Re-parameterization reduces irreducible geometric constraint systems

International audienceYou recklessly told your boss that solving a non-linear system of size n (n unknowns and n equations) requires a time proportional to n, as you were not very attentive during algorithmic complexity lectures. So now, you have only one night to solve a problem of big size (e.g., 1000 equations/unknowns), otherwise you will be fired in the next morning. The system is well-constrained and structurally irreducible: it does not contain any strictly smaller well-constrained subsystems. Its size is big, so the Newton–Raphson method is too slow and impractical. The most frustrating thing is that if you knew the values of a small number k<<n of key unknowns, then the system would be reducible to small square subsystems and easily solved. You wonder if it would be possible to exploit this reducibility, even without knowing the values of these few key unknowns. This article shows that it is indeed possible. This is done at the lowest level, at the linear algebra routines level, so that numerous solvers (Newton–Raphson, homotopy, and also p-adic methods relying on Hensel lifting) widely involved in geometric constraint solving and CAD applications can benefit from this decomposition with minor modifications. For instance, with k<<n key unknowns, the cost of a Newton iteration becomes O(kn^2) instead of O(n^3). Several experiments showing a significant performance gain of our re-parameterization technique are reported in this paper to consolidate our theoretical findings and to motivate its practical usage for bigger systems

Analyse de maillages 3D par morphologie mathématique

Mathematical morphology is a powerful theory for the analysis of 2D digital images. It is based on dilation and erosion, which correspond to Minkowski addition and subtraction. To be able to analyze 3D meshes using mathematical morphology, we must use efficient and robust algorithms for the exact computation of the addition and subtraction of meshes. Unfortunately, existing approaches are approximated, non-robust or limited by some constraints. No work has addressed the difference. These difficulties come from the the fact that a mesh represents a piecewise linear surface bounding a continuous and uncountable set. We introduced the concept of contributing vertices and developed an efficient and robust algorithm for the computation of the Minkowski sum of convex polyhedra. After that, we adapted and proposed two efficient algorithms for the computation of the Minkowski sum of a non-convex/convex pair of polyhedra, while properly handling complex polyhedra, non-manifold situations and topological changes. We also demonstrated the duality of the contributing vertices concept and exploited it to develop the first approach for the efficient and exact computation of the Minkowski difference of convex polyhedra. The duality of the contributing vertices concept as well as the robustness and efficiency of our approaches motivate the development of a unified approach for the Minkowski addition and subtraction of arbitrary polyhedral, which will permit the morphological analysis of 3D meshes. Other areas such as medical imaging, robotics, geometry or chemistry may benefit from our approachesLa morphologie mathématique est une théorie puissante pour l’analyse d’images 2 D. Elle se base sur la dilatation et l’érosion, qui correspondent à l’addition et la soustraction de Minkowski. Afin d’analyser des maillages 3D par morphologie mathématique, on doit disposer d’algorithmes performants et robustes pour le calcul exact de l’addition et de la soustraction pour ces maillages. Malheureusement, les travaux existants sont, soit approximés, soit non robustes ou limités par des contraintes. Aucun travail n’a traité la différence. Ces difficultés sont dues au fait qu’un maillage représente une surface linéaire par morceaux englobant un ensemble contenu et non dénombrable. Nous avons introduit la notion de sommets contributeurs et nous avons développé un algorithme efficace et robuste pour le calcul de la somme de polyèdres convexes. Nous l’avons par la suite adapté et proposé deux algorithmes performants pour la somme d’une paire de polyèdres non convexe/convexe, tout en gérant correctement les polyèdres complexes, les situations de non-variété ainsi que les changements topologiques. Nous avons également démontré la dualité des sommets contributeurs et nous l’avons exploité pour développer la première approche du calcul exact et efficace de la différence de polyèdres convexes. La dualité des sommets contributeurs ainsi que la robustesse et l’efficacité de nos approches motivent le développement d’une approche unifiée pour l’addition et la soustraction de polyèdres quelconques, ce qui permettra d’appliquer des traitements morphologiques à des maillages 3D. D’autres domaines tels que l’imagerie médicale, la robotique, la géométrie ou la chimie pourront en tirer profi

3 D mesh analysis by mathematical morphology

La morphologie mathématique est une théorie puissante pour l’analyse d’images 2 D. Elle se base sur la dilatation et l’érosion, qui correspondent à l’addition et la soustraction de Minkowski. Afin d’analyser des maillages 3D par morphologie mathématique, on doit disposer d’algorithmes performants et robustes pour le calcul exact de l’addition et de la soustraction pour ces maillages. Malheureusement, les travaux existants sont, soit approximés, soit non robustes ou limités par des contraintes. Aucun travail n’a traité la différence. Ces difficultés sont dues au fait qu’un maillage représente une surface linéaire par morceaux englobant un ensemble contenu et non dénombrable. Nous avons introduit la notion de sommets contributeurs et nous avons développé un algorithme efficace et robuste pour le calcul de la somme de polyèdres convexes. Nous l’avons par la suite adapté et proposé deux algorithmes performants pour la somme d’une paire de polyèdres non convexe/convexe, tout en gérant correctement les polyèdres complexes, les situations de non-variété ainsi que les changements topologiques. Nous avons également démontré la dualité des sommets contributeurs et nous l’avons exploité pour développer la première approche du calcul exact et efficace de la différence de polyèdres convexes. La dualité des sommets contributeurs ainsi que la robustesse et l’efficacité de nos approches motivent le développement d’une approche unifiée pour l’addition et la soustraction de polyèdres quelconques, ce qui permettra d’appliquer des traitements morphologiques à des maillages 3D. D’autres domaines tels que l’imagerie médicale, la robotique, la géométrie ou la chimie pourront en tirer profitMathematical morphology is a powerful theory for the analysis of 2D digital images. It is based on dilation and erosion, which correspond to Minkowski addition and subtraction. To be able to analyze 3D meshes using mathematical morphology, we must use efficient and robust algorithms for the exact computation of the addition and subtraction of meshes. Unfortunately, existing approaches are approximated, non-robust or limited by some constraints. No work has addressed the difference. These difficulties come from the the fact that a mesh represents a piecewise linear surface bounding a continuous and uncountable set. We introduced the concept of contributing vertices and developed an efficient and robust algorithm for the computation of the Minkowski sum of convex polyhedra. After that, we adapted and proposed two efficient algorithms for the computation of the Minkowski sum of a non-convex/convex pair of polyhedra, while properly handling complex polyhedra, non-manifold situations and topological changes. We also demonstrated the duality of the contributing vertices concept and exploited it to develop the first approach for the efficient and exact computation of the Minkowski difference of convex polyhedra. The duality of the contributing vertices concept as well as the robustness and efficiency of our approaches motivate the development of a unified approach for the Minkowski addition and subtraction of arbitrary polyhedral, which will permit the morphological analysis of 3D meshes. Other areas such as medical imaging, robotics, geometry or chemistry may benefit from our approache

Contributing vertices-based Minkowski sum of a nonconvex-convex pair of polyhedra

International audienceThe exact Minkowski sum of polyhedra is of particular interest in many applications, ranging from image analysis and processing to computer-aided design and robotics. Its computation and implementation is a difficult and complicated task when non-convex polyhedra are involved. We present the NCC-CVMS algorithm, an exact and efficient Contributing Vertices-based Minkowski Sum algorithm for the computation of the Minkowski sum of a Non-Convex--Convex pair of polyhedra, which handles non-manifold situations and extracts eventual polyhedral holes inside the Minkowski sum outer boundary. Our algorithm does not output boundaries that degenerate into a polyline or a single point. First, we generate a superset of the Minkowski sum facets through the use of the contributing vertices concept and by summing only the features (facets, edges, and vertices) of the input polyhedra which have coincident orientations. Secondly, we compute the 2D arrangements induced by the superset triangles’ intersections. Finally, we obtain the Minkowski sum through the use of two simple properties of the input polyhedra and the Minkowski sum polyhedron itself, i.e. the closeness and the two-manifoldness properties. The NCC-CVMS algorithm is efficient because of the simplifications induced by the use of the contributing vertices concept, the use of 2D arrangements instead of 3D arrangements which are difficult to maintain, and the use of simple properties to recover the Minkowski sum mesh. We implemented our NCC-CVMS algorithm on the base of CGAL and used exact number types. More examples and results of the NCC-CVMS algorithm can be found at: \url{http://liris.cnrs.fr/hichem.barki/mksum/NCC-CVMS

Performance evaluation of time-frequency image feature sets for improved classification and analysis of non-stationary signals: Application to newborn EEG seizure detection

This study demonstrates that a time-frequency (TF) image pattern recognition approach offers significant advantages over standard signal classification methods that use t-domain only or f-domain only features. Two approaches are considered and compared. The paper describes the significance of the standard TF approach for non-stationary signals; TF signal (TFS) features are defined by extending t-domain or f-domain features to a joint (t, f) domain resulting in e.g. TF flatness and TF flux. The performance of the extended TFS features is comparatively assessed using Receiver Operating Characteristic (ROC) analysis Area Under the Curve (AUC) measure. Experimental results confirm that the extended TFS features generally yield improved performance (up to 19%) when compared to the corresponding t-domain and f-domain features. The study also explores a second approach based on novel TF image (TFI) features that further improves TF-based classification of non-stationary signals. New TFI features are defined and extracted from the (t, f) domain; they include TF Hu invariant moments, TF Haralick features, and TF Local Binary Patterns (LBP). Using a state-of-the-art classifier, different metrics based on confusion matrix performance are compared for all extended TFS features and TFI features. Experimental results show the improved performance of TFI features over both TFS features and t-domain only or f-domain only features, for all TF representations and for all the considered performance metrics. The experiment is validated by comparing this new proposed methodology with a recent study, utilizing the same large and complex data set of EEG signals, and the same experimental setup. The resulting classification results confirm the superior performance of the proposed TFI features with accuracy improvement up to 5.52%.Scopu

Un algorithme exact et performant, basé sur les sommets contributeurs, pour le calcul de la somme de Minkowski d’une paire de polyèdres non convexe/convexe.

National audienceNous présentons l’algorithme NCC-CVMS : un algorithme exact et efficace, basé sur la notion de sommets contributeurs, pour le calcul de la Somme de Minkowski (SM) d’une paire de polyèdres non convexe/convexe fermés et des 2-variétés, sans décomposition en convexes et sans calcul d’union. Premièrement, nous générons un surensemble réduit (avec un nombre minimum de facettes) des facettes du polyèdre SM en exploitant la notion de sommets contributeurs. Deuxièmement, nous calculons les arrangements 2D induits par les intersections des triangles de ce sur-ensemble. Enfin, nous obtenons la SM par l’utilisation de deux propriétés simples des polyèdres d’entrée et du polyèdre SM lui-même, à savoir la propriété de fermeture et celle de 2-variété. L’algorithme NCCCVMS est performant grâce aux simplifications induites par l’utilisation de la notion de sommets contributeurs, l’utilisation des arrangements et l’utilisation des propriétés simples de fermeture et de 2-variété afin de reconstruire le polyèdre SM. Toutefois, notre algorithme ne reconstruit pas les trous éventuellement présents à l’intérieur du polyèdre SM. Nous avons implanté notre algorithme NCC-CVMS en utilisant la bibliothèque CGAL et les types de nombres exacts

Somme de Minkowski par sommets contributeurs : application au morphage de formes 3D

National audienceNous proposons une application de morphage ou d’interpolation entre maillages 3D, basée sur un algorithme de calcul de la somme de Minkowski de deux polyèdres convexes ainsi que son extension pour une paire de polyèdres non-convexe/convexe. Cet algorithme est basé sur le concept de sommets contributeurs, produit des résultats exacts et est plus performant par rapport aux autres approches proposées dans la littérature. L’interpolation est réalisée en calculant les sommes de Minkowski de deux polyèdres dont les tailles varient en fonction des paramètres de l’interpolation

Contributing Vertices-based Minkowski sum of a non-convex polyhedron without fold and a convex polyhedron

International audienceNous présentons une approche originale pour le calcul de la somme de Minkowski d'un polyèdre non convexe sans repli et d'un polyèdre convexe, sans décomposition et sans union (étapes qui constituent l'inconvénient des approches basées sur la décomposition). Un polyèdre non convexe est un polyèdre sans repli si sa surface extérieure est complètement reconstructible à partir de trois projections orthographiques, définies par trois vecteurs orthogonaux de base dans R3. Tout d'abord, nous générons un sur-ensemble des facettes de la somme Minkowski en utilisant le concept des sommets contributeurs que nous adaptons pour une paire de polyèdres non-convexe/convexe. Le sur-ensemble généré garantit que son enveloppe est la surface extérieure du polyèdre somme de Minkowski. Deuxièmement, nous extrayons les facettes de la somme de Minkowski et gérons les intersections entre les facettes du sur-ensemble en utilisant des enveloppes de surfaces 3D. Notre approche est limitée à des polyèdres non convexes sans repli en raison de l'utilisation des enveloppes de surface pour la reconstruction de la surface extérieure de la somme de Minkowski. Les polyèdres avec trous ne sont pas gérés par notre méthode. L'implantation de notre algorithme utilise des types de nombres exacts, produit des résultats exacts, et est basée sur CGAL, la "Computational Geometry Algorithms Library"

Contributing vertices-based Minkowski sum computation of convex polyhedra

International audienceMinkowski sum is an important operation. It is used in many domains such as: computer-aided design, robotics, spatial planning, mathematical morphology, and image processing. We propose a novel algorithm, named the Contributing Vertices-based Minkowski Sum (CVMS) algorithm for the computation of the Minkowski sum of convex polyhedra. The CVMS algorithm allows to easily obtain all the facets of the Minkowski sum polyhedron only by examining the contributing vertices-a concept we introduce in this work, for each input facet. We exploit the concept of contributing vertices to propose the Enhanced and Simplified Slope Diagram-based Minkowski Sum (ESSDMS) algorithm, a slope diagram-based Minkowski sum algorithm sharing some common points with the approach proposed by Wu et al. [1]. The ESSDMS algorithm does not embed input polyhedra on the unit sphere and does not need to perform stereographic projections. Moreover, the use of contributing vertices brings up more simplifications and improves the overall performance. The implementations for the mentioned algorithms are straightforward, use exact number types, produce exact results, and are based on CGAL, the Computational Geometry Algorithms Library. More examples and results of the CVMS algorithm for several convex polyhedra can be found at http://liris.cnrs.fr/hichem.barki/mksum/CVMS-conve