Strict density inequalities for sampling and interpolation in weighted spaces of holomorphic functions

Answering a question of Lindholm, we prove strict density inequalities for sampling and interpolation in Fock spaces of entire functions in several complex variables defined by a plurisubharmonic weight. In particular, these spaces do not admit a set that is simultaneously sampling and interpolating. To prove optimality of the density conditions, we construct sampling sets with a density arbitrarily close to the critical density. The techniques combine methods from several complex variables (estimates for $\bar \partial$) and the theory of localized frames in general reproducing kernel Hilbert spaces (with no analyticity assumed). The abstract results on Fekete points and deformation of frames may be of independent interest

Contractive inequalities for Bergman spaces and multiplicative Hankel forms

We consider sharp inequalities for Bergman spaces of the unit disc, establishing analogues of the inequality in Carleman's proof of the isoperimetric inequality and of Weissler's inequality for dilations. By contractivity and a standard tensorization procedure, the unit disc inequalities yield corresponding inequalities for the Bergman spaces of Dirichlet series. We use these results to study weighted multiplicative Hankel forms associated with the Bergman spaces of Dirichlet series, reproducing most of the known results on multiplicative Hankel forms associated with the Hardy spaces of Dirichlet series. In addition, we find a direct relationship between the two type of forms which does not exist in lower dimensions. Finally, we produce some counter-examples concerning Carleson measures on the infinite polydisc

The polyanalytic Ginibre ensembles

We consider a polyanalytic generalization of the Ginibre ensemble. This models allowing higher Landau levels (the Ginibre ensemble corresponds to the lowest Landau level). We study the local behavior of this point process under blow-ups.Comment: 31 page

Polyanalytic Bergman Kernels

The thesis consists of three articles concerning reproducing kernels ofweighted spaces of polyanalytic functions on the complex plane. In the first paper, we study spaces of polyanalytic polynomials equipped with a Gaussianweight. In the remaining two papers, more general weight functions are considered. More precisely, we provide two methods to compute asymptotic expansions for the kernels near the diagonal and then apply the techniques to get estimates for reproducing kernels of polyanalytic polynomial spaces equipped with rather general weight functions.QC 20130513</p

Kvasideterminantit

Tämä diplomityö käsittelee vinokunnan yli määriteltyjä matriiseja ja näiden determinantteja. Kommutatiivisessa tapauksessa käytettävä determinanttikaava ei sinällään yleisty näihin tapauksiin. Erilaisia yleistysehdotuksia on esitetty, mutta täysin yleisesti hyväksyttyä määritelmää ei ole olemassa. Vuonna 1991 tapahtui huomattava edistysaskel, kun I. Gelfand ja V. Retakh määrittelivät uuden käsitteen, kvasideterminantin. Kvasideterminantit ovat nopeasti yhtenäistäneet epäkommutatiivista lineaarialgebraa ja mahdollistaneet myös uusia tuloksia. Kvasideterminantit eivät ole suoria determinantin yleistyksiä: tätä vastoin ne yleistävät determinantin ja alideterminantin suhteen. Ne eivät siis ole polynomeja matriisiin alkioista vaan rationaalifunktioita. Kvasideterminanttien teoria on edullisinta esittää ns. vapaassa kunnassa, jolloin kvasideterminantit tulkitaan formaaleiksi rationaalilausekkeiksi. Tämä on yleisin mahdollinen tapa muotoilla tulokset. Esitettyämme kvasideterminanttien teorian perustulokset sovellamme näitä epäkommutatiivisten polynomien tekijöihinjakoon. Johdamme myös kvasideterminanttiesitykset muutamille varhaisemmille epäkommutatiivisille determinanteille. Lopuksi käsittelemme kysymystä, voidaanko teoriaa laajentaa renkaaseen, jonka kaikilla nollasta eroavilla alkioilla ei ole käänteisalkioita. Tarkastelemme esimerkkitapauksena sirklettejä