Stability estimates for a Robin coefficient in the two-dimensional Stokes system

In this paper, we consider the Stokes equations and we are concerned with the inverse problem of identifying a Robin coefficient on some non accessible part of the boundary from available data on the other part of the boundary. We first study the identifiability of the Robin coefficient and then we establish a stability estimate of logarithm type thanks to a Carleman inequality due to A. L. Bukhgeim and under the assumption that the velocity of a given reference solution stays far from 0 on a part of the boundary where Robin conditions are prescribed

Etude mathématique et numérique de modèles issus du domaine biomédical

Ce mémoire présente les travaux de recherche réalisés depuis la fin de mon doctorat. Ils s’articulent autour de trois thématiques : l’analyse mathématique des problèmes d’interaction fluide-structure, l’identification de paramètres pour un modèle simplifié d’écoulement de l’air dans l’arbre respiratoire, l’étude mathématique et numérique de modèles d’électrophysiologie cardiaque.Dans la première partie de ce mémoire, les travaux présentés se situent dans le prolongement de ceux réalisés durant mon doctorat et sont des contributions à l’analyse mathématique des problèmes d’interaction fluide-structure. Le fluide est modélisé par les équations de Navier-Stokes incompressible ou compressible et la structure est rigide ou élastique. Une série de travaux étudie l’existence et l’unicité de solution régulière. On aborde aussi l’étude de la contrôlabilité locale à zéro du problème d’interaction entre un fluide incompressible et une structure rigide : en considérant un contrôle qui agit sur une partie du domaine fluide, on cherche à amener l’ensemble fluide-structure au repos et à amener la structure à une certaine position.La seconde partie est consacrée aux problèmes inverses venant de la modélisation de l’air dans l’arbre respiratoire. On considère ici les équations de Stokes et l’objectif est d’identifier un coefficient de Robin (correspondant à une résistance dans l’arbre bronchique) qui intervient dans les conditions au bord sur une partie de la frontière à partir de mesures réalisées sur une autre partie de la frontière. Les résultats reposent sur des inégalités de Carleman locales et donnent une stabilité logarithmique des coefficients de Robin par rapport aux observations.Enfin, la troisième partie résume les résultats obtenus dans le domaine d’application de l’électrophysiologie cardiaque. Différentes sujets sont abordés : l’analyse mathématique des problèmes direct et inverse, l’obtention par des simulations numériques 3D d’électrocardiogrammes réalistes, l’identification numérique de paramètres et l’impact du bruit

On the interaction problem between a compressible fluid and a Saint-Venant Kirchhoff elastic structure

International audienceIn this paper, we consider an elastic structure immersed in a compressible viscous fluid. The motion of the fluid is described by the compressible Navier-Stokes equations whereas the motion of the structure is given by the nonlinear Saint-Venant Kirchhoff model. For this model, we prove the existence and uniqueness of regular solutions defined locally in time. To do so, we first rewrite the nonlinearity in the elasticity equation in an adequate way. Then, we introduce a linearized problem and prove that this problem admits a unique regular solution. To obtain time regularity on the solution, we use energy estimates on the unknowns and their successive derivatives in time and to obtain spatial regularity, we use elliptic estimates. At last, to come back to the nonlinear problem, we use a fixed point theorem

Local null controllability of a fluid-solid interaction problem in dimension 3

We are interested by the three-dimensional coupling between an incompressible fluid and a rigid body. The fluid is modeled by the Navier-Stokes equations, while the solid satisfies the Newton's laws. In the main result of the paper we prove that, with the help of a distributed control, we can drive the fluid and structure velocities to zero and the solid to a reference position provided that the initial velocities are small enough and the initial position of the structure is close to the reference position. This is done without any condition on the geometry of the rigid body

Stability estimates for some parameters of a reaction-diffusion equation coupled with an ODE

International audienceIn this work, we are interested by the monodomain equation which describes the evolution of the cardiac electrical potential and which corresponds to a coupled system involving a reaction-diffusion equation and an ordinary differential equation. We show Lipschitz stability inequalities for the identification of some parameters of the model from measurements on the cardiac potential and the ionic variable

Local null controllability of a fluid-solid interaction problem in dimension 3

International audienceWe are interested by the three-dimensional coupling between an incompressible fluid and a rigid body. The fluid is modeled by the Navier-Stokes equations, while the solid satisfies the Newton's laws. In the main result of the paper we prove that, with the help of a distributed control, we can drive the fluid and structure velocities to zero and the solid to a reference position provided that the initial velocities are small enough and the initial position of the structure is close to the reference position. This is done without any condition on the geometry of the rigid body