Idősorok analízise és sztochasztikus fraktál modellek tanulmányozása alkalmazásokkal = Time series analysis and fractal models with applications

Frakcionális Ornstein-Uhlenbeck lepedő tulajdonságait vizsgáltuk abból a szempontból, hogy olyan modellt konstruáljunk, aminek spektruma az origó környezetében nem izotróp módon viselkedik. A Lévy-Flight-ok (közel stabilis Lévy-folyamtok) fontos szerepet játszanak a nem Gauss jelenségek vizsgálatában. Egzakt eredményeket bizonyítottunk a Lévy-Flight-ok aszimptotikus egész és tört rendű momentumaira, ezzel összefüggésben sikerült kimutatni ezek multi-fraktál tulajdonságát. A nemlineáris vektor értékű regresszió problémájával foglalkoztunk, amikor a megfigyelések hibája stacionárius eloszlású. Egzakt formulát adtunk meg a paraméter becslések aszimptotikus szórásmátrixára, és alkalmaztuk eredményünket valódi adatokra is. A magfüggvényes sűrűségfüggvény becslés aszimptotikus normalitását bizonyítottuk úgy, hogy a mezőt egyre nagyobb tartományon figyeljük meg, de közben megfigyelési helyeket is sűrítjük. Kiderül, hogy az aszimptotikus kovariancia függ a sávszélesség és az osztópontok távolságának arányától. | The Fractional Ornstein-Uhlenbeck sheet is investigated, non-isotropic stationary model is constructed and applied for real data. We showed that Lévy-Flights are fractals and proved asymptotical formulae for moments and cumulants.with integer and fractal order. Functional limit theorems are proved for a sequence of Galton-Watson processes with immigration, where the offspring mean tends to its critical value 1 under weak conditions for the variances of offspring and immigration processes. Int he limit theorems the norming factors depend on these variances. We proved the asymptotic normality of the kernel density estimates in 2D. The asymptotic covariance is shown to be dependent of the ratio of the window size and distance between point on the lattice. The nonlinear multiple regression with stationary errors is investigated. A clear formula is given for the asymptotic variance of the parameter estimator and it is applied for the identification of fitting models to real data

Renormalization group of and convergence to the LISDLG process

The LISDLG process denoted by J(t) is defined in Iglói and Terdik [ESAIM: PS 7 (2003) 23–86] by a functional limit theorem as the limit of ISDLG processes. This paper gives a more general limit representation of J(t). It is shown that process J(t) has its own renormalization group and that J(t) can be represented as the limit process of the renormalization operator flow applied to the elements of some set of stochastic processes. The latter set consists of IGSDLG processes which are generalizations of the ISDLG process

Superposition of Diffusions with Linear Generator and its Multifractal Limit Process

In this paper a new multifractal stochastic process called Limit of the Integrated Superposition of Diffusion processes with Linear differencial Generator (LISDLG) is presented which realistically characterizes the network traffic multifractality. Several properties of the LISDLG model are presented including long range dependence, cumulants, logarithm of the characteristic function, dilative stability, spectrum and bispectrum. The model captures higher-order statistics by the cumulants. The relevance and validation of the proposed model are demonstrated by real data of Internet traffic.