29 research outputs found
Minimal Ramsey graphs, orthogonal Latin squares, and hyperplane coverings
This thesis consists of three independent parts.
The first part of the thesis is concerned with Ramsey theory. Given an integer , a graph is said to be \emph{-Ramsey} for another graph if in any -edge-coloring of there exists a monochromatic copy of . The central line of research in this area investigates the smallest number of vertices in a -Ramsey graph for a given . In this thesis, we explore two different directions. First, we will be interested in the smallest possible minimum degree of a minimal (with respect to subgraph inclusion) -Ramsey graph for a given . This line of research was initiated by Burr, Erdős, and Lovász in the 1970s. We study the minimum degree of a minimal Ramsey graph for a random graph and investigate how many vertices of small degree a minimal Ramsey graph for a given can contain. We also consider the minimum degree problem in a more general asymmetric setting. Second, it is interesting to ask how small modifications to the graph affect the corresponding collection of -Ramsey graphs. Building upon the work of Fox, Grinshpun, Liebenau, Person, and Szabó and Rödl and Siggers, we prove that adding even a single pendent edge to the complete graph changes the collection of 2-Ramsey graphs significantly.
The second part of the thesis deals with orthogonal Latin squares. A {\em Latin square of order } is an array with entries in such that each integer appears exactly once in every row and every column. Two Latin squares and are said to be {\em orthogonal} if, for all , there is a unique pair such that and ; a system of {\em mutually orthogonal Latin squares}, or a {\em -MOLS}, is a set of pairwise orthogonal Latin squares. Motivated by a well-known result determining the number of different Latin squares of order log-asymptotically, we study the number of -MOLS of order . Earlier results on this problem were obtained by Donovan and Grannell and Keevash and Luria. We establish new upper bounds for a wide range of values of . We also prove a new, log-asymptotically tight, bound on the maximum number of other squares a single Latin square can be orthogonal to.
The third part of the thesis is concerned with grid coverings with multiplicities. In particular, we study the minimum number of hyperplanes necessary to cover all points but one of a given finite grid at least times, while covering the remaining point fewer times. We study this problem for the grid , determining the number exactly when one of the parameters and is much larger than the other and asymptotically in all other cases. This generalizes a classic result of Jamison for . Additionally, motivated by the recent work of Clifton and Huang and Sauermann and Wigderson for the hypercube , we study hyperplane coverings for different grids over , under the stricter condition that the remaining point is omitted completely. We focus on two-dimensional real grids, showing a variety of results and demonstrating that already this setting offers a range of possible behaviors.Diese Dissertation besteht aus drei unabh\"angigen Teilen.
Der erste Teil beschäftigt sich mit Ramseytheorie. Für eine ganze Zahl nennt man einen Graphen \emph{-Ramsey} f\"ur einen anderen Graphen , wenn jede Kantenf\"arbung mit Farben einen einfarbigen Teilgraphen enthält, der isomorph zu ist. Das zentrale Problem in diesem Gebiet ist die minimale Anzahl von Knoten in einem solchen Graphen zu bestimmen. In dieser Dissertation betrachten wir zwei verschiedene Varianten. Als erstes, beschäftigen wir uns mit dem kleinstm\"oglichen Minimalgrad eines minimalen (bezüglich Teilgraphen) -Ramsey-Graphen f\"ur einen gegebenen Graphen . Diese Frage wurde zuerst von Burr, Erd\H{o}s und Lov\'asz in den 1970er-Jahren studiert. Wir betrachten dieses Problem f\"ur einen Zufallsgraphen und untersuchen, wie viele Knoten kleinen Grades ein Ramsey-Graph f\"ur gegebenes enthalten kann. Wir untersuchen auch eine asymmetrische Verallgemeinerung des Minimalgradproblems. Als zweites betrachten wir die Frage, wie sich die Menge aller -Ramsey-Graphen f\"ur verändert, wenn wir den Graphen modifizieren. Aufbauend auf den Arbeiten von Fox, Grinshpun, Liebenau, Person und Szabó und Rödl und Siggers beweisen wir, dass bereits der Graph, der aus mit einer h\"angenden Kante besteht, eine sehr unterschiedliche Menge von 2-Ramsey-Graphen besitzt im Vergleich zu .
Im zweiten Teil geht es um orthogonale lateinische Quadrate. Ein \emph{lateinisches Quadrat der Ordnung } ist eine -Matrix, gef\"ullt mit den Zahlen aus , in der jede Zahl genau einmal pro Zeile und einmal pro Spalte auftritt. Zwei lateinische Quadrate sind \emph{orthogonal} zueinander, wenn f\"ur alle genau ein Paar existiert, sodass es und gilt. Ein \emph{k-MOLS der Ordnung } ist eine Menge von lateinischen Quadraten, die paarweise orthogonal sind. Motiviert von einem bekannten Resultat, welches die Anzahl von lateinischen Quadraten der Ordnung log-asymptotisch bestimmt, untersuchen wir die Frage, wie viele -MOLS der Ordnung es gibt. Dies wurde bereits von Donovan und Grannell und Keevash und Luria studiert. Wir verbessern die beste obere Schranke f\"ur einen breiten Bereich von Parametern . Zusätzlich bestimmen wir log-asymptotisch zu wie viele anderen lateinischen Quadraten ein lateinisches Quadrat orthogonal sein kann.
Im dritten Teil studieren wir, wie viele Hyperebenen notwendig sind, um die Punkte eines endlichen Gitters zu überdecken, sodass ein bestimmter Punkt maximal -mal bedeckt ist und alle andere mindestens -mal. Wir untersuchen diese Anzahl f\"ur das Gitter asymptotisch und sogar genau, wenn eins von und viel größer als das andere ist. Dies verallgemeinert ein Ergebnis von Jamison für den Fall . Au{\ss}erdem betrachten wir dieses Problem f\"ur Gitter im reellen Vektorraum, wenn der spezielle Punkt überhaupt nicht bedeckt ist. Dies ist durch die Arbeiten von Clifton und Huang und Sauermann und Wigderson motiviert, die den Hyperwürfel untersucht haben. Wir konzentrieren uns auf zwei-dimensionale Gitter und zeigen, dass schon diese sich sehr unterschiedlich verhalten können
Interval Orders with Restrictions on the Interval Lengths
This thesis examines several classes of interval orders arising from restrictions on the permissible interval lengths. We first provide an accessible proof of the characterization theorem for the class of interval orders representable with lengths between 1 and k for each k in {1,2,...}. We then consider the interval orders representable with lengths exactly 1 and k for k in {0,1,...}. We characterize the class of interval orders representable with lengths 0 and 1, both structurally and algorithmically. To study the other classes in this family, we consider a related problem, in which each interval has a prescribed length. We derive a necessary and sufficient condition for an interval order to have a representation with a given set of prescribed lengths. Using this result, we provide a necessary condition for an interval order to have a representation with lengths 1 and 2
Ramsey goodness of <i>k</i>-uniform paths, or the lack thereof
Given a pair of k-uniform hypergraphs (G,H), the Ramsey number of (G,H), denoted by R(G,H), is the smallest integer n such that in every red/blue-colouring of the edges of Kn(k) there exists a red copy of G or a blue copy of ~H. Burr showed that, for any pair of graphs (G,H), where G is large and connected, R(G,H)≥(v(G)−1)(χ(H)−1)+σ(H), where σ(H) stands for the minimum size of a colour class over all proper χ(H)-colourings of H. We say that G is H-good if R(G,H) is equal to the general lower bound. Burr showed that, for any graph ~H, every sufficiently long path is H-good.Our goal is to explore the notion of Ramsey goodness in the setting of k-uniform hypergraphs. We demonstrate that, in stark contrast to the graph case, k-uniform ℓ-paths are not H-good for a large class of k-graphs. On the other hand, we prove that long loose paths are always at least asymptotically H-good for every H and derive lower and upper bounds that are best possible in a certain sense.In the 3-uniform setting, we complement our negative result with a positive one, in which we determine the Ramsey number asymptotically for pairs containing a long tight path and a 3-graph H when H belongs to a certain family of hypergraphs. This extends a result of Balogh, Clemen, Skokan, and Wagner for the Fano plane asymptotically to a much larger family of 3-graphs
Enumerating extensions of mutually orthogonal Latin squares
Two n×n Latin squares L1,L2 are said to be orthogonal if, for every ordered pair (x, y) of symbols, there are coordinates (i, j) such that L1(i,j)=x and L2(i,j)=y. A k-MOLS is a sequence of k pairwise-orthogonal Latin squares, and the existence and enumeration of these objects has attracted a great deal of attention. Recent work of Keevash and Luria provides, for all fixed k, log-asymptotically tight bounds on the number of k-MOLS. To study the situation when k grows with n, we bound the number of ways a k-MOLS can be extended to a (k+1)-MOLS. These bounds are again tight for constant k, and allow us to deduce upper bounds on the total number of k-MOLS for all k. These bounds are close to tight even for k linear in n, and readily generalise to the broader class of gerechte designs, which include Sudoku squares