behaviour for high velocities, characterized thanks to theoretical weighted stability notion

Stability of a bidimensional relative velocity lattice Boltzmann scheme

In this contribution, we study the theoretical and numerical stabilityof a bidimensional relative velocity lattice Boltzmann scheme. These relativevelocity schemes introduce a velocity field parameter called “relative velocity” functionof space and time. They generalize the d’Humières multiple relaxation timesscheme and the cascaded automaton. This contribution studies the stability of afour velocities scheme applied to a single linear advection equation according tothe value of this relative velocity. We especially compare when it is equal to 0(multiple relaxation times scheme) or to the advection velocity (“cascaded like”scheme). The comparison is made in terms of L1 and L2 stability. The L1stability area is fully described in terms of relaxation parameters and advectionvelocity for the two choices of relative velocity. These results establish that nohierarchy of these two choices exists for the L1 notion. Instead, choosing theparameter equal to the advection velocity improves the numerical L2 stability ofthe scheme. This choice cancels some dispersive terms and improve the numericalstability on a representative test case. We theoretically strengthen these resultswith a weighted L2 notion of stability

Moment models for an axisymmetric inertial connement experiment and one dimensional numerical study

In Inertial Connement Fusion (ICF) experiments, radiation is well described by a kinetic model (radiative transfer equation). This model is usually too expensive to be used in numerical simulations of such phenomena. Hence, approximations are used. A common one is to use a moment model, in which the radiative transfer equation is replaced by its rst and second order (in velocity) moments, together with a closure assumption. In this article, we propose a closure for 2D and 3D geometries, which are extensions of a one-dimensional radially symmetric model called P'1. This model has proved to be very accurate in the study of ICF, which makes the models we propose promising in this respect. The closure is based on the fact that the model should, if possible, reproduce the exact solutions of radiative transfer equation in vacuum. We also design a numerical scheme for the radially symmetric case. This scheme is well-balanced and satises the diusion limit of the model. This scheme is validated by various numerical tests

Relations entre le contrôle inhibiteur, la persévérance et le sentiment d’auto-efficacité en mathématiques.

International audienceLe contrôle inhibiteur (CI ; i.e. processus de résistance cognitive) est une fonction exécutive centrale du développement cognitif et social (Diamond, 2013). Il est aujourd'hui largement documenté qu'une meilleure efficience inhibitrice s'accompagne d'une meilleure réussite tant sur le plan académique que professionnel (Moffitt et al., 2011). Prédictrice de réussite, nous avons tenté de vérifier si en mathématiques l'efficience inhibitrice était liée à la persévérance d'une part et au sentiment d'auto-efficacité d'autre part auprès de notre population étudiante.Dans le cadre de la Chaire de recherche-action sur l'innovation pédagogique de l'Université Paris Saclay (en collaboration avec l'Université de Québec à Montreal), 18 étudiants (16-19 ans ; 12 hommes) de deuxième année de licence de sciences se sont portés volontaires pour une passation expérimentale. Individuellement, chacun a réalisé une tâche de Stroop couleur (Stroop, 1935) au format numérique permettant de mesurer l'efficience inhibitrice. Un score d'interférence a été calculé (items incongruents – items congruents) sur la base des temps de réaction aux items réussis. Chacun a également complété un questionnaire auto-rapporté visant à quantifier le sentiment d'auto-efficacité (Bandura, 2006) ainsi que la persévérance en mathématiques (Dunker, 2013). Par ailleurs, une moyenne académique disciplinaire semestrielle était accessible pour chacun de ces apprenants. Nous avons retrouvé une anti-corrélation entre le score d'interférence et la persévérance (p=.03). En d'autres termes, une plus forte efficience inhibitrice s'accompagne d'une plus forte persévérance de la part de nos étudiants. De plus, cette persévérance est liée à un plus fort sentiment d'auto-efficacité (p<.01). Toutefois, aucune corrélation significative n'a été retrouvée avec la moyenne semestrielle.Il est fort probable que les participants présentant une meilleure résistance cognitive soient plus sensibles à une gratification différée ; ce qui les amène à persévérer davantage. Leur persévérance doit s'accompagner d'un progrès en termes de performance, leur procurant une rétroaction positive (probablement liée à une activation striatale accrue et à une libération de dopamine) d'où leur plus fort sentiment d'auto-efficacité. Toutefois, leurs efforts et leurs choix de stratégies ne semblent pas encore optimaux pour leur permettre d'obtenir l'assurance d'un succès académique