Gráfszínezések és gráfok felbontásai = Colorings and decompositions of graphs

A nem-ismétlő színezéseket a véletlen módszer alkalmazhatósága miatt kezdték el vizsgálni. Felső korlátot adtunk a színek számára, amely a maximum fok és a favastagság lineáris függvénye. Olyan színezéseket is vizsgáltunk, amelyek egy síkgráf oldalain nem-ismétlők. Sejtés volt, hogy véges sok szín elég. Ezt bizonyítottuk 24 színnel. A kromatikus számot és a metszési számot algoritmikusan nehéz meghatározni. Ezért meglepő Albertson egy friss sejtése, amely kapcsolatot állít fel közöttük: ha egy gráf kromatikus száma r, akkor metszési száma legalább annyi, mint a teljes r csúcsú gráfé. Bizonyítottuk a sejtést, ha r<3.57n, valamint ha 12<r<17. Ez utóbbi azért érdekes, mert a teljes r csúcsú gráf metszési száma csak r<13 esetén ismert. A témakör legfontosabb nyitott kérdése a Hadwiger-sejtés, mely szerint minden r-kromatikus gráf tartalmazza a teljes r csúcsú gráfot minorként. Ennek általánosításaként fogalmazták meg a lista színezési Hadwiger sejtést: ha egy gráf nem tartalmaz teljes r csúcsú gráfot minorként, akkor az r-lista színezhető. Megmutattuk, hogy ez a sejtés hamis. Legalább cr színre szükségünk van bizonyos gráfokra, ahol c=4/3. Thomassennel vetettük fel azt a kérdést, hogy milyen feltétel garantálja, hogy G élei felbonthatók egy adott T fa példányaira. Legyen Y az a fa, melynek fokszámsorozata (1,1,1,2,3). Megmutattuk, hogy minden 287-szeresen élösszefüggő fa felbomlik Y-okra, ha az élszám osztható 4-gyel. | Nonrepetitive colorings often use the probabilistic method. We gave an upper bound as a linear function of the maximum degree and the tree-width. We also investigated colorings, which are nonrepetitive on faces of plane graphs. As conjectured, a finite number of colors suffice. We proved it by 24 colors. The chromatic and crossing numbers are both difficult to compute. The recent Albertson's conjecture is a surprising relation between the two: if the chromatic number is r, then the crossing number is at least the crossing number of the complete graph on r vertices. We proved this claim, if r<3.57n, or 12<r<17. The latter is remarkable, since the crossing number of the complete graph is only known for r<13. The most important open question of the field is Hadwiger's conjecture: every r-chromatic graph contains as a minor the complete graph on r vertices. As a generalisation, the following is the list coloring Hadwiger conjecture: if a graph does not contain as a minor the complete graph on r vertices , then the graph is r-list colorable. We proved the falsity of this claim. In our examples, at least cr colors are necessary, where c=4/3. Decomposition of graphs is well-studied. Thomassen and I posed the question of a sufficient connectivity condition, which guaranties a T-decomposition. Let Y be the tree with degree sequence (1,1,1,2,3). We proved every 287-edge connected graph has a Y-decomposition, if the size is divisible by four

Intersecting and 22-intersecting hypergraphs with maximal covering number: the Erd\H{o}s-Lov\'asz theme revisited

Erd\H{o}s and Lov\'asz noticed that an $r$-uniform intersecting hypergraph $H$ with maximal covering number, that is $\tau(H)=r$, must have at least $\frac{8}{3}r-3$ edges. There has been no improvement on this lower bound for 45 years. We try to understand the reason by studying some small cases to see whether the truth lies very close to this simple bound. Let $q(r)$ denote the minimum number of edges in an intersecting $r$-uniform hypergraph. It was known that $q(3)=6$ and $q(4)=9$. We obtain the following new results: The extremal example for uniformity 4 is unique. Somewhat surprisingly it is not symmetric by any means. For uniformity 5, $q(5)=13$, and we found 3 examples, none of them being some known graph. We use both theoretical arguments and computer searches. In the footsteps of Erd\H{o}s and Lov\'asz, we also consider the special case, when the hypergraph is part of a finite projective plane. We determine the exact answer for $r\in \{3,4,5,6\}$. For uniformity 6, there is a unique extremal example. In a related question, we try to find $2$-intersecting $r$-uniform hypergraphs with maximal covering number, that is $\tau(H)=r-1$. An infinite family of examples is to take all possible $r$-sets of a $(2r-2)$-vertex set. There is also a geometric candidate: biplanes. These are symmetric 2-designs with $\lambda=2$. We determined that only 3 biplanes of the 18 known examples are extremal