A computational multi-scale approach for brittle materials

Materials of industrial interest often show a complex microstructure which directly influences their macroscopic material behavior. For simulations on the component scale, multi-scale methods may exploit this microstructural information. This work is devoted to a multi-scale approach for brittle materials. Based on a homogenization result for free discontinuity problems, we present FFT-based methods to compute the effective crack energy of heterogeneous materials with complex microstructures

A fast Fourier transform based method for computing the effective crack energy of a heterogeneous material on a combinatorially consistent grid

This work is concerned with computing the effective crack energy of periodic and random media which arises in mathematical homogenization results for the Francfort–Marigo model of brittle fracture. A previous solver based on the fast Fourier transform (FFT) led to solution fields with ringing or checkerboard artifacts and was limited in terms of the achievable accuracy. As computing the effective crack energy may be recast as a continuous maximum flow problem, we suggest using the combinatorial continuous maximum flow discretization introduced by Couprie et al. The latter is devoid of artifacts, but lacks an efficient large-scale solution method. We fill this gap and introduce a novel solver which relies upon the FFT and a doubling of the local degrees of freedom which is resolved by the alternating direction method of multipliers (ADMM). Last but not least we provide an adaptive strategy for choosing the ADMM penalty parameter, further speeding up the solution procedure. We demonstrate the salient features of the proposed approach on problems of industrial scale

Accounting for weak interfaces in computing the effective crack energy of heterogeneous materials using the composite voxel technique

We establish a computational methodology to incorporate interfaces with lower crack energy than the surrounding phases when computing the effective crack energy of brittle composite materials. Recent homogenization results for free discontinuity problems are directly applicable to the time-discretized Francfort-Marigo model of brittle fracture in the anti-plane shear case, and computational tools were introduced to evaluate the effective crack energy on complex microstructures using FFT-based solvers and a discretization scheme based on a combinatorially consistent grid. However, this approach only accounts for the crack resistance per volume and is insensitive to the crack resistance of the interface which is expected to play a significant role by considerations from materials science. In this work we introduce a remedy exploiting laminate composite voxels. The latter were originally introduced to enhance the accuracy of solutions for elasticity problems on regular voxel grids. We propose an accurate approximation of the effective crack energy of a laminate with weak interface where an explicit solution is available. We incorporate this insight into an efficient algorithmic framework. Finally, we demonstrate the capabilities of our approach on complex microstructures with weak interfaces between different constituents

Computing the effective crack energy of heterogeneous and anisotropic microstructures via anisotropic minimal surfaces

A variety of materials, such as polycrystalline ceramics or carbon fiber reinforced polymers, show a pronounced anisotropy in their local crack resistance. We introduce an FFT-based method to compute the effective crack energy of heterogeneous, locally anisotropic materials. Recent theoretical works ensure the existence of representative volume elements for fracture mechanics described by the Francfort–Marigo model. Based on these formulae, FFT-based algorithms for computing the effective crack energy of random heterogeneous media were proposed, and subsequently improved in terms of discretization and solution methods. In this work, we propose a maximum-flow solver for computing the effective crack energy of heterogeneous materials with local anisotropy in the material parameters. We apply this method to polycrystalline ceramics with an intergranular weak plane and fiber structures with transversely isotropic crack resistance

An FFT‐based solver for brittle fracture on heterogeneous microstructures

The description of material failure as an energy minimization problem, i.e., the Francfort–Marigo model, has been studied widely in recent years. The approximation of the crack surface as a phase field, i.e., smeared interface, enjoys great popularity, as it allows describing fracture as a set of partial differential equations. In numerical homogenization, FFT‐based solution methods have been established over the past two decades. Their purpose is to compute the overall response of a heterogeneous microstruture w.r.t. a macroscopic loading and can be applied to a variety of nonlinear materials. The benefits lie in a fast implementation and the possibility to use image data like CT‐scans as input without further need for meshing. Based on the results of the master thesis of the first author, we investigate phase field crack propagation on heterogeneous microstructures using FFT‐based solvers

Computing the effective crack energy of microstructures via quadratic cone solvers

Recently, mathematically well-defined homogenization results for the Francfort-Marigo fracture model were established. To solve the resulting cell formula, efficient computational methods were developed and improvements on solver and discretization techniques were investigated. We discuss an approach for solving the governing cell formula based on a rewriting as a second order cone problem, a specific normal form for optimization problems. For such a formulation, potent high-accuracy optimization solvers are available. We demonstrate our approach on heterogeneous two-dimensional microstructures

Characterizing digital microstructures by the Minkowski‐based quadratic normal tensor

For material modeling of microstructured media, an accurate characterization of the underlying microstructure is indispensable. Mathematically speaking, the overall goal of microstructure characterization is to find simple functionals which describe the geometric shape as well as the composition of the microstructures under consideration and enable distinguishing microstructures with distinct effective material behavior. For this purpose, we propose using Minkowski tensors, in general, and the quadratic normal tensor, in particular, and introduce a computational algorithm applicable to voxel-based microstructure representations. Rooted in the mathematical field of integral geometry, Minkowski tensors associate a tensor to rather general geometric shapes, which make them suitable for a wide range of microstructured material classes. Furthermore, they satisfy additivity and continuity properties, which makes them suitable and robust for large-scale applications. We present a modular algorithm for computing the quadratic normal tensor of digital microstructures. We demonstrate multigrid convergence for selected numerical examples and apply our approach to a variety of microstructures. Strikingly, the presented algorithm remains unaffected by inaccurate computation of the interface area. The quadratic normal tensor may be used for engineering purposes, such as mean field homogenization or as target value for generating synthetic microstructures

[Stammbuch Christian Ludwig Lenz]

[STAMMBUCH CHRISTIAN LUDWIG LENZ] [Stammbuch Christian Ludwig Lenz] ([2]r) Meineber, Johanna Friederica; Seite 33 (-) Cover ( - ) Lenz, Meta; Blatt 1 ([1]r) Lenz, Christian Ludwig, Blatt 2 ([2]r) Basedow, Johann Bernhard, Seite 1 (1) Kunger, G.; Seite 3 (3) Suden, F.; Seite 4 (4) Unbekannt; Seite 5 (5) Unbekannt; Seite 6. - 1. Eintrag (6) Unbekannt; Seite 6. - 2. Eintrag (6) Malapert, Friedrich Wilhelm Philipp von; Seite 7 (7) Burscher, Johann Friedrich; Seite 15 (15) Polz, Christian Friedrich; Seite 19 (19) Ernesti, Johann August; Seite 21 (21) Hauptmann, Johann Gottfried; Seite 29 (29) Meineber, Jo. Godofr.; Seite 31 (31) Hennings, Justus Christian; Seite 35 (35) Müller, F. L.; Seite 39 (39) Holzapfel, Georg; Seite 40 (40) Keumer, Carl von; Seite 47 (47) Gruner, Christian Gottfried; Seite 53 (53) Stark, Johann Christian; Seite 55 (55) Scharf, V. F.; Seite 57 (57) Unbekannt; Seite 59 (59) Suckow, Lorenz Johann Daniel; Seite 61 (61) Ritter, J. D.; Seite 64 (64) Ritter, L. J. G.; Seite 65 (65) Unbekannt; Seite 67 (67) Unbekannt; Seite 69 (69) Ziegler, J. D. C.; Seite 71 (71) Unbekannt; Seite 77 (77) Doederlein, Johann Christoph; Seite 89 (89) Glatz, Jakob; Seite 91 (91) Toot, Andreas; Seite 94 (94) Ambrosius, Samuel; Seite 95 (95) Kutsan, Paul; Seite 96 (96) Boros, Samuel; Seite 97 (97) Sovvari, Stephan; Seite 100 (100) Heinrich, C. G.; Seite 102 (102) Eichhorn, Johann Gottfried; Seite 103 (103) Unbekannt; Seite 105 (105) Körner, Johann Gottfried; Seite 107 (107) Zeibich, Heinrich August; Seite 109 (109) Unbekannt; Seite 111 (111) Oemler, Christian Wilhelm; Seite 113 (113) Scheidemantel, Heinrich Gottfried; Seite 116 (116) Loder, Justus Christian von; Seite 117 (117) Thümmel, Wilhelm August; Seite 119 (119) Heyde, Johann Daniel; Seite 123 (123) Thorwächter, Andreas; Seite 127 (127) Stephanik, P.; Seite 130 (130) Scholz, Johann; Seite 131 (131) Baumgärtel, Johann Samuel; Seite 133 (133) Fürbringer, Johann Gottlieb; Seite 134 (134) Uhrlandt, Karl Friedrich; Seite 135 (135) Röller, Lebrecht Gottlieb; Seite 136 (136) Senf, Johann Gottfried; Seite 137 (137) Baumgärtel, Johann Friedrich Wilhelm; Seite 140 (140) Manteufel, Gotthardt Johann von; Seite 141 (141) Peters, J. M.; Seite 142 (142) Naegler, Johann Ernst; Seite 147 (147) Wolf, Johann August; Seite 149 (149) Ulrich, Johann August Heinrich; Seite 153 (153) Jacobi; Seite 156 (156) Gerlach, Johann Christoph Friedrich; Seite 157 (157) Unbekannt; Seite 159 (159) Unbekannt; Seite 161 (161) Walch, Carl Friedrich; Seite 163 (163) Unbekannt; Seite 167 (167) Griesbach, Johann Jacob; Seite 169 (169) Morus, Samuel Friedrich Nathanael; Seite 171 (171) Weber, Michael; Seite 173 (173) Loesner, Christoph Friedrich; Seite 175 (175) Koecher, Hermann Friedrich; Seite 177 (177) Franz, Johann Georg Friedrich; Seite 179 (179) Römer, Rudolph de; Seite 180 (180) Seydlitz, Christian Gottlieb; Seite 181 (181) Unbekannt; Seite 184 (184) Unbekannt; Seite 185 (185) Martini, Georg Heinrich; Seite 187 (187) Schütze, Theodor Johann Abraham; Seite 188 (188) Schleusner, Johann Friedrich; Seite 189 (189) Maurer, Christian Friedrich; Seite 192 (192) Haller, Wilhelm; Seite 193 (193) Unbekannt; Seite 194 (194) Unbekannt; Seite 195 (195) Hempel, Ernst Wilhelm; Seite 197 (197) Csaplovics, Joh.; Seite 198 (198) Unbekannt; Seite 199 (199) Unbekannt; Seite 200 (200) Unbekannt; Seite 201 (201) Nöbling, Johann August Christian; Seite 203 (203) Prieß, L. S.; Seite 207 (207) Eck, Johann Georg; Seite 210 (210) Weiße, Christian Felix; Seite 211 (211) Unbekannt; Seite 214 (214) Unbekannt; Seite 215 (215) Fabri, Stephanus; Seite 216 (216) Unbekannt; Seite 217 (217) Osterlamm, Carl; Seite 218 (218) Unbekannt; Seite 219 (219) Engelleiter, Johann; Seite 221 (221) Botzko, Daniel; Seite 223 (223) Fischer, Johann Friedrich; Seite 225 (225) Dathe, Johann August; Seite 226 (226) Reiz, Friedrich Wolfgang; Seite 227 (227) Laun, John Fredric; Seite 228 (228) Zollikofer, Georg Joachim; Seite 229 (229) Gräf, Johann Samuel Gottlob; Seite 230 (230) Platner, Ernst; Seite 231 (231) Schütz, Christian Gottfried; Seite 233 (233) Schlichtegroll, Friedrich; Seite 234 (234) Unbekannt; Seite 235 (235) Weyelius, R.; Seite 236 (236) Schöber, Valentin Gottfried; Seite 238 (238) Schöber, Sophia Magdalena; Seite 239 (239) Forbriger, Christian Friedrich; Seite 240 (240) Unbekannt; Seite 241 (241) Quehl, C. G.; Seite 242 (242) Quehl, Chr. A. B.; Seite 243 (243) Toppertzer, Samuel; Seite 245 (245) Ludert, C. W.; Seite 246 (246) Ludert, Joh. Christ. Friedrich; Seite 247 (247) Unbekannt; Seite 248 (248) Oberländer, Christian Gottfried; Seite 249 (249) Oberländer, Auguste Juliane; Seite 250 (250) Unbekannt; Seite 252 (252) Huschke, Immanuel Gottlieb; Seite 253 (253) Stiebritz, Johann Barthold; Seite 257 (257) Beck, Christian Daniel; Seite 259 (259) Müller, Joann. Gottfried; Seite 261 (261) Weiß, Henriette; Seite 263 (263) Dindorf, Gottlieb Immanuel; Seite 265 (265) Geitner, Johann Gottfried; Seite 267 (267) Heinicke, Samuel; Seite 269 (269) Böttger, Johann Gottlieb; Seite 271 (271) Hasse, Johann Gottfried; Seite 273 (273) Spilker, Johann Christoph Ferdinand; Seite 275 (275) Weiß, Christiana; Seite 276 (276) Weiß, Juliana Dorothea; Seite 277 (277) Lummer, Johann Gottlieb; Seite 279 (279) Benke, Michael; Seite 280 (280) Behr, Andr. Christian; Seite 281 (281) Ernst, G.; Seite 283 (283) Meiner, F. W. v.; Seite 284 (284) Schellwitz, Justus Christian Ludwig von; Seite 285 (285) Letz, Samuel; Seite 287 (287) Roth, Johannes; Seite 289 (289) Graefen, Joh. Benj.; Seite 290 (290) Schwartz, Michael; Seite 291 (291) Modzelsky, J. A.; Seite 292. - 1. Eintrag (292) Basedow, Ludwig von; Seite 292. - 2. Eintrag (292) Berens; Seite 292. - 3. Eintrag (292) Schweinitz, Wilhelm von; Seite 292. - 4. Eintrag (292) Kulenkamp, D.; Seite 292. - 5. Eintrag (292) Bredow, August von; Seite 292. - 6. Eintrag (292) Bredow, Wilhelm von; Seite 292. - 7. Eintrag (292) Preschell; Seite 292. - 8. Eintrag (292) Unbekannt; Seite 292. - 9. Eintrag (292) Gilbert, L.; Seite 293 (293) Burgsdorff, W. von; Seite 294. - 1. Eintrag (294) Arnim, Fritz von; Seite 294. - 2. Eintrag (294) Motherby, Joseph; Seite 294. - 3. Eintrag (294) Motherby, William; Seite 294. - 4. Eintrag (294) Knigge, W. E. B. von; Seite 294. - 5. Eintrag (294) Goltz, H.; Seite 294. - 6. Eintrag (294) Dorimond, Antouch von; Seite 294. - 7. Eintrag (294) Arnim, Wilhelm von; Seite 294. - 8. Eintrag (294) Knigge, F. H. von; Seite 294. - 9. Eintrag (294) Unbekannt; Seite 294. - 10. Eintrag (294) Keil, Karl August Gottlieb; Seite 295 (295) Mannstein, W. F. S. v.; Seite 296 (296) Blasche, Johann Christian; Seite 299 (299) Schlabrendorff, Louis von; Seite 300. - 1. Eintrag (300) Schladen, Louis von; Seite 300. - 2. Eintrag (300) Schröder, Andreas von; Seite 300. - 3. Eintrag (300) Wegely, H.; Seite 300. - 4. Eintrag (300) Bredow, August von; Seite 300. - 5. Eintrag (300) Sandreczky, Erdmann; Seite 300. - 6. Eintrag (300) Mezner; Seite 300. - 7. Eintrag (300) Wald, Samuel Gottlieb; Seite 301 (301) Ritter, Johann; Seite 302 (302) Dräger, Andeas; Seite 303 (303) Gebhardtus, Jo. Henr.; Seite 304 (304) Steinbach, Gottlieb Wilhelm; Seite 306 (306) Ernesti, August Wilhelm; Seite 307 (307) Heinze, Johann Michael; Seite 308 (308) Unbekannt; Seite 309 (309) Kaempfe, Io. Adolphus; Seite 311 (311) Funk, Gottfried Benedikt; Seite 313 (313) Kupfer, H. C.; Seite 314 (314) Ebeling, Traugott Heinrich; Seite 315 (315) Wille, A.; Seite 317 (317) Enke, Christoph Friedrich; Seite 318 (318) Linde, Johann Wilhelm; Seite 319 (319) Senf, Joh. Dan. Godfr.; Seite 320 (320) Schmidt, Johann Georg; Seite 321 (321) Spannaus, Joh. Trid. Dav.; Seite 322 (322) Meisner, Joh. Heinr.; Seite 323 (323) Böttiger, Carl August; Seite 325 (325) Zuckerbecker, Friedrich Wilhelm; Seite 326 (326) Döring, Friedrich Wilhelm; Seite 327 (327) Bauer, Joh. Fried. Heinr.; Seite 328 (328) Warlich, Anton Rudolph; Seite 329 (329) Bretschneider, J. F. A.; Seite 331 (331) Bretschneider, F. F..; Seite 332 (332) Ranft, Ch. S.; Seite 333 (333) Friedlein, Mich. Friedr..; Seite 334 (334) Nusch, Christ. Godofr..; Seite 335 (335) Colmar, Albertus.; Seite 336 (336) Grellmann, Heinrich Moritz Gottlieb.; Seite 337 (337) Martini, Joa. Thom..; Seite 338 (338) Scharfenberg, Johann Gottfried.; Seite 339 (339) Müller, Joan. Christian.; Seite 340 (340) Vogt, J. G..; Seite 341 (341) Ilhardt, J. H.; Seite 342 (342) Eisenschmid, Gottfried Benjamin; Seite 343 (343) Herreshoff, C. T.; Seite 344 (344) Dorcowicz, Jo.; Seite 345 (345) Reinicke, Johann Heinrich; Seite 347 (347) Reinicke, Juliane Wilhemine; Seite 349 (349) Palm, Johann Samuel Traugott; Seite 351 (351) Molnar, Iohanes; Seite 352 (352) Eschenburg, Bernhard; Seite 353 (353) Unbekannt; Seite 354 (354) Petrus, Andr.; Seite 355 (355) Ribbai, Georg; Seite 356 (356) Waltersdorfer, Samuel; Seite 357 (357) Unbekannt; Seite 358 (358) Unbekannt; Seite 361 (361) Berke, Blaž; Seite 362 (362) Gerstenbergck; Seite 363 (363) Artner, Leopoldus Guilielmus; Seite 364 (364) Sander, Daniel Christian; Seite 365 (365) Niclas, Jo. Nicolaus; Seite 366 (366) Haubold, Christian Gottfried; Seite 367 (367) Ratton, J. L.; Seite 369 (369) Franz, Carolus Guilielmus; Seite 370 (370) Franz, Christiana Justina; Seite 371 (371) Endreck, Josephus A.; Seite 372 (372) Reinicke, Aug. Lebr.; Seite 373 (373) Lenz, Johann Georg; Seite 374 (374) Lenz, Friedrich Ludwig; Seite 375 (375) Lenz, Sophia Eleonora; Seite 377 (377) Treitschkin, Charlotte Luise Friederike; Seite 378 (378) Oberländer, Dorothea Henriette; Seite 379 (379) Börner, Christian Friedrich; Seite 381 (381) Bernstein, Johann Heinrich Tobias; Seite 382 (382) Lenz, Car. Gotth.; Seite 383 (383) Hlavats, Jo. Michael; Seite 385 (385) Bodiczky, Adamo; Seite 386 (386) Szatelányi, Sigismund; Seite 387 (387) Nacke, Christiano Friderico; Seite 388 (388) Schmid, C. C. E.; Seite 389 (389) Heinrich; Seite 391 (391) Ungar, Michael; Seite 392 (392) Weisse, Christian Ernst; Seite 393 (393) Scheint, Andreas; Seite 395 (395) Ploettner, Lebrecht Petrus; Seite 397 (397) Unbekannt; Seite 398 (398) Homepage (403