Makarovin lause harmoniselle mitalle

Kompleksianalyysissä Dirichlet'n ongelma voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon Ω ⊂ C rajoitettu alue ja olkoon f alueen Ω reunalla määritelty jatkuva reaaliarvoinen funktio. Tällöin Dirichlet'n ongelma on löytää alueessa Ω harmoninen funktio, joka yhtyy jatkuvaan funktioon f alueen Ω reunalla. Ratkaisemme tämän Dirichlet'n ongelman O. Perronin menetelmällä, joka perustuu subharmonisten ja superharmonisten funktioiden käyttöön. Aloitamme esittämällä subharmonisten ja superharmonisten funktioiden määritelmät sekä niiden tärkeimpiä ominaisuuksia. Näiden avulla saamme osoitettua, että jatkuvat reunafunktiot ovat resolutiivisia eli niiden kohdalla yleistetty Dirichlet'n ongelma voidaan ratkaista. Lisäksi konstruktiosta seuraa, että tämä ratkaisu määrittelee positiivisen ja lineaarisen funktionaalin jatkuvien reunafunktioiden joukossa, jolloin Rieszin esityslause antaa tätä funktionaalia vastaavan mitan. Tämä mitta on harmoninen mitta. Alueen Ω reunan osajoukon E harmoninen mitta onkin siis karkeasti sanottuna ratkaisu Dirichlet'n ongelmaan, missä etsitään alueessa Ω harmonista funktiota, joka alueen reunalla vastaa joukon E karakteristista funktiota. Jatkamme osoittamalla harmonisen mitan ominaisuuksia, tärkeimpänä sen, että harmoninen mitta säilyy tason konformisissa muunnoksissa. Näistä päädymme tarkastelemaan tasoalueessa Ω analyyttisten funktioiden käytöstä alueen reunalla. Plessnerin lauseen avulla saamme osoitettua, että analyyttinen injektio ei voi laajentaa liikaa niitä reunan osajoukkoja, missä se on konforminen. Tästä saamme johdettua Makarovin tuloksen, jonka mukaan harmoninen mitta on singulaarinen kaikkien 1-ulotteista karkeampien Hausdorff-mittojen kanssa. Tämä tarkoittaa, että harmonisen mitan kantajan Hausdorff-dimensio on korkeintaan 1. Tarkastelemme myös hieman Bloch-funktioita ja osoitamme niille niin kutsutun Makarovin lain iteroidulle logaritmille. Tämän avulla saamme lopulta osoitettua Makarovin toisen suuren tuloksen koskien harmonista mittaa. Seuraa nimittäin, että harmoninen mitta on absoluuttisesti jatkuva tietynlaisen Hausdorff-mitan kanssa ja näin ollen harmonisen mitan kantajan Hausdorff-dimension täytyy olla vähintään 1. Yhdessä aiemman tuloksen kanssa näistä seuraa, että kompleksitasossa C harmonisen mitan kantajan Hausdorff-dimensio on tasan 1

Dirichlet problems for mean curvature and p-harmonic equations on Cartan-Hadamard manifolds

This dissertation consists of four research articles whose unifying theme is the existence and non-existence of continuous entire non-constant solutions for nonlinear differential operators on Riemannian manifolds. The existence of such solutions depends heavily on the geometry of the manifold and, in the case of complete and simply connected Riemannian manifolds, we prove the existence under assumptions on the sectional curvature. In the first and fourth article we study the existence of minimal graphic functions by solving the asymptotic Dirichlet problem. Here the idea is to compactify the Cartan-Hadamard manifold by adding an asymptotic boundary and equipping the resulting space with the cone topology. Then one can solve the asymptotic Dirichlet problem i.e. prove the existence of entire solutions with prescribed continuous boundary values on the asymptotic boundary. In the fourth article we prove also a non-existence result by showing that asymptotically non-negative sectional curvature implies uniform gradient estimate for minimal graphic functions with at most linear growth. The second article deals with the existence of A-harmonic functions and the third article with the existence of f-minimal graphs. In the case of A-harmonic functions, we improve an earlier result of A. Vähäkangas by relaxing the assumption on the curvature upper bound. Here, again, we solve the asymptotic Dirichlet problem in order to get the existence result. We solve the asymptotic Dirichlet problem also for the f-minimal equation, but differing from the other papers, here we consider also the existence in the case of bounded domains.Bernsteinin lauseen nojalla koko Euklidisessa avaruudessa määritellyt jatkuvat ja rajoitetut minimipintayhtälön ratkaisut ovat vakioita. Vastaava tulos pätee myös harmonisille, tai yleisemmin A-harmonisille, funktioille globaalin Harnackin epäyhtälön perusteella. Jos Euklidinen avaruus korvataan negatiivisesti kaareutuneella Riemannin monistolla, tilanne muuttuu oleellisesti. Tässä väitöskirjassa tarkastellaan, mitä geometrisia oletuksia avaruudelle tarvitaan ratkaisufunktioiden olemassaolon takaamiseksi. Minimipintayhtälön ratkaisujen olemassaoloa tutkitaan ensimmäisessä ja neljännessä artikkelissa, joista jälkimmäisessä todistetaan myös olemassaolon kannalta kriittinen kaarevuuden yläraja. Minimipintayhtälön ratkaisujen lisäksi neljännessä artikkelissa osoitetaan myös p-harmonisten funktioiden olemassaolo optimaalisen kaarevuuden ylärajan tapauksessa. Väitöskirjan toisessa artikkelissa tarkastellaan A-harmonisia funktioita ja todistetaan, että ehto kaarevuuden alarajalle voidaan korvata tietynlaisella pisteittäisellä kaarevuusoletuksella. Kolmannessa artikkelissa puolestaan todistetaan niin sanottujen f-minimipintojen olemassaolo sekä rajoitetuissa alueissa että koko monistolla. Nämä f-minimipinnat yleistävät perinteisiä minimipintoja, sillä funktio f määrää pinnan keskikaarevuuden ja vakiofunktion tapauksessa yhtälö palautuu minimipintayhtälöksi

Need for critical care in gynaecology: a population-based analysis

INTRODUCTION: The purpose of this study was to note potential gynaecological risk factors leading to intensive care and to estimate the frequency, costs and outcome of management. MATERIALS AND METHODS: In a cross-sectional study of intensive care admissions in Kuopio from March 1993 to December 2000, 23 consecutive gynaecological patients admitted to a mixed medical-surgical intensive care unit (ICU) were followed. We recorded demographics, admitting diagnoses, scores on the Acute Physiological and Chronic Health Evaluation (APACHE) II, clinical outcome and treatment costs. RESULTS: The overall need for intensive care was 2.3 per 1000 women undergoing major surgery during the study period. Patients were 55.4 ± 16.9 (mean ± SD) years old, with a mean APACHE II score of 14.07 (± 5.57). The most common diagnoses at admission were postoperative haemorrhage (43%), infection (39%) and cardiovascular disease (30%). The duration of stay in the ICU was 4.97 (± 9.28) (range 1–42) days and the mortality within 6 months was 26%, although the mortality in the ICU was 0%. The total cost of intensive care was approximately US$7044 per patient. CONCLUSIONS: Very few gynaecological patients develop complications requiring intensive care. The presence of gynaecological malignancy and pre-existing medical disorders are clinically useful predictors of eventual outcome, but many cases occur in women with a low risk and this implies that the risk is relevant to all procedures. Further research is needed to determine effective preventive approaches

Solvability of Minimal Graph Equation Under Pointwise Pinching Condition for Sectional Curvatures

We study the asymptotic Dirichlet problem for the minimal graph equation on a Cartan-Hadamard manifold M whose radial sectional curvatures outside a compact set satisfy an upper bound K(P) and a pointwise pinching condition |K(P)| for some constants phi > 1 and C-K >= 1, where P and P ' a re any 2-dimensional subspaces of TxM containing the (radial) vector del(x) and r (x) = d(o,x) is the distance to a fixed point o. M. We solve the asymptotic Dirichlet problem with any continuous boundary data for dimensions n = dim M > 4/phi+ 1.Peer reviewe

Existence and non-existence of minimal graphic and p-harmonic functions

To appearWe prove that every entire solution of the minimal graph equation that is bounded from below and has at most linear growth must be constant on a complete Riemannian manifold M with only one end if M has asymptotically non-negative sectional curvature. On the other hand, we prove the existence of bounded non-constant minimal graphic and p-harmonic functions on rotationally symmetric Cartan-Hadamard manifolds under optimal assumptions on the sectional curvatures.Peer reviewe

Translating solitons over Cartan-Hadamard manifolds

We prove existence results for entire graphical translators of the mean curvature flow (the so-called bowl solitons) on Cartan-Hadamard manifolds. We show that the asymptotic behaviour of entire solitons depends heavily on the curvature of the manifold, and that there exist also bounded solutions if the curvature goes to minus infinity fast enough. Moreover, it is even possible to solve the asymptotic Dirichlet problem under certain conditions.Comment: This replaces the first version. We have deleted the whole Section 3 from the previous version due to a gap in a proof. We are grateful to Dr. Hengyu Zhou for pointing out the gap in the proof of Lemma 3.3 in the previous versio

Non-parametric mean curvature flow with prescribed contact angle in Riemannian products

Assuming that there exists a translating soliton u(infinity) with speed C in a domain Omega and with prescribed contact angle on partial derivative Omega, we prove that a graphical solution to the mean curvature flow with the same prescribed contact angle converges to u(infinity) + Ct as t -> infinity. We also generalize the recent existence result of Gao, Ma, Wang and Weng to non-Euclidean settings under suitable bounds on convexity of Omega and Ricci curvature in Omega.Peer reviewe