Beating noise with abstention in state estimation

We address the problem of estimating pure qubit states with non-ideal (noisy) measurements in the multiple-copy scenario, where the data consists of a number N of identically prepared qubits. We show that the average fidelity of the estimates can increase significantly if the estimation protocol allows for inconclusive answers, or abstentions. We present the optimal such protocol and compute its fidelity for a given probability of abstention. The improvement over standard estimation, without abstention, can be viewed as an effective noise reduction. These and other results are exemplified for small values of N. For asymptotically large N, we derive analytical expressions of the fidelity and the probability of abstention, and show that for a fixed fidelity gain the latter decreases with N at an exponential rate given by a Kulback-Leibler (relative) entropy. As a byproduct, we obtain an asymptotic expression in terms of this very entropy of the probability that a system of N qubits, all prepared in the same state, has a given total angular momentum. We also discuss an extreme situation where noise increases with N and where estimation with abstention provides a most significant improvement as compared to the standard approach

Probabilistic quantum metrology

La Metrologia és el camp d’investigació sobre les eines estadístiques i el disseny tecnològic dels aparells de mesura necessaris per inferir informació precisa sobre paràmetres físics. En un sistema físic el soroll és inherent en última instància amb el de les seves parts, i per tant en un nivell microscòpic està governat per les lleis de la física quàntica. Les mesures quàntiques són intrínsecament sorolloses i per tant limiten la precisió amb la qual es pot obtenir en qualsevol escenari de metrologia. El camp de la metrologia quàntica està dedicat a l’estudi d’aquests límits i al desenvolupament de noves eines per ajudar a superar-los, sovint fent ús de les característiques exclusivament quàntiques com la superposició o l'entrellaçament.En el procés de disseny d’un protocol d’estimació és necessari utilitzar una figura de mèrit per optimitzar el rendiment d’aquests protocols. Fins ara la majoria de plantejaments de metrologia quàntica i els límits que en deriven han estat deterministes, és a dir, que estan optimitzats per tal de proporcionar una estimació vàlida per a cadascun dels possibles resultats de la mesura i minimitzar-ne l’error promig entre el valor estimat i el real del paràmetre. Aquesta avaluació dels protocols mitjançant el seu error promig és molt natural i convenient, però pot haver-hi algunes situacions en què això no sigui suficient per a expressar l’ús concret que se li donarà al valor obtingut.Un punt central d’aquesta tesi és observar que resultats concrets d’una mesura poden proporcionar una estimació amb una millor precisió que la mitjana. Perquè això succeeixi hi ha d’haver altres resultats imprecisos que compensin la mitjana perquè aquesta no violi els límits deterministes. En aquesta tesi hem escollit una figura de merit que reflecteix la màxima precisió que es pot obtenir. Optimitzem la precisió d’un subconjunt de resultats senyalats, i quantifiquem la probabilitat d’obtenir-ne algun d’ells, o en altres paraules, la probabilitat que el protocol proporcioni una estimació. Això pot ser entès com proposar una opció addicional que està sempre disponible per la mesura, a saber, la possibilitat de post-seleccionar els resultats i donar amb només certa probabilitat una resposta concloent. Aquests protocols probabilístics garanteixen una precisió mínima pels resultats senyalats. En la mecànica quàntica hi ha moltes maneres de poder llegir les dades d’un sistema quàntic. Per tant, l’optimització dels esquemes probabilístics no es pot reduir a la reinterpretació de resultats a partir dels esquemes (determinsitic) de metrologia quàntica canòniques, sinó que implica la recerca de mesures quàntiques completament diferents. Concretament, hem dissenyat protocols probabilístics per a l’estimació de fases, direccions i de sistemes de referència. Hem vist que la post-selecció té dos efectes possibles: compensar una mala elecció de l’estat inicial o contrarestar els efectes negatius del soroll presents en l’estat del sistema o en el procés de mesurament. En particular, trobem que afegir la possibilitat d’abstenció en l’estimació de fases en presència de soroll pot produir una millora en la precisió que supera la cota trobada per protocols deterministes. Trobem una cota que correspon a la millor precisió que es pot obtenir.Metrology is the field of research on statistical tools and technological design of measurement devices to infer accurate information about physical parameters. The noise in a physical setup is ultimately related to that of its constituents, and at a microscopic level this is in turn dictated by the rules of quantum physics. Quantum measurements are inherently noisy and hence limit the precision that can be reached by any metrology scheme. The field of quantum metrology is devoted to the study of such limits and to the development of new tools that help to surmount them, often make use unique quantum features such as superposition or entanglement. In the process of designing an estimation protocol, the experimentalist uses a figure of merit to optimise the performance of such protocols. Up until now most quantum metrology schemes and known bounds have been deterministic, that is, they are optimized in order to provide a valid estimate for each possible measurement outcome and minimize the average error between the estimated and true value of the parameter. This benchmarking of a protocol by its average performance is very natural and convenient, but there can be some scenarios in which this is not enough to express the concrete use that will be given to the obtained value. A central point in this thesis is that particular measurement outcomes can provide an estimate with a better precision than the average one. Notice that for this to happen there must be other imprecise outcomes so that the average does not violate the deterministic bounds. In this thesis we choose a figure of merit that reflects the maximum precision one can obtain. We optimise the precision of a set of heralded outcomes, and quantify the chance of such outcomes to occur, or in other words the probability that the protocol fails to provide an estimate. This can be understood as putting forward an extra feature that is always available to the experimentalist, namely the possibility of post-selecting the outcomes of their measurements and giving with some probability an inconclusive answer. These probabilistic protocols guarantee a minimal precision upon a heralded outcome. In quantum mechanics there are many ways in which data can be read-off from a quantum system. Hence, the optimization of probabilistic schemes cannot be reduced to reinterpreting results from the canonical (determinsitic) quantum metrology schemes, but rather it entails the search of completly different quantum generalized measurements. Specifically, we design probabilistic protocols for phase, direction and reference frame estimation. We show that post-selection has two possible effects: to compensate a bad choice of probe state or to counterbal¬ance the negative effects of noise present in the state system or in the measurement process. In particular, we show that adding the possibility of abstaining in phase estimation in presence of noise can produce an enhancement in precision that overtake the ultimate bound of deterministic protocols. The bound derived is the best precision that can be obtained, and in this sense one can speak of ultimate bound in precision

Probabilistic quantum metrology

La Metrologia és el camp d'investigació sobre les eines estadístiques i el disseny tecnològic dels aparells de mesura necessaris per inferir informació precisa sobre paràmetres físics. En un sistema físic el soroll és inherent en última instància amb el de les seves parts, i per tant en un nivell microscòpic està governat per les lleis de la física quàntica. Les mesures quàntiques són intrínsecament sorolloses i per tant limiten la precisió amb la qual es pot obtenir en qualsevol escenari de metrologia. El camp de la metrologia quàntica està dedicat a l'estudi d'aquests límits i al desenvolupament de noves eines per ajudar a superar-los, sovint fent ús de les característiques exclusivament quàntiques com la superposició o l'entrellaçament.En el procés de disseny d'un protocol d'estimació és necessari utilitzar una figura de mèrit per optimitzar el rendiment d'aquests protocols. Fins ara la majoria de plantejaments de metrologia quàntica i els límits que en deriven han estat deterministes, és a dir, que estan optimitzats per tal de proporcionar una estimació vàlida per a cadascun dels possibles resultats de la mesura i minimitzar-ne l'error promig entre el valor estimat i el real del paràmetre. Aquesta avaluació dels protocols mitjançant el seu error promig és molt natural i convenient, però pot haver-hi algunes situacions en què això no sigui suficient per a expressar l'ús concret que se li donarà al valor obtingut.Un punt central d'aquesta tesi és observar que resultats concrets d'una mesura poden proporcionar una estimació amb una millor precisió que la mitjana. Perquè això succeeixi hi ha d'haver altres resultats imprecisos que compensin la mitjana perquè aquesta no violi els límits deterministes. En aquesta tesi hem escollit una figura de merit que reflecteix la màxima precisió que es pot obtenir. Optimitzem la precisió d'un subconjunt de resultats senyalats, i quantifiquem la probabilitat d'obtenir-ne algun d'ells, o en altres paraules, la probabilitat que el protocol proporcioni una estimació. Això pot ser entès com proposar una opció addicional que està sempre disponible per la mesura, a saber, la possibilitat de post-seleccionar els resultats i donar amb només certa probabilitat una resposta concloent. Aquests protocols probabilístics garanteixen una precisió mínima pels resultats senyalats. En la mecànica quàntica hi ha moltes maneres de poder llegir les dades d'un sistema quàntic. Per tant, l'optimització dels esquemes probabilístics no es pot reduir a la reinterpretació de resultats a partir dels esquemes (determinsitic) de metrologia quàntica canòniques, sinó que implica la recerca de mesures quàntiques completament diferents. Concretament, hem dissenyat protocols probabilístics per a l'estimació de fases, direccions i de sistemes de referència. Hem vist que la post-selecció té dos efectes possibles: compensar una mala elecció de l'estat inicial o contrarestar els efectes negatius del soroll presents en l'estat del sistema o en el procés de mesurament. En particular, trobem que afegir la possibilitat d'abstenció en l'estimació de fases en presència de soroll pot produir una millora en la precisió que supera la cota trobada per protocols deterministes. Trobem una cota que correspon a la millor precisió que es pot obtenir.Metrology is the field of research on statistical tools and technological design of measurement devices to infer accurate information about physical parameters. The noise in a physical setup is ultimately related to that of its constituents, and at a microscopic level this is in turn dictated by the rules of quantum physics. Quantum measurements are inherently noisy and hence limit the precision that can be reached by any metrology scheme. The field of quantum metrology is devoted to the study of such limits and to the development of new tools that help to surmount them, often make use unique quantum features such as superposition or entanglement. In the process of designing an estimation protocol, the experimentalist uses a figure of merit to optimise the performance of such protocols. Up until now most quantum metrology schemes and known bounds have been deterministic, that is, they are optimized in order to provide a valid estimate for each possible measurement outcome and minimize the average error between the estimated and true value of the parameter. This benchmarking of a protocol by its average performance is very natural and convenient, but there can be some scenarios in which this is not enough to express the concrete use that will be given to the obtained value. A central point in this thesis is that particular measurement outcomes can provide an estimate with a better precision than the average one. Notice that for this to happen there must be other imprecise outcomes so that the average does not violate the deterministic bounds. In this thesis we choose a figure of merit that reflects the maximum precision one can obtain. We optimise the precision of a set of heralded outcomes, and quantify the chance of such outcomes to occur, or in other words the probability that the protocol fails to provide an estimate. This can be understood as putting forward an extra feature that is always available to the experimentalist, namely the possibility of post-selecting the outcomes of their measurements and giving with some probability an inconclusive answer. These probabilistic protocols guarantee a minimal precision upon a heralded outcome. In quantum mechanics there are many ways in which data can be read-off from a quantum system. Hence, the optimization of probabilistic schemes cannot be reduced to reinterpreting results from the canonical (determinsitic) quantum metrology schemes, but rather it entails the search of completly different quantum generalized measurements. Specifically, we design probabilistic protocols for phase, direction and reference frame estimation. We show that post-selection has two possible effects: to compensate a bad choice of probe state or to counterbal¬ance the negative effects of noise present in the state system or in the measurement process. In particular, we show that adding the possibility of abstaining in phase estimation in presence of noise can produce an enhancement in precision that overtake the ultimate bound of deterministic protocols. The bound derived is the best precision that can be obtained, and in this sense one can speak of ultimate bound in precision

Optimal parameter estimation with a fixed rate of abstention

The problems of optimally estimating a phase, a direction, and the orientation of a Cartesian frame (or trihedron) with general pure states are addressed. Special emphasis is put on estimation schemes that allow for inconclusive answers or abstention. It is shown that such schemes enable drastic improvements, up to the extent of attaining the Heisenberg limit in some cases, and the required amount of abstention is quantified. A general mathematical framework to deal with the asymptotic limit of many qubits or large angular momentum is introduced and used to obtain analytical results for all the relevant cases under consideration. Parameter estimation with abstention is also formulated as a semidefinite programming problem, for which very efficient numerical optimization techniques exist

Quantum metrology assisted by abstention

The main goal of quantum metrology is to obtain accurate values of physical parameters using quantum probes. In this context, we show that abstention, i.e., the possibility of getting an inconclusive answer at readout, can drastically improve the measurement precision and even lead to a change in its asymptotic behavior, from the shot-noise to the Heisenberg scaling. We focus on phase estimation and quantify the required amount of abstention for a given precision. We also develop analytical tools to obtain the asymptotic behavior of the precision and required rate of abstention for arbitrary pure states

Optimal parameter estimation with a fixed rate of abstention

The problems of optimally estimating a phase, a direction, and the orientation of a Cartesian frame (or trihedron) with general pure states are addressed. Special emphasis is put on estimation schemes that allow for inconclusive answers or abstention. It is shown that such schemes enable drastic improvements, up to the extent of attaining the Heisenberg limit in some cases, and the required amount of abstention is quantified. A general mathematical framework to deal with the asymptotic limit of many qubits or large angular momentum is introduced and used to obtain analytical results for all the relevant cases under consideration. Parameter estimation with abstention is also formulated as a semidefinite programming problem, for which very efficient numerical optimization techniques exist