Estimation in models driven by fractional Brownian motion

Let $\{b_H(t),t\in\mathbb{R}\}$ be the fractional Brownian motion with parameter $0<H<1$. When $1/2<H$, we consider diffusion equations of the type $$X(t)=c+\int_0^t\sigma\bigl(X(u)\bigr)\mathrm {d}b_H(u)+\int _0^t\mu\bigl(X(u)\bigr)\mathrm {d}u.$$ In different particular models where $\sigma(x)=\sigma$ or $\sigma(x)=\sigma x$ and $\mu(x)=\mu$ or $\mu(x)=\mu x$, we propose a central limit theorem for estimators of $H$ and of $\sigma$ based on regression methods. Then we give tests of the hypothesis on $\sigma$ for these models. We also consider functional estimation on $\sigma(\cdot)$ in the above more general models based in the asymptotic behavior of functionals of the 2nd-order increments of the fBm.Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.1214/07-AIHP105 the Annales de l'Institut Henri Poincar\'e - Probabilit\'es et Statistiques (http://www.imstat.org/aihp/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

Kac-Rice formulas for random fields and theirs applications in: random geometry, roots of random polynomials and some engineering problems

International audienceThere exist two variants of the change of variables formula for multiple integrals very useful in integral geometry.The first one corresponds to smooth, locally bijective functions G from Rd to Rd and the second applies to smooth functions G from Rd to Rj with d>j, having a differential with maximal rank.These formulas are called "area formula" and "coarea formula" respectively.Applying these formulas to trajectories of random fields and taking expectation afterwards, one obtains the well-known Kac-Rice formulas.In recent times and fundamentally due to the appearance of two excellent books (Adler and Taylor, 2007) and (Azaïs and Wschebor, 2009), there has been a growing interest in the application of these formulas in such varied domains as: random algebraic geometry, algorithm complexity for solving large systems of equations, study of zeros of random polynomial systems and finally, engineering applications.The present work is divided in three parts.1. In the first part, we give an analytical proof of the area and coarea formulas. Such a proof, originally attributed to Banach and Federer (1969), will be made by using elementary tools of vector calculus and measure theory in Rd. 2. The above formulas form the basis for establishing the validity of Kac-Rice formulas for random fields. They allow computing the expectation of the measure of the level sets C_{Q,X}(y)={t in Q \subset Rd: X(t)=y}, where X: Omega x Rd to Rj is a random fields and d \ge j. We must point out that one can obtain a Kac-Rice formula for almost sure all level by using the area and coarea formulas, Fubini theorem and duality. However, in applications the interest is directed to a fixed level y. For instance, the zeros in the study of the roots of a random polynomial. This precision leads us to a delicate study for generalizing the classical inverse function and implicit function theorems. For this part we based our approach in two seminal works: firstly an article of E.Cabana (1985), published in the conference proceedings of the II CLAPEM and secondly in the Lecture Notes of Mathematics of M.Wshebor (1985). The method we use also makes it possible to obtain the Kac-Rice formula for the upper moments of the level measurement.3. The work ends with several applications. First, we show examples where the hypothesis can be checked and then we use the Kac-Rice formulas for obtaining conditions about the finiteness of the first and second moment of the measure of the level sets.The very important case of the Gaussian random fields leads us to explicitly computations.Afterwards, we address the study of the number of roots of algebraic and trigonometric random polynomials.We emphasize the asymptotic behavior of the expectation and the variance of the number of roots.Particular attention is devoted to systems of random polynomials of several variables that are invariant under the action of the group of rotations in Rd.Another theme we consider is the nodal curves of the system of random waves considered by Berry and Dennis (2000).These curves are called dislocations in physics and correspond to lines of darkness in light propagation, or threads of silence in sound propagation.We also study the application of the Kac-Rice formula to sea modeling and to random gravitational lenses

Approximation du temps local des champs aléatoires gaussiens stationnaires par régularisation des trajectoires

International audienceSoit $X(t)$, $t \in R^d$ un champ aléatoire gaussien centré stationnaire. Nous nous intéressons à la mesure d'aire $(d-1)$-dimensionnelle de l'ensemble des passages à niveau du champ régularisé par convolution. Sous certaines hypothèses et moyennant une normalisation appropriée, cette mesure aléatoire converge dans $L^2$ vers une limite coïncidant avec le temps local du champ $X$, lorsque celui-ci admet un temps local continu

Convergence de mesures géométriques normalisées d'ensembles de niveau des surfaces aléatoires vers le temps local

International audienceNous proposons une approximation $L^{2}$ du temps local évalué en $u$ d'un champ X, gaussien stationnaire indexé dans $R^{d}$, $d \ge 2$. Cette approximation est définie à l'aide d'une intégrale stochastique par rapport à la mesure géométrique de l'ensemble de niveau $u$, $u \in R$, du champ régularisé, obtenu par la composition d'une convoluée de $X$, soit $X_{\varepsilon}$, et d'une normalisation matricielle contenant une partie de l'nformation de la matrice des moments spectraux d'ordre deux de $X_{\varepsilon}$

Théorèmes centraux limites pour des fonctionnelles non-linéaires de processus Gaussiens et applications

International audienceNous étudions le comportement asymptotique de fonctionnelles non-linéaires de processus Gaussiens stationnaires puis appliquons cette étude au cas de fonctionnelles des accroissements du mouvement Brownien fractionnaire de paramètre 0&lt;H&lt;1.Comme application de cette dernière étude, nous considérons des fonctionnelles particulières, ce qui nous permet de proposer, d'une part des estimateurs du paramètre de Hurst H, et d'autre part, un estimateur de la variance d'une pseudo-diffusion. Les techniques utilisées permettant aussi de décrire le comportement asymptotique de fonctionnelles non-linéaires du pont empirique, nous proposons des résultats en estimation de densité sur la p-déviation ainsi que sur la déviation de Kullback

Surfaces aleatoires : approximation du temps local

SIGLECNRS T Bordereau / INIST-CNRS - Institut de l'Information Scientifique et TechniqueFRFranc

Surfaces aléatoires : approximation du temps local

Let { X(t,ω), t ∈ Rd, ω ∈ Ω ), d ≥ 2, be a real stationary gaussian field, defined on a probability space (Ω, A, P). We look at the asymptotic behavior of a particular stochastic integral, with respect to the geometric measure of the u-level sets, u ∈ R, of the regularized field, obtained by composition of a convolution of X, say Xε, with a matrix normalization which contains part of the information contained in the spectral moments matrix of second order of Xε.Under the condition that the covariance function is twice continuously differentiable out of a set of zero Lebesgue's measure, this functional converges in L2(Ω) to the local time of X at the level u.Furthermore, we give a bound for the speed of convergence.Soit { X(t,ω), t ∈ Rd, ω ∈ Ω ), d ≥ 2, un processus gaussien stationnaire, à valeurs réelles sur un espace de probabilité (Ω, A, P). Nous étudions le comportement asymptotique d'une intégrale stochastique particuliere, par rapport à la mesure géométrique de l'ensemble de niveau u, u ∈ R, du champ régularisé, obtenu par la composition d'une convoluée de X, soit Xε, et d'une normalisation matricielle contenant une partie de l'information de la matrice des moments spectraux d'ordre deux de Xε.Sous l'hypothèse que la fonction de covariance de X est deux fois continûment différentiable en dehors d'un ensemble de mesure de Lebesgue nulle dans Rd, cette intégrale converge dans L2(Ω) vers le temps local de X, évalué en u.En outre, une majoration de la vitesse de convergence est proposée, à une constante près

Convergence dans les modèles fractionnaires

International audienceNous rappelons les résultats de Cramér et Leadbetter (resp. de S.M. Berman) concernantla convergence (resp. la vitesse de convergence) de fonctionnelles non linéaires générales deprocessus Gaussiens stationnaires.Ceci étant fait, nous utilisons cette étude pour appréhender le devenir asymptotique defonctionnelles générales des accroissements du mouvement Brownien fractionnaire (mBf) deparamètre de Hurst H, 0&lt;H&lt;1. Puis en considérant des fonctionnelles particulières nousproposons diverses applications.La première propose des estimateurs du paramètre H vérifiant un TCL.Un deuxième type d’applications concerne l’estimation de paramètres dans des modèlesdirigés par un mBf. Plus précisément, pour une ”pseudo-diffusion” générale nous exhibonsdes estimateurs fonctionnels de la variance σ(·) et étudions leurs propriétés. Nous regardonsensuite des modèles particuliers où la variance ainsi que la dérive de la pseudo-diffusion ont desformes spécifiées et proposons des estimateurs ponctuels simultanés de σ(·) et de H vérifiantun TCL ainsi que des tests spécifiant la forme de la variance σ(·).Enfin, dans une troisième partie nous expliquons comment, via le théorème de Komlos-Major-Tusnady, nos techniques nous permettent de décrire le comportement asymptotique defonctionnelles du pont empirique. Ce faisant nous appliquons ces résultats en estimation dedensité en explicitant, comme l’ont fait avant nous Csörgo et Horvath, le devenir asymptotique de la déviation d’ordre p d’une densité que nous utiliserons ensuite pour décrire celuidu risque Kullback

Estimation of local anisotropy based on level sets

International audienceConsider an affine field X : R^2 → R, that is a process equal in law to Z(A.t), where Z is isotropic and A : R^2 → R^2 is a linear self-adjoint transformation. The field X and transformation A will be supposed to be respectively Gaussian and definite positive. Denote 0 < λ = λ_2 / λ_1 \le 1 the ratio of the eigenvalues of A, let λ_1, λ_2 with λ_2 \le λ_1. This paper is aimed at testing the null hypothesis " X is isotropic" versus the alternative " X is affine". Roughly speaking, this amounts to testing " λ = 1 " versus " λ < 1 ". By setting level u in R, this is implemented by the partial observations of process X through some particular level functionals viewed over a square T, which grows to R^2. This leads us to provide estimators for the affinity parameters that are shown to be almost surely consistent. Their asymptotic normality provide confidence intervals for parameters. This paper offered an important opportunity to study general level functionals near the level u, part of the difficulties arises from the fact that the topology of level set C_{T,X} (u) = {t ∈ T : X(t) = u} can be irregular, even if the trajectories of X are regular. A significant part of the paper is dedicated to show the L^2-continuity in the level u of these general functionals