Convergence dans les modèles fractionnaires

Abstract

International audienceNous rappelons les résultats de Cramér et Leadbetter (resp. de S.M. Berman) concernantla convergence (resp. la vitesse de convergence) de fonctionnelles non linéaires générales deprocessus Gaussiens stationnaires.Ceci étant fait, nous utilisons cette étude pour appréhender le devenir asymptotique defonctionnelles générales des accroissements du mouvement Brownien fractionnaire (mBf) deparamètre de Hurst H, 0<H<1. Puis en considérant des fonctionnelles particulières nousproposons diverses applications.La première propose des estimateurs du paramètre H vérifiant un TCL.Un deuxième type d’applications concerne l’estimation de paramètres dans des modèlesdirigés par un mBf. Plus précisément, pour une ”pseudo-diffusion” générale nous exhibonsdes estimateurs fonctionnels de la variance σ(·) et étudions leurs propriétés. Nous regardonsensuite des modèles particuliers où la variance ainsi que la dérive de la pseudo-diffusion ont desformes spécifiées et proposons des estimateurs ponctuels simultanés de σ(·) et de H vérifiantun TCL ainsi que des tests spécifiant la forme de la variance σ(·).Enfin, dans une troisième partie nous expliquons comment, via le théorème de Komlos-Major-Tusnady, nos techniques nous permettent de décrire le comportement asymptotique defonctionnelles du pont empirique. Ce faisant nous appliquons ces résultats en estimation dedensité en explicitant, comme l’ont fait avant nous Csörgo et Horvath, le devenir asymptotique de la déviation d’ordre p d’une densité que nous utiliserons ensuite pour décrire celuidu risque Kullback