The variance conjecture on projections of the cube

We prove that the uniform probability measure $\mu$ on every $(n-k)$-dimensional projection of the $n$-dimensional unit cube verifies the variance conjecture with an absolute constant $C$ $$\textrm{Var}_\mu|x|^2\leq C \sup_{\theta\in S^{n-1}}{\mathbb E}_\mu\langle x,\theta\rangle^2{\mathbb E}_\mu|x|^2,$$ provided that $1\leq k\leq\sqrt n$. We also prove that if $1\leq k\leq n^{\frac{2}{3}}(\log n)^{-\frac{1}{3}}$, the conjecture is true for the family of uniform probabilities on its projections on random $(n-k)$-dimensional subspaces

An extension of Berwald's inequality and its relation to Zhang's inequality

In this note prove the following Berwald-type inequality, showing that for any integrable log-concave function f:Rn→[0, ∞)and any concave function h :L →[0, ∞), where L ={(x, t) ∈Rn×[0, ∞) :f(x) ≥e−t‖f‖∞}, then p→⎛⎝1Γ(1 +p)∫Le−tdtdx∫Lhp(x, t)e−tdtdx⎞⎠1p is decreasing in p ∈(−1, ∞), extending the range of pwhere the monotonicity is known to hold true.As an application of this extension, we will provide a new proof of a functional form of Zhang’s reverse Petty projection inequality, recently obtained in [2]

La paradoja de Banach Tarski

En la primera parte del trabajo se prueba la paradoja de Banach Tarski, que afirma que podemos tomar una esfera, partirla en 5 trozos y desplazarlos mediante las isometrías del espacio de manera que se formen dos nuevas esferas del tamaño de la inicial. En la segunda parte, nos planteamos si el problema es posible en el plano. La respuesta es negativa pero surge el problema de congruencia entre polígonos, es decir, si un polígono puede partirse en trozos y moverlos como si se tratara de las piezas de un tangram para formar otro polígono distinto. La respuesta es que esto siempre es posible y la demostración se incluye en el trabajo. Finalmente, daremos una breve explicación de los conjuntos no medibles, ya que se trata de las piezas en las que partimos la esfera para que esto sea posible

On affine invariant and local Loomis-Whitney type inequalities

We prove various extensions of the Loomis-Whitney inequality and its dual, where the subspaces on which the projections (or sections) are considered are either spanned by vectors $w_i$ of a not necessarily orthonormal basis of $\mathbb{R}^n$, or their orthogonal complements. In order to prove such inequalities we estimate the constant in the Brascamp-Lieb inequality in terms of the vectors $w_i$. Restricted and functional versions of the inequality will also be considered

Productos infinitos

Un producto infinito es una expresión de la forma u1u2...un, siendo (un) números complejos. Análogamente a lo que sucede con series, nos preguntamos cuando un producto es convergente. Sin embargo, la definición de convergencia no es tan trivial como en el caso de una serie, debido a la posible existencia de algún término nulo. Afinaremos la definición de convergencia y daremos condiciones suficientes para garantizar la convergencia en términos de convergencias de series. Después pasaremos al producto de funciones complejas, donde la noción de convergencia uniforme será fundamental en su estudio. También trataremos la factorización de funciones enteras como producto de sus ceros, donde veremos que el conjunto de ceros no puede ser arbitrario, habiendo determinadas restricciones. Finalmente, veremos algunas aplicaciones de los productos infinitos en teoría de números, como los productos de Euler de funciones multiplicativas y las funciones generatrices para funciones de partición