Méthode asymptotique numérique pour le calcul des bifurcations : application aux structures élastiques

The objective of this thesis is to present numerical algorithms for the detection of bifurcation points, in the framework of Asymptotic-Numerical Methods, which were proposed initially by Damil and Potier-Ferry in 1990. The first section is devoted to a brief review of the bifurcation theory. The notions of branches of solution and singular points are introduced with their caracterisations. Also, there is review of some recent studies on the detection of bifurcations within incremental-iterative methods. The second section is devoted to a review of the asymptotic-numerical methods for computing branches of solution of non-linear problems. Applications are shown for non-linear analysis of elastic thin structures, such as beams, plates and shells. In section three, an asymptotic-numerical procedures is developed for detecting bifurcations on a linear branch. A perturbed equilibrium problem is introduced in order to define a bifurcation indicator, that is well adapted with asymptotic-numerical method which involves to solve several linear problems which have the same stiffness matrix. The improvement of the asymptotic series using Padé approximants is discussed. The method is tested for computing the buckling load of the compressed plate. In section four, the procedure of section three is generalised to a non-linear fundamental branche. Also, after the detection of bifurcation point, the computation of the bifurcating branch is also discussed. Finally, an application for a circular arch is presentedL'objectif de ce travail de thèse est de développer des algorithmes de détection des bifurcations dans le cadre des méthodes asymptotiques-numériques initialement proposées par Damil et Potier-Ferry en 1990. Le document est composé de quatre chapitres. Le premier chapitre fait l'objet d'une étude bibliographique dans laquelle on rappelle brièvement les généralités de la théorie de bifurcation. On introduit les notions de branche fondamentale, de branche bifurquée et de points singuliers avec leurs différentes caractérisations (point limite et point de bifurcation). On rappelle aussi les travaux numériques les plus récents de calcul de point de bifurcation réalisés dans le cadre des méthodes incrémentale-itératives. Au chapitre 2 on rappelle les concepts de base des méthodes asymptotiques-numériques et leurs applications au calcul des branches de solutions (fondamentales et bifurquées) pour des structures minces de type plaques, coques et poutres. Au chapitre 3 on développe une variante de la méthode asymptotique-numérique pour le calcul de points de bifurcation sur une branche linéaire. On introduit un problème d'équilibre perturbe qui permettra de définir un indicateur de bifurcation bien adapte aux développements asymptotiques. Cet indicateur sera appelé rigidité car il mesure la rigidité de la structure par rapport à une certaine direction. Comme dans les travaux réalisés auparavant, on doit résoudre une série de problèmes linéaires admettant le même operateur. On discute l'amélioration de la représentation polynomiale à l'aide des approximants de Padé. On applique la méthode à l'exemple d'une plaque carrée sous compression. Enfin, on définit un indicateur de bifurcation plus général relatif à plusieurs perturbations, qui cette fois mesurera la rigidité de la structure par rapport à plusieurs directions données. Au chapitre 4, on étend la méthode de calcul de points de bifurcation développée au chapitre 3 au calcul de points de bifurcation sur une branche non-linéaire. On présente aussi une méthode de calcul de branches bifurquées pour les structures présentant un préflambage non-linéaire. Le problème du calcul des différentes tangentes au point de bifurcation est discuté. Enfin on présente une application sur un arc circulair

Etude des vibrations linéaires de plaques par une méthode asymptotique numérique et les approximants de Padé

International audienceThe aim of this paper is to present a new algorithm based on the Asymptotic Numerical Method for the computation of eigenvalues and eigenvectors of linear problems. It is based on the introduction of an indicator, which is a rational fraction whose roots correspond exactly to eigenvalues of the considered problem.Nous proposons dans ce travail une méthode originale de calcul des pulsations propres d’un problème de vibration de plaque. Cette méthode est basée sur l’introduction d’un indicateur qui est une fraction rationnelle et dont les racines du numérateur sont exactement les pulsations propres recherchées. Le problème est résolu à l’aide d’une méthode de perturbation et des approximants de Padé

Vibrations non linéaires forcées de plaques minces amorties par une méthode asymptotique numérique

International audienceCe travail concerne la résolution de problèmes de vibrations forcées non linéaires de plaques rectangulaires amorties élastiques minces soumises à une excitation harmonique par une méthode asymptotique numérique. Cette dernière est une méthode de continuation qui permet de transformer le problème non linéaire en une séquence de problèmes linéaires ayant tous la même matrice de rigidité. Donc, une seule triangulation de matrice permet d'obtenir une grande partie de la solution. Des résultats numériques sont rapportés et comparés à ceux de la littérature