Devagar se vai ao longe: o ensino e a aprendizagem de conceitos matemáticos mais complexos desde o início da escolarização

Alguns conceitos matemáticos mais complexos podem ser trabalhados desde cedo na escola, a partir de situações mais simples e por uso de recursos adequados, proporcionando oportunidades para as crianças construírem ideias iniciais, as quais servirão de base para desenvolvimentos conceituais posteriores. A partir desses desenvolvimentos, raciocínios matemáticos diversos poderão ser ampliados. Ressalta-se, nesse trabalho de desenvolvimento de conceitos, o importante papel das representações simbólicas (Nunes, 1997; Vergnaud, 1987; Duval, 2012) e, para exemplificar, apresentarei resultados de pesquisas quanto a conhecimentos iniciais, por parte de crianças novas, de números inteiros, de situações probabilísticas e combinatórias, a partir do uso de registros de representação por elas construídos ou aprendidos. Também discutirei implicações educacionais – tais como a necessidade de maior articulação do trabalho entre os professores de distintos níveis de ensino e a necessidade de formação adequada dos professores (Ball, 1993), considerando-se o desenvolvimento de conceitos ao longo da escolarização básica

Antes que seja tarde: aprendendo combinatória desde o início da escolarização

O principal argumento desse texto – que a combinatória pode ser trabalhada desde os anos iniciais do ensino fundamental – baseia-se na observação de situações combinatórias no cotidiano das crianças; em recomendações curriculares; na verificação de que materiais didáticos já incluem diferentes tipos de situações combinatórias; em referenciais que defendem o longo processo de desenvolvimento de conceitos; e na constatação, em estudos anteriores, de que as crianças novas já são possuidoras de algumas noções combinatórias. Também são apresentados estudos que tiveram como objetivo analisar recursos para a aprendizagem da Combinatória no início da escolarização. Observou-se a eficácia do uso de material manipulativo, tais como figuras dos elementos de conjuntos dados, para o trabalho com crianças, desde a Educação Infantil e, também, material amparado no olfato e tato, para uma proposta inclusiva, junto a crianças com deficiência visual e crianças videntes. Verificou-se, também, que a construção de árvores de possibilidades – em lápis e papel ou no computador – é outro recurso que pode contribuir para a aprendizagem da combinatória por crianças nos anos iniciais do ensino fundamental, lançando, desse modo, bases para aprendizados posteriores

Investigating relationships between combinatorial and probabilistic reasonings in youth and adult education

We present the main findings of a master’s dissertation study that investigated the contributions that the exploration of combinatorial problems can bring to probabilistic reasoning and vice versa. In the light of the theoretical reference adopted (the theory of conceptual fields), we considered the different situations that give meaning to combinatorics and probability, their invariants and the symbolic representations/strategies used in the solving of the problems proposed. The relations established between combinatorial and probabilistic reasoning were the focus of the study. Data was collected with 24 students of Youth and Adult Education who were attending different phases of basic education. The influence of schooling, of the types of problems and of the order of presentation of these problems in the performance of the students was also analysed. Contributions to the investigated reasoning that emerged from the resolution of combinatorial and probabilistic problems were perceived. Therefore, the teaching of these areas of knowledge in an articulated way is recommended

CONSTRUINDO ÁRVORES DE POSSIBILIDADES VIRTUAIS: O QUE OS ALUNOS PODEM APRENDER DISCUTINDO RELAÇÕES COMBINATÓRIAS? BUILDING VIRTUAL TREES OF POSSIBILITIES: WHAT CAN STUDENTS LEARN BY DISCUSSING COMBINATORIAL RELATIONS?

Objetivando analisar a influência da construção de árvores de possibilidades na resolução de problemas combinatórios com o uso de um software educativo, a presente pesquisa se fundamentou na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1986), que defende a existência de três dimensões fundamentais de conceitos: significados, invariantes e representações simbólicas. Para isso, participaram da pesquisa 20 alunos do 5º ano do Ensino Fundamental de duas escolas da rede pública municipal do Recife, divididos em dois grupos. Os alunos participaram de um pré-teste, de distintas formas de intervenção e de pós-testes (imediato e posterior). O Grupo 1 (G1) construiu árvores de possibilidades fazendo uso do software Diagramas de Árbol e o Grupo 2 (G2) formou o Grupo Controle Assistido que trabalhou com problemas multiplicativos não combinatórios, por meio de desenhos. Com apenas uma sessão de intervenção foi possível obter avanços de alunos de anos iniciais do grupo experimental. O uso do software possibilitou avanços na compreensão de diferentes significados combinatórios, levando os alunos a refletirem sobre relações e propriedades das distintas situações. Conclui-se que é possível o trabalho com variados tipos de situações combinatórias desde os anos iniciais e por meio de representações simbólicas eficientes, como a árvore de possibilidades virtual. Deseja-se, assim, com essa pesquisa, contribuir para a reflexão sobre melhores possibilidades de ensino da Combinatória nos anos iniciais do Ensino Fundamental. With the aim of analysing the influence of building trees of possibilities in solving combinatorial problems with the use of an educational software, this research was based on the Theory of Conceptual Fields by Vergnaud (1986), which argues that there are three fundamental dimensions of concepts: meanings, symbolic representations and invariants. The participants were 20 5th grade students in the Elementary School of two public schools in the city of Recife, divided into two groups. Students participated in a pre-test, in different forms of intervention and in post-tests (immediate and delayed). Group 1 (G1) constructed trees of possibilities making use of the “Diagramas de Árbol” software and Group 2 (G2) formed the assisted control group who worked with multiplicative but not combinatorial problems, through drawings. With just one intervention session, significant quantitative and qualitative improvements were achieved by students of early years of the experimental group. The use of the software enabled advances in understanding different combinatorial meanings, leading students to reflect on relationships and properties of different situations.It is concluded that it is possible to work with different kinds of combinatorial situations since the Early Years and through efficient symbolic representations, such as the virtual tree of possibilities. Therefore, the research aims to contribute to the debate about the best possibilities of Combinatorics learning in the Early Years of Elementary School

Quem dança com quem: o desenvolvimento do raciocínio combinatório de crianças de 1ª a 4ª série

Neste estudo buscou-se levantar a compreensão de problemas combinatórios por alunos de 1ª a 4a série e observar as estratégias por eles utilizadas. Aplicou-se um teste envolvendo diferentes tipos de problemas (produto cartesiano, arranjo, combinação e permutação) e analisaram-se os acertos dos alunos, por série e por tipo de problema. Observaram-se avanços ao longo das séries, com melhores desempenhos nas séries posteriores. Os problemas de arranjo e permutação, nos quais a ordem dos elementos é importante, apresentaram percentuais baixos de acertos, provavelmente pela dificuldade em levantar todas as possibilidades. As estratégias variavam da total incompreensão das relações envolvidas, passando pela compreensão das relações sem esgotamento de possibilidades, até a identificação do produto que sintetizava a situação. Deve-se reconhecer que o raciocínio combinatório desenvolve-se dentro e fora da escola, sendo necessário que se enfatize a necessidade de os alunos levantarem de modo sistematizado todas as possibilidades de uma situação

Crianças comparando probabilidades em jogo com moedas

A probabilidade é um conceito bastante complexo que exige algumas demandas cognitivas que envolvem a compreensão da aleatoriedade, do espaço amostral, da comparação e quantificação de probabilidades e das correlações (Bryant e Nunes, 2012). O recorte do estudo explora a compreensão de crianças acerca da comparação de probabilidades de eventos com mesma chance ou com chances diferentes de ocorrência, utilizando-se o jogo Passeios Aleatórios da Rute (PAR). O estudo foi realizado com 36 crianças dos anos iniciais do Ensino Fundamental por meio de uma entrevista clínica individual. Problemas de probabilidade repousam sobre o cálculo de proporções, mas há casos que podem ser resolvidos considerando relações simples de ‘mais’ e ‘menos’ a partir da análise do espaço amostral. Em relação à chance igual de ocorrência de eventos, 22% dos estudantes julgaram adequadamente a situação. No que concerne chances diferentes, mais de 52% responderam corretamente. Em ambos os casos, poucos alunos apresentaram justificativas coerentes. Houve gradação na qualidade das justificativas apresentadas pelas crianças em relação à faixa etária e observou-se que o jogo PAR pode possibilitar ampliação da compreensão de crianças em início de escolarização acerca da comparação de probabilidades

Articulation between combinatorics and probability in middle school: Looking at Brazilian prescribed curriculums

III Congreso Internacional Virtual de Educación Estadística (CIVEEST), 21-24 febrero de 2019. [www.ugr.es/local/fqm126/civeest.html]O presente trabalho apresenta um recorte de um estudo de doutorado, em andamento, que tem por objetivo analisar a articulação entre combinatória e probabilidade nas diferentes instâncias do currículo dos anos finais do ensino fundamental no Brasil. No texto aqui apresentado são discutidos os primeiros resultados referentes ao currículo prescrito. Foram analisados dois documentos curriculares nacionais e um estadual à luz dos aportes teóricos adotados, visando levantar orientações ao ensino no que diz respeito à combinatória e à probabilidade. Além disso, buscou-se explicitar nesses documentos evidências da possibilidade e importância do desenvolvimento de um ensino articulado entre essas duas áreas da matemática, tendo em vista o desenvolvimento dos raciocínios combinatório e probabilístico.This paper presents part of an ongoing doctoral study that aims to analyse the articulation between combinatorics and probability in different instances of the curriculum of middle school in Brazil. In the text presented here we discuss the first results regarding the prescribed curriculum. Two national and one state curricular materials were analysed in light of theoretical contributions adopted, aiming to raise teaching guidelines regarding combinatorics and probability. In addition, we sought to make explicit in these documents evidences of the possibility and importance of developing an articulated teaching between these two areas of mathematics, in order to develop combinatorial reasoning and probabilistic reasoning

Lançando dados e moedas: relação de (in)dependência sob a ótica de crianças dos anos iniciais

A independência de eventos é condição fundamental para a aleatoriedade. A compreensão da aleatoriedade, por sua vez, se configura como uma das quatro exigências cognitivas para a apreensão da probabilidade, além da formação do espaço amostral, da comparação de probabilidades e do entendimento das correlações. Numa sequência aleatória, os eventos que se sucedem não possuem qualquer relação ou influência sobre os ensaios futuros, nem passados, ou seja, cada evento é independente. Todavia, crianças, e também adultos, são influenciados pela natureza da relação que eles julgam existir entre dois ou mais eventos. O presente artigo é um recorte de uma pesquisa que investigou noções probabilísticas de crianças do 1º, 3º e 5º anos, cujos dados foram obtidos a partir de entrevistas clínicas, as quais envolviam dois jogos. Os resultados apontaram que a maioria das crianças utilizou o significado intuitivo da probabilidade e que cometeram o erro de recência positiva ou de recência negativa, vislumbramos que o ensino de probabilidade pode dar-se desde os anos iniciais, a partir da utilização de jogos, considerando noções intuitivas que as crianças já possuem e possibilitando discussões que permitam avanços em seus raciocínios probabilísticos

Atividades de combinatória em livros da educação primária chilena

Este trabalho visa analisar as atividades de combinatória apresentadas em livros didáticos da Educação Primária do Chile. Realiza-se uma investigação sobre os tipos de problemas combinatórios, estratégias de resolução e/ou representação apresentadas e, ainda, uma discussão sobre em que eixos/blocos de conteúdos tais problemas foram observados. Os livros escolhidos foram selecionados para as escolas pelo Ministério de Educação de Chile para o ano de 2017. Os resultados indicam que este tema é pouco abordado ao longo da Educação Primária no Chile, o que acompanha as diretrizes curriculares chilenas. Os problemas combinatórios mais frequentemente apresentados são os de combinação, seguidos dos de produto cartesiano, arranjo e permutação, apesar de, na maioria das vezes, não serem focalizados o esgotamento de todas as possibilidades. As representações simbólicas mais presentes nesse tipo de problemas são a linguagem natural e a listagem e poucas situações promovem a conversão entre outras representações. A maioria dos problemas combinatórios se encontra no eixo de números e operações, seguidos de dados e probabilidade. A ausência de uma abordagem mais ampla da Combinatória nos livros chilenos pode impedir um desenvolvimento desde cedo do raciocínio combinatório