Coloreando la geografía desde el plano al toroide

El tema "grafos", en general, no se encuentra en los programas oficiales de los distintos niveles educativos, ni en su faceta "matemática pura" ni desde sus conceptos básicos que, creemos, pueden ser utilizados como un juego de manera muy intuitiva con niños desde corta edad. En esta oportunidad trabajamos con el tema coloreo de grafos, experiencia realizada con niños de edades comprendidas entre los 5 y los 14 años de edad, y que presentamos en este trabajo con el análisis correspondiente

Geometría no euclidiana en la enseñanza básica: geometría de la esfera

Con el convencimiento de que la Enseñanza General Básica debe ofrecer a los educandos la oportunidad de descubrir ideas geométricas a través de actividades de manipulación de objetos cotidianos, y de que es posible llevar contenidos no convencionales a las aulas. Encontramos en las geometrías no-euclidianas, materia prima para alcanzar el objetivo. Trabajamos con la “Geometría de Riemann” cuyo modelo es un objeto muy familiar: la esfera, y no es difícil imaginar un mundo de dos dimensiones sobre su superficie; mostramos que el ejemplo más clásico de una geometría sin paralelas se obtiene observando la tierra. Nuestra metodología estuvo orientada al sujeto que aprende, la basamos en la motivación, ya que predispone al alumno al aprendizaje e induce al esfuerzo intelectual. Nos concentramos especialmente en una selección de contenidos, que favorecieran la comprensión, la observación, la experimentación, el descubrimiento de regularidades, la formulación de hipótesis y conjeturas y la comprobación de las mismas. Como conclusión destacamos que las actividades desarrolladas, investigar y comparar la geometría Euclidiana con una no Euclidiana condujeron a la comprensión de lo que es un sistema axiomático. En este reporte exhibimos algunas conclusiones y describimos la experiencia realizada con alumnos de 8º año de Enseñanza General Básica (12-13 años de edad) tomando como punto de partida la investigación realizada con los mismos alumnos en el año 2000

Modelización de problemas estadísticos mediante grafos

El concepto de probabilidad puede ser abordado en los distintos niveles educativos de acuerdo a las edades evolutivas de los estudiantes. En algunas situaciones se plantea desde lo netamente experimental, relacionándose así con el concepto de probabilidad “a posteriori” y en otras se trabaja el concepto de probabilidad “a priori”, llegando así a distintos grados de formalización. Las nociones de grafo y de dígrafo pueden ser trabajadas como un ente matemático, tienen numerosas aplicaciones y aportan a la comprensión y simplicidad en distintos temas matemáticos. En este trabajo, se muestra que, determinados problemas aleatorios, que pueden ser resueltos por diversos caminos, encuentran en los grafos una herramienta sencilla y práctica para llegar a la solución. La simulación de procesos aleatorios a través de grafos hace accesible a los alumnos problemas cuyo tratamiento formal o teórico es difícil o inadecuado, esto ocurre en procesos que dependen del tiempo y que a veces requieren de un intervalo temporal infinito

Leo pero no comprendo. Una experiencia con ingresantes universitarios

En el campo de la resolución de problemas matemáticos es innegable la contribución de G.Polya (1887-1985) en su obra de 1940: ¿Cómo plantear y resolver problemas?, el modelo que propone coincide en sus rasgos generales con otros descriptos más recientemente. Según este ya clásico modelo de Polya, las fases o etapas en la actividad de resolución de problemas son cuatro. Nosotras nos detendremos en la primera etapa: “comprender el problema”, que involucra fundamentalmente el análisis y la comprensión del texto del problema. El análisis del enunciado tiene como función principal la elaboración y representación de las relaciones específicas del problema. Es el paso del lenguaje corriente (estado inicial del texto) al lenguaje matemático. En general los alumnos que realizan una lectura superficial y fragmentaria del texto del problema dirigen su atención hacia algunas componentes del mismo, es posible que se detengan en los datos numéricos, sin considerar las relaciones que mantienen entre sí, y además dejen de lado condiciones y preguntas no explícitas directamente en el texto. En este trabajo analizamos el comportamiento de los alumnos al resolver dos problemas tomados en el examen diagnóstico para ingresantes a la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales – Universidad Nacional de San Luis, República Argentina (2002). Se pone en evidencia la influencia de las componentes semántica y sintáctica y de la estructura lógica del enunciado del problema en la determinación de la solución o de la vía de solución elegida. Presentamos consideraciones sobre las dificultades encontradas, ejemplificamos dichas situaciones y finalmente emitimos algunas conclusiones

El problema del viajante: recorridos hamiltonianos

En el contexto de una convicción que sostenemos desde hace varios años y a partir de distintas investigaciones que hemos realizado con el fin de evaluar la viabilidad de introducir algunos conceptos de grafos en distintos niveles educativos, nos volvemos a plantear cuáles y cuántos de ellos son adecuados para llevar a las aulas de primaria y secundaria. Este trabajo, en particular, se refiere a los grafos hamiltonianos, como el mismo es un problema aún abierto no lo habíamos trabajado específicamente en estos niveles. Este trabajo tiene como objetivo presentar las actividades llevadas a cabo con niños de distintas edades, las que consideramos permiten a los alumnos construir el concepto de recorrido hamiltoniano con el fin de identificar edades mínimas para cada propuesta y a partir de esto es posible dar una cierta graduación de los contenidos en cada uno de los niveles

Modelización de problemas estadísticos mediante grafos

El concepto de probabilidad puede ser abordado de distintas maneras de acuerdo con las edades evolutivas de los estudiantes. En nuestro caso, trabajaremos con el concepto de probabilidad “a priori” ya que está pensado para estudiantes universitarios. Es interesante descubrir las numerosas aplicaciones de los grafos y cuánto aportan a la comprensión y simplicidad en distintos temas matemáticos. Determinados problemas aleatorios encuentran en los grafos una herramienta sencilla y práctica para llegar a la solución. Los grafos pueden modelizar problemas estocásticos en los que se quiere calcular la probabilidad de que el sistema se encuentre en un determinado estado transcurrido cierto tiempo, ya que el árbol estadístico no permitiría una representación adecuada, pues tendría una cantidad infinita de ramas. Estudiando las propiedades que relacionan las teorías de grafos y de probabilidades, se encontró que en problemas que puedan ser representados por un grafo balanceado y las probabilidades de transición que parten de un mismo estado son iguales, se pueden obtener las probabilidades de cada estado haciendo los cocientes entre el número de arcos que llegan a un determinado vértice y el número total de arcos. Así, el modelar procesos estocásticos infinitos con grafos simplifica enormemente el trabajo algebraico

Los grafos como modelos matematicos

El eje de este taller es el trabajo con grafos desde el punto de vista de modelos matemáticos. Se presentarán distintas concepciones de modelos y en particular de modelos matemáticos, para luego presentar distintas situaciones, intra-matemáticas como extra-matemáticas en las que los grafos son "modelos potentes" para su comprensión. Esta propuesta tiene por finalidad transferir algunos conceptos de este tema a los asistentes, ya sean docentes en formación o en ejercicio. Se presentarán ejemplos de modelizaciones en base a ejemplos históricos, aplicaciones actuales y modelos intra-matemáticos, relacionados con propiedades de números, con estadística y con poliedros. También se trabajará sobre la existencia de problemas abiertos de sencilla comprensión en esta temática, como son los referidos a los recorridos hamiltonianos

Recorriendo grafos a lo largo de la Educación General Básica

Creemos que los grafos constituyen una buena herramienta para conceptualizar situaciones, para extraer pautas y entender esquemas y lograr transferirlos a situaciones nuevas. Como no hay necesidad de ser un experto en el tema para usarlos con cierta soltura, vemos que el introducir algunos conceptos de grafos resulta útil para despertar el interés por la matemática, para ayudar al desarrollo lógico y a la visión espacial, también actúa como formador de la intuición y sostén del razonamiento abstracto. Podemos citar nuevamente a Coriat: “Por medio de los grafos se facilita el acceso de los alumnos a sus propias estrategias de aprendizaje, no porque estas se describan necesariamente mediante grafos, sino porque el ir y venir entre situaciones y estructuras puede facilitar la toma de conciencia de los propios procesos metacognitivos”. Tenemos la suerte que todo lo que tiene que ver con grafos, no lo hemos aprendido en nuestra etapa de escolaridad, sino en una etapa de autodidaxis y sin un orden impuesto. De ahí surgió la idea de generar talleres para docentes y para alumnos, donde se estudien estos temas de manera diferente, con toda la libertad y la diversidad de caminos que esta metodología permite. Y pudimos hacerlo, y pudimos jugar y divertirnos, explorar y equivocarnos. Pudimos dar la oportunidad a los chicos de convertirse en verdaderos investigadores y generadores de conocimientos. Por eso, nuestra propuesta es, generar un espacio creativo en las aulas y/o en horarios extraescolares, aprovechando estos temas, los que pudimos comprobar resultan atractivos y no por eso menos formativos del pensamiento matemátic

Histórias em Intercompreensão: a voz dos autores

Este relatório foi elaborado no âmbito do lote 7 (Inserção Curricular da Intercompreensão) do projeto MIRIADI. Trata-se de um lote cujo objetivo é desenvolver processos de integração curricular da Intercompreensão (IC) à distância em grupos plurilingues, a partir de trabalhos experimentais levados a cabo no terreno e realizados numa lógica de investigação-ação, tendo em vista compreender as “condições de exequibilidade” desta abordagem didática nos curricula de aprendizagem de línguas e de formação. Procura-se, em particular, identificar empiricamente permeabilidades e resistências dos contextos e dos atores educativos face à IC como conceito prático com relevância profissional, bem como vantagens e limites do ponto de vista da aprendizagem linguística que possam justificar o seu valor educativo. A Intercompreensão tem vindo, nas últimas décadas, a percorrer um percurso de destaque em Didática de Línguas (sobretudo Estrangeiras) na Europa e fora dela, em particular no âmbito das atuais abordagens plurais, ocupando um lugar de visibilidade nos discursos e práticas de investigação e formação desta disciplina e contribuindo para a tonalidade da sua voz mais propriamente politico-ideológica (Alarcão, Andrade, Araújo e Sá, Melo-Pfeifer & Santos, 2009). Contudo, a presença do conceito nos espaços concretos de educação em línguas (tais como escolas, liceus, universidades e outras instituições) é extremamente débil, limitando-se a algumas experiências pontuais, sob o impulso (e mesmo a condução), na maior parte dos casos, dos investigadores e tendo como finalidade principal a produção de conhecimento didático (Degache & Tavares, 2011). Assim, pouco se sabe ainda do que pode ser efetivamente o contributo da IC para o projeto educativo das instituições, e muito menos do modo como o conceito pode ser integrado em práticas curriculares continuadas e sistemáticas de educação em línguas, sabendo-se que estas mesmas práticas são reguladas por múltiplas instâncias, internas e externas, objetivas e subjetivas, que atuam a vários níveis (macro, meso, micro) e que não podem deixar de ser consideradas. O lote 7 de Miriadi propõe abordar estas questões, relativas à integração curricular da IC, a partir de uma outra lógica epistemológica, uma lógica que não busca propostas desenhadas a partir dos resultados da investigação e orientadas para a transferência do conhecimento, ou seja, que não reflete uma perspetiva aplicacionista do saber didático. Ao invés, o trabalho realizado por este lote entende o currículo como uma construção dinâmica que se (re)define e se (re)negocia em função dos contextos específicos em que ocorre, atribuindo-lhe por conseguinte uma natureza contingente, situada, intersubjetiva e local. Nesta perspetiva sócio-construtivista, em que o currículo é uma co-construção que ocorre entre sujeitos precisos nas suas ações educativas quotidianas, a integração curricular da IC produz-se no âmbito destas ações, ou, dito de outra forma, através de práticas situadas nas especificidades e possibilidades que oferecem os contextos concretos, em particular os sujeitos que deles fazem parte. Esta perspetiva de trabalho do lote 7 parece-nos ser a mais coerente com o posicionamento teórico relativamente à IC enquanto conceito didático do projeto MIRIADI. Com efeito, está amplamente estudado que a IC tem vindo a ser tratada segundo diferentes pontos de vista, de acordo com as escolas epistemológicas e as proveniências e ancoragens disciplinares dos seus autores (para uma revisão recente, ver Araújo e Sá, 2013; Olliver, 2013). No âmbito do percurso específico de investigação/formação/intervenção do grupo e-Gala (www.e-gala.eu), no seio do qual emergiu MIRIADI, em particular das suas mais disseminadas realizações – as plataformas Galanet (www.galanet.eu) e Galapro (www-galapro.eu/sessions) -, a IC é abordada numa perspetiva socio-construtivista do saber e da relação comunicativa. Dito de outra forma, MIRIADI define a IC como um processo e uma prática interacional que ocorre entre sujeitos, atores sociais que vivem em diferentes línguas e que se implicam coletivamente num quadro dialógico “où le grand enjeu devient la construction d’un territoire de parole partagé” (Araújo e Sá, Degache & Spita, 2010: 26). Esta aceção interacionista (e plurilingue e intercultural) é complementada pelo recurso a meios de comunicação tecnológicos. Definido o enquadramento conceptual e metodológico do lote7, importa agora explicitar como se desenvolveu o trabalho ao longo dos seus 36 meses de execução. O lote organizou-se em 3 grandes etapas, que envolveram toda a equipa: Etapa 1. Identificação e caracterização de contextos de ensino e formação linguística suscetíveis de poderem beneficiar de uma integração curricular da IC (plurilingue e à distância) (os resultados desta etapa encontram-se na Prestation 7.1. do projeto, referida na nota anterior). Etapa 2. Planificação e desenvolvimento de múltiplas e diversificadas iniciativas de divulgação da IC nesses mesmos contextos, destinadas à comunidade educativa na generalidade (públicos, professores/formadores, órgãos de gestão, funcionários, etc.), tendo em vista a sua familiarização com a IC enquanto conceito didático e prática de educação em línguas, de modo a criar condições (e aberturas) para a sua integração curricular; uma atenção especial foi dada à formação dos agentes educativos. Etapa 3. Planificação, experimentação e avaliação, numa lógica de investigação-ação e em rede (aproveitando-se as potencialidades das plataformas Galapro e Galanet), de propostas de integração curricular da IC; pretendia-se, em especial, com estas propostas, identificar contributos da IC para a qualidade dos projetos educativos dos contextos de integração caracterizados (na etapa 1), mas também constrangimentos, fragilidades, obstáculos e resistências, numa abordagem crítica do conceito que fosse sensível às propriedades dos espaços-alvo de educação em línguas. Neste sentido, foram recolhidos, analisados e discutidos, em função das suas características contextuais (definidas na etapa 1), dados empíricos de natureza diversa (produções dos alunos, transcrições de excertos de aulas, testemunhos espontâneos de alunos e professores, respostas a questionários, entre outros). Este Rapport é um produto da Etapa 3. Trata-se de um documento multimédia, que pretende dar acesso sistematizado e crítico aos discursos e vozes de sujeitos reais que experienciaram propostas didáticas concretas de IC elaboradas durante esta etapa do lote. Mais concretamente, este relatório oferece 6 narrativas de estudos de caso (3 em contexto de ensino secundário e outros 3 no ensino superior), realizados em vários países (Brasil, França, Itália Portugal e República da Maurícia), contendo uma descrição detalhada das situações educativas experimentadas e uma análise dos dados recolhidos, com apresentação dos recursos e materiais utilizados e testemunhos dos sujeitos concretos (professores e alunos). Incluem-se igualmente os instrumentos de recolha de dados e alguns exemplos dos mesmos. Cada narrativa obedece a uma mesma estrutura discursiva, de forma a mais facilmente poderem ser comparáveis, permitindo a extração de conclusões transversais aos vários estudos: introdução; descrição do contexto de intervenção; descrição da intervenção (objetivos, atividades, com acesso aos recursos utilizados, e avaliação); resultados obtidos; conclusões e implicações A secção final, “Témoignages”, apresenta-se sob a forma de um conjunto de vídeos e podcasts, identificados de acordo com a instituição parceira do projeto que os recolheu e organizados segundo três critérios: • as línguas dos locutores (espanhol, francês, italiano e português); • os contextos de formação onde decorreram as experiências de IC (ensino secundário e ensino universitário); • o tipo de intervenientes nas experiências de IC (alunos ou professores). Assume-se mais uma vez, neste Rapport, as dinâmicas de trabalho plurilingue da equipa Miriadi, cuja rentabilidade para a produção do conhecimento didático foi analisada e evidenciada no âmbito de projetos anteriores (ver Melo-Pfeifer, 2014) e se encontra ilustrada, numa outra linguagem, nos nossos postais (disponíveis no Facebook). Assim, com exceção desta introdução, que foi traduzida para francês (ver acima), o documento encontra-se nas línguas de trabalho dos membros da equipa que o redigiram.Ce rapport a été préparé par le lot 7 (Insertion Curriculaire de l’Intercompréhension) du projet MIRIADI. Il s'agit d'un lot dont l’objectif est de développer des processus d’intégration curriculaire de l’Intercompréhension (IC) à distance dans des groupes plurilingues, à partir de travaux expérimentaux menés sur le terrain et réalisés dans une logique de recherche-action, pour comprendre les "conditions de faisabilité" de cette approche didactique dans les programmes d'apprentissage et de formation. Il est question, en particulier, d'identifier empiriquement des perméabilités et des résistances des contextes (abordés à partir d’une approche holistique) et des acteurs éducatifs confrontés à l’IC en tant que concept pratique à visée professionnelle. L'intercompréhension a, au cours des dernières décennies, réalisé un parcours marquant dans l'enseignement des Langues (principalement Étrangères) en Europe et en dehors, en particulier dans le contexte des approches plurielles, occupant une place de grande visibilité dans les discours et dans les pratiques de recherche et de formation de cette discipline et lui apportant une nette tonalité idéologique qui contribue pour la définition de sa voix politique (Alarcão, Andrade, Araújo e Sá, Melo-Pfeifer & Santos, 2009). Cependant, la circulation du concept sur les terrains de l'éducation en langues (tels que les écoles, les collèges, les universités et autres institutions) est très faible, limitée à quelques expériences ponctuelles, sous l'impulsion (et même la conduite), dans la plupart cas, des chercheurs, le but principal étant la production du savoir didactique (Degache & Tavares, 2011). Ainsi, on en sait peu sur ce que peut effectivement être la contribution de l'IC pour le projet éducatif des établissements d'enseignement, et encore moins sur la manière dont elle peut être intégrée dans les pratiques curriculaires continues et systématiques en langues, sachant que ces mêmes pratiques sont réglementées par plusieurs instances, internes et externes, objectives et subjectives, qui agissent à différents niveaux (macro, méso, micro) et qui ne peuvent manquer d'être prises en considération. Le lot 7 de Miriadi propose d’aborder ces questions, liées à l'intégration curriculaire de l’IC, à partir d'une autre logique épistémologique : une logique qui ne cherche pas des propositions obtenues à partir des résultats de la recherche et orientées vers le transfert de connaissance, c'est-à-dire qui ne reflète pas une perspective applicationniste du savoir didactique. Dans un autre sens, on comprend le curriculum comme une construction dynamique qui se fait entre des sujets dans leurs activités éducatives quotidiennes et qui se (re)définit et se (re)négocie selon les contextes, lui donnant un caractère contingent, situé, intersubjectif et local. Dans cette perspective socio-constructiviste, l'intégration curriculaire de l’IC se produit dans ces activités, à travers des pratiques situées dans les spécificités et les possibilités offertes par les contextes concrets, en particulier par les sujets qui les construisent. Cette approche de travail du lot 7 nous semble être la plus cohérente par rapport au positionnement théorique de l’IC en tant que concept didactique du projet MIRIADI. En effet, il est largement connu que l'IC est abordée selon différents points de vue, dépendants des écoles épistémologiques et des origines et ancrages disciplinaires de leurs auteurs (pour une révision, voir Araújo e Sá, 2013; Olliver, 2013 ). Dans le parcours spécifique du groupe de recherche / formation / intervention e-Gala (www.e-gala.eu), duquel a émergé MIRIADI, et en particulier de ses réalisations les plus répandues Galanet (www.galanet.eu) et Galapro (www-galapro.eu/sessions), l’IC est abordée dans une perspective socio-constructiviste du savoir et de la relation communicative, c'est-à-dire comme un processus et une pratique interactionnelle qui se produit entre individus, acteurs sociaux qui vivent dans différentes langues et qui s’ impliquent collectivement dans un cadre dialogique “où le grand enjeu devient la construction d’un territoire de parole partagé” (Araújo e Sá, Degache & Spita, 2010: 26). Ce sens interactionnel (et plurilingue et interculturel) est complété par l'utilisation de la communication technologique. L’encadrement conceptuel et méthodologique du lot 7 étant défini, nous présentons maintenant le plan de travail du lot au cours de ses 36 mois de mise en œuvre. Le lot a été organisé en trois grandes étapes, qui ont impliqué la participation de toute l'équipe: Étape 1. Identification et caractérisation des contextes d'enseignement et de formation linguistique susceptibles de bénéficier d'une intégration curriculaire de l'IC (plurilingue et à distance) (les résultats de cette étape se trouvent dans la Prestation 7.1. du projet, voir note antérieure). Étape 2. Planification et développement de multiples initiatives de diffusion de l’IC dans ces contextes, adressées à la communauté éducative en général (publics-cibles, enseignants / formateurs, organes de gestion, autres personnels, etc.), afin de se familiariser avec l'IC en tant que concept didactique et pratique d’éducation en langues, de manière à créer les conditions (et ouvertures) pour son intégration curriculaire; une attention particulière est accordée à la formation des agents éducatifs. Étape 3. Planification, expérimentation et évaluation, dans une logique de recherche-action et de mise en réseau, de propositions d'intégration curriculaire de l’IC; il visait, en particulier, avec ces propositions, identifier non seulement les contributions de l’IC à la qualité des projets éducatifs des contextes d'intégration caractérisés (dans l’étape 1), mais aussi les contraintes, les faiblesses, les obstacles et les résistances, dans une approche critique du concept qui soit sensible aux spécificités des espaces-cible de l'éducation en langues. En ce sens, des données empiriques de nature diverse (productions d’étudiants, témoignages d'étudiants et d'enseignants, réponses à des questionnaires, transcriptions d’extraits de cours, entre autres) ont été recueillies, analysées et discutées, en fonction de leurs caractéristiques contextuelles (définis à l'étape 1). Ce Rapport est un produit de l'étape 3. Il s’agit d’un document multimédia qui donne accès aux discours et voix des sujets réels qui ont expérimenté les propositions didactiques de l’IC développés au cours de cette dernière étape du lot. En particulier, ce rapport propose six récits d'études de cas (3 dans un contexte d’enseignement secondaire et 3 autres dans l'enseignement supérieur), menées dans divers pays (Brésil, France, Italie, Portugal et la République de Maurice), contenant une description détaillée des situations éducatives expérimentées et une analyse des données recueillies, avec la présentation des ressources et des matériaux utilisés et des témoignages de sujets (enseignants et étudiants). Il comprend également des outils de collecte de données et quelques exemples de celles-ci. Chaque récit suit la même structure du discours, afin qu'ils puissent être plus facilement comparés, permettant l’obtention de conclusions transversales aux différentes études: introduction; description du contexte d'intervention; description de l'intervention (objectifs, activités, avec accès aux ressources utilisées, et évaluation); résultats obtenus; conclusions et implications La dernière section, "Témoignages", se présente sous la forme d'un ensemble de vidéos et de podcasts, identifiés conformément à l'institution partenaire du projet qui les a recueilli et organisés selon trois critères: • les langues des locuteurs (espagnol, français, italien et portugais); • les contextes de formation où ont eu lieu les expériences de l’lC (enseignement secondaire et universitaire); • le type d’intervenants dans les expériences d’IC (étudiants ou enseignants). Dans ce Rapport, nous assumons les dynamiques de travail plurilingue de l’équipe Miriadi, dont la rentabilité pour la production de la connaissance didactique a été analysée et démontrée dans le cadre de projets antérieurs (voir Melo-Pfeifer, 2014) et qui a été illustré, dans un autre langage, dans nos cartes-postales (disponibles sur Facebook). Ainsi, à l’exception de cette Introduction, qui a été traduite du portugais, ce document se trouve rédigé dans les langues de travail des membres de l’équipe qui l’ont élaboré